立足基础 突出主干 稳中有新 凸显素养
——2019全国Ⅰ卷理数试卷评析与启示

广东省惠州市第一中学(516007) 黄伟才

2019 全国I卷理数打破惯例,在试题内容和顺序进行了积极大胆的尝试,究竟试题有什么亮点,对高中数学教学有何启示? 围绕以上问题,笔者认为有必要对试卷进行评析,力求把握内涵,优化教学策略,不当之处,欢迎批评指正.

一、试卷概况

2019 高考数学以全国教育大会精神为指引,认真贯彻德智体美劳“五育并举”教育方针,试卷立足基础,突出主干,稳中有新,凸显素养,注重考查学生理性思维能力及综合应用数学思维方法分析问题、解决问题的能力.试题全面覆盖基础知识,关注数学应用,体现了数学来源于生活,应用于生活,让学生学以致用；渗透数学文化,彰显数学育人价值；强调数据处理分析,凸显大数据时代数学应用的重要性.考试中心表示,适当调整试题顺序,破解僵化的应试教育,试题顺序和题型的变化必然造成难度变化,教师不能再仅仅按套路去研究题型,要真正的去培养学生的数学能力,只有这样,学生在面对新题时,才能根据条件和问题合理的进行化归转化,把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.笔者认为这次“难”是“难”在变化,“难”在学生不熟悉.新课程标准及新教材已经颁布,高考又是风向标,数据处理分析和数学建模必将是高考研究的新热点.

二、主要亮点

今年的全国Ⅰ卷理数整体结构稳定,适度调整,难度适中,对科学选人,深化课改,培养学生的创新精神和实践能力,提升核心素养,有积极的导向作用,概括起来有以下几点：

(一)渗透数学文化,弘扬传统文化精神

教育部考试中心专家指出：“2017年新修订的数学考试大纲提出了加强数学文化考查的要求”,全国Ⅰ卷命题专家认真落实上述要求,如第6 题,以我国古代典籍《周易》中描述万物变化的“卦”为背景,巧妙的综合了古典概型和排列组合相关知识,情景真实,贴近生活,弘扬了中国优秀传统文化.笔者查阅有关文献还发现,《周易》中描述的“太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦”的原理,即用“阴爻”和“阳爻”进行计数的原理实际上跟二进制计数原理是一样的,在课堂教学中,教师还可以进一步进行延伸渗透,充分激发学生民族自豪感和爱国主义情怀.

(二)关注数学应用考查数学应用意识

《课程标准》强调在数学学习中加强应用意识的培养,提高实践能力,高考中对数学应用问题的考查,一定程度上反映了学生对数学概念和规律的本质理解,更体现了学生运用数学方法定量客观分析问题的思维能力.

第4 题古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是( )

A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm

图1

评析本题考查了数学抽象和数学建模素养,即把实际身高问题抽象为线段比例问题.根据黄金分割比例,由肚脐到足底的距离可得身高,命题者偏偏隐藏了肚脐到腿上端的距离和咽喉到脖子下端的距离,某人也没有特指断臂维纳斯,是男还是女,于是学生陷入固化的思维,那就是一定要算出一个准确的数字才敢选,殊不知命题者是想真正考查学生有没有数据分析处理的意识.

根据题意可以进行“估算”,一般情况下咽喉至脖子下端约2cm,肚脐至腿上端约5cm,则由173cm,近似值为175cm,但假如“某人”变为姚明或秦兵马俑这样的高个子,再设置相关数据,这样估算就不可行,此时要应用不等式夹逼身高的范围：①头顶至咽喉略小于头顶至脖子底端,则h≤26×(2.618)2≈178；腿长略小于肚脐至足底,h ≥105×1.618≈170,故170≤h≤178.由此题背景还可研究以下问题：某女士身长65cm,腿长98cm,为了参加晚会时显得更优雅,请问她的高跟鞋的鞋跟高度应该为___cm；若身高162cm,腿长100cm,请问还有必要穿高跟鞋吗? (为了简化题意,用身长替代头顶到肚脐距离,腿长替代肚脐到足底距离)

(三)强调数据处理 考查统计模型意识

关于数据处理分析的考查是高考的新热点,概率统计题型是最好的载体,背景往往紧扣时代,贴近生活,情景新,立意高,设问巧,在大数据时代更加凸显应用数学解决问题的重要性.

第21 题为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种药更有效,为此进行动物实验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定：对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分,乙药得-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分,甲药得-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分,pi(i=0,1,···,8) 表示”甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,···,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.

(i)证明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,···,7)为等比数列；

(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.

解析(1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β),所以X的分布列为

X -1 0 1 P (1-α)β αβ+(1-α)(1-β)α(1-β)

(2) (i)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1,因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,化简得pi+1-pi=4(pi-pi-1),又p1-p0=p1/0,故{pi+1-pi}是以p1为首项,4 为公比的等比数列.

(ii) 由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+···+p1-p0+p0=由于p8=1,所以p1=所以p4=(p4-p3)+p4表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8 时,认为甲药更有效的概率为此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.

评析本题以药物实验为背景,贴近生活,强调数据分析处理,根据数据进行统计判断.考查了离散型随机变量分布列和根据二阶常系数递推关系式求通项问题,只要正确理解题意,根据条件和问题的层层铺垫,不难算出结果,最后根据p4极小说明实验设计的合理性.

本题计算量和计算方法都是常见的,难点是阅读量大,又是压轴题,对学生造成较大的心理负担,很难在较短时间提炼出数学信息进行解题.由于p8=1,p4的计算还可以简化为进一步发现,第(2)问的第(i)问证明等比数列还可以省略,让考生去观察发现,从而构造出等比数列{pi+1-pi},所以命题者已用心良苦,层层铺垫问题有目的地降低了题目的运算难度,让考生关注于问题分析与理解,合理的构建统计模型解决问题.

实际上运算本质是考察了由递推an+1=pan+qan-1(n ≥2) 求通项问题,常规由待定系数可变形为an+1+xan=y(an+xan-1),则y-x=p且xy=q,从而得到数列的构造形式,对于竞赛数学,此类问题可用“特征方程”来解.

(四)重视数学思维,淡化繁琐运算

第16 题已知双曲线C:的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若则C的离心率为___.

评析本题利用渐近线设置问题的条件,涉及的几何条件用向量工具呈现出来,要善于挖掘隐含的条件,易得渐近线OA垂直平分线段F1B,故∠F1OA=∠F2OB=∠BOA,所以大于1 或小于1 时,过焦点作一条渐近线的垂线与另一条渐近线的交点将会有不同情况,由此条件则离心率为2.当渐近线的斜率可推广为进一步可设置相关变式题.

几何与代数之间进行合理的化归转化是解析几何的核心,此题若采用联立方程代数运算则繁琐很多,也体现了全国卷重思维,轻运算命题思路.基于2017年新修订的数学考试大纲删去了几何证明选讲,相信平面几何知识会渗透在立体几何、向量、解析几何和解三角等知识模块中考查.

(五)动态调整 打破惯例

2019 全国Ⅰ卷打破惯例,对解答题布局进行了动态调整,具体有如下显著变化：(1)概率统计作变为压轴题,结合了数列求通项问题,综合性强.(2)导数应用调整到20 题,以三角函数和对数函数的组合函数作为载体,考生不熟悉.(3)选做题相比2017 和2018年难度明显增加,22 题曲线C的消参要求提高,需要用整体平方消元；23 题考查了近年忽视的不等式证明,需要灵活转化条件abc=1 进行证明.(4)衔接新课程标准,客观题删去了三视图和线性规划考查,增加了概率统计和数学建模考查.诸如此类变化,目的考查学生灵活应变能力和主动调整适应的能力,有助于破解僵化的应试教育,引导高中教学回归本质,重视概念定理的本质教学,真正提高学生的数学思维能力和核心素养.

三、教学启示

2019 全国Ⅰ卷注重考查核心概念,基本技能和思想方法,重通性通法,淡化技巧,同时加强了数学核心素养的考查,对未来的高中教学有积极的指导意义.

(一)研读课标,把握方向

高考考什么? 怎么考? 现实教学中,很多教师没有进行深入研究,热衷于解题教学,缺乏对纲领性文件的解读,甚至从来没有研读课程标准,导致教学缺少针对性,很多内容该删不删致使教学容量过大,课时严重不足等问题.殊不知课程标准是国家意志的体现,是教材编写的依据,只有深度解读《课程标准》,并以此为方向研读教材,才能更好把握教学的重难点.如新课程标准强化的数学建模和数据处理在第4题就有良好的体现,如果不能抽象出线段比例,不能进行数据估算,那解题就陷入误区.

(二)回归教材,正本清源

高考题都是来源于教材,又高于教材,教学中必须对教材内容和习题进行深挖,高三复习后期更应该回归教材,深刻把握概念定理和思想方法的内涵.教师要引导学生根据经典习题进行延伸变换,如条件的切入点还可以怎么变化,问题还可以怎样包装,相关同类问题还有哪些,有没有一般化的性质和定理总结等.

案例(人教A 版选修2-3 第59 页习题B 组第1 题)甲、乙两选手比赛,假设每局比赛甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,那么采用3 局2 胜制还是采用5 局3 胜制对甲更有利? 你对局制长短的设置有何认识?

第15 题甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4：1 获胜的概率是___.

评注胜率因主客场不同,把熟悉的二项分布问题进行了延伸,更加符合实际情景,考查了学生应用数学解决实际问题的能力.

(三)注重思维,强调本质

实际的课堂教学,教师容易忽视概念定理、思想方法的生成过程,喜欢单纯的进行解题教学,学生的思维能力自然提不高,考试中碰到背景新颖的题目,往往难于转化为熟悉的问题进行解决.今年全国Ⅰ卷很多师生觉得很难,就是这个道理,考生对不熟悉的题目无从下手.

所以教师引导学生多思考知识的来龙去脉,只有真正理解了本质,才能在考试中灵活应变.如关于二分法逼近近似值的估算实验过程,要重视呈现“一分为二,逐步逼近的思维过程,根据精确度,区间内的每一个实数都是的近似值,让学生体会感受这样的近似替代的思维过程,更有利于提高学生处理数据的意识.又如在讲授定积分概念的过程,教师要重视分析给定无限小的区间上,以直代曲求曲边梯形面积,匀速替代变速求位移和恒力替代变力求做功等估算的合理性.

四、结束语

数学知识的学习和掌握对学生而言至关重要,学生成绩的有效提高也是教师工作的重心,但如何真正提高学生的思维能力,提高学生应用数学分析问题和解决问题的能力更加重要,因为这关乎学生以后的发展,也关乎国家和社会的未来.令人欣慰,今年的高考为高中数学教学和高校选拔人才起到了积极的作用.