勾股定理逆定理需要证明吗？

曹建军 王红权

摘    要：不同版本教材对于勾股定理逆定理的证明，采用了不同的处理方式，体现了对行为动词“探索”的不同理解.图形性质的探索要注重“探索发现”和“演绎证明”的有机结合.众多证明方法中，“同一法”体现间接证法的价值和探索过程的完整性，发展学生的推理素养.

关键词：图形性质;探索;证明;推理素养

近日，杭州市青年教师核心组研讨了《探索勾股定理逆定理》这一课时.在对比不同版本教材时，发现浙教版对于定理的证明是“略”，而人教版是用“同一法”进行了证明.那么，不同版本教材的编写为什么会有这么大的差异？广大教师应该如何正确处理呢？

经过分析，大家一致认为这一问题的关键在于如何正确理解“探索”这一教学要求，即 “探索”图形的性质的教学目标是什么？课堂教学如何设计才能真正实现“探索”的目标？

通过研读《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》），发现在“图形的性质”中，比较多地使用了“探索”的表述，如：探索并证明平行线的判定定理、性质定理;探索并证明三角形的内角和定理;探索并证明角平分线的性质定理;探索勾股定理及其逆定理;探索并了解点与圆的关系;探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系;等等.可以说，大部分重要几何定理都是这样的教学要求.因此，我们有必要先了解什么是“探索”，为什么要“探索”，怎么“探索”.

一、关于“探索”

（一） “探索”及其内涵

“探索”是指独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识[1].

“探索”是描述过程目标的行为动词.《课标》中有两类行为动词.一类是描述结果目标的行为动词，包括“了解”“理解”“掌握”“运用”等;另一类是描述过程目标的行为动词，包括“经历”“体验”“探索”等.

“探索”是描述过程目标的级别最高的行为动词.在三个学段中，认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从“辨认”到“初步认识”，再从“认识”到“探索并证明”.例如，对于平行四边形，第一学段要求“辨认”，第二学段要求“认识”，第三学段要求“探索并证明平行四边形的性质定理、判定定理”.又如，对于直角三角形，第二学段要求“认识”，第三学段要求“探索并掌握直角三角形的性质定理，探索勾股定理及其逆定理”.显然，这种层次性体现的既是研究图形性质的方法与手段的不断丰富，更是对推理能力培养的逐渐提升.

（二）“探索”的必要性

首先，“探索”是过程性教学的要求.《课标》在“课程目标”中，不仅使用了刻画结果目标的行为动词，还使用了刻画过程目标的行为动词，充分凸显了对学生学习过程的关注.关注数学学习过程，是数学学科的本质使然，是数学教学的现实所需.

让学生真正经历概念的实际背景与形成过程，不仅有助于他们感受数学概念定义的自然性和合理性，加深对概念本质内在联系的理解，而且也能有效地培养学生从具体到抽象的概括能力和合情推理能力，进而使学生记忆深刻、理解到位、应用灵活.数学公理、定理、性质、公式、法则等数学命题可以看成是由若干数学概念组成的命题，反映了数学概念之间的特定联系.它是对数学原理所涉及的各概念提供的信息进行重新组织、转换，提出概念间关系的种种假设、猜想，进行多次反复检验，再得出诊断的过程.让学生经历命题的发现过程的教学，就是要把重点放在引导学生探究命题的发现过程、证明思路的猜测过程、证明方法的尝试过程上，让学生亲自通过观察、实验、猜想、探究、推理、归纳的过程，达到“知其然，知其所以然”的境界，在此过程中不断发展学生的推理素养.

其次，“探索”是积累研究经验的必然要求.图形的性质是对图形中各种要素之间的关系，以及图形之间关系的认识.为了更好地研究这些关系，就需要给出一些定义和基本事实，然后从定义和基本事实出发，去探索研究图形的其他性质.

在一定的情境中，引导学生借助已有的知识和经验，借助图形的直观，通过操作、度量，运用合情推理或图形运动等方法，探索发现图形可能具有的性质，这与给出“已知、求证、证明”的方式研究图形性质是有区别的.两者相比，前者更加有利于学生在获取有关知识的过程中，不断提高研究几何图形性质的能力，发展创新意识和创新能力.

（三）探索图形性质的方法

学生探索图形性质可以有以下方法：通过操作、观察、实验等活动，对现象进行归纳或类比，运用合情推理发现图形的性质;通过图形的运动，观察图形运动过程中变与不变的关系，从而发现图形的性質;通过演绎推理，发现图形的性质（如利用互逆关系）.

二、“探索”与“证明”之关系的探索

通过进一步研读《课标》，发现《课标》对图形的性质一般有五种不同的教学要求：

（1）了解（如了解平行于同一直线的两条直线平行）;

（2）掌握（如掌握平行线的性质定理）;

（3）探索（如探索勾股定理及其逆定理）;

（4）探索并掌握（如探索并掌握直角三角形的性质定理）;

（5）探索并证明（如探索并证明三角形的内角和定理）.

笔者认为，“了解”就是既不要探索也不要证明，知道就行;“掌握”不仅知道还要简单会用（即在理解的基础上，把对象用于新的情境）;“探索”便是要知道定理的来龙去脉，如果都探索清楚了，到底要不要掌握还分两个层次，其实是没有意义的，“探索”和“探索并掌握”没有实质上的区别.而“探索并证明”则好像不是那么容易把握.

对勾股定理逆定理的“探索”这一指标的不同理解，特别是如何理解“探索”与“证明”的关系，事实上成为教材编写差异的根源.估计人教版的作者认为“探索”应该包含探索发现的过程、演绎推理的过程;浙教版的作者认为“探索”和“探索并证明”是有严格区别的，探索就是只需要“探”而不需要“证”.于是研究清楚“探索”与“证明”的关系就成了问题的关键.

事实上，文[2]对此已有如下的表述：探索活动是进行合情推理的过程，不仅有助于理清思路、发现结论，而且有助于发展学生的创新意识和创新精神.探索发现的结论必须通过演绎推理才能证明其正确性，证明的过程有助于发展学生的逻辑思维能力.由此，《课标》中所指的“探索”似乎主要指合情推理的发现过程，而“证明”主要指演绎推理的证明过程.

根据前面所述的“探索”的三种方式，勾股定理逆定理的探索可以根据互逆关系从命题→逆命题（性质→判定）这样的思路获得;也可以设计情境归纳得到（如人教版的结绳打桩，构建直角三角形）;或通过作图→测量等实验验证，然后归纳猜想发现.三者看起来都有探索，细致分析就会发现，这样的“探索”既讲不清定理的来龙去脉，也得不到“证明”的方法，看来《课标》区分“探索”和“探索并证明”的奥妙就在这里了.这样“证明”就需要另起炉灶，显然定理的“探索”和“证明”是分离的，“证明”就肯定是有一定难度的，《课标》这样处理的意思应该就是这些定理的证明可以不作要求.人教版证明了，利用勾股定理和画图，本质上是“同一法”，有一定的难度;而浙教版省略了证明过程，这样的处理似乎也是有依据的.

那么“同一法”是否有必要学习呢？

三、“同一法”学习之必要性的探索

（一）“同一法”及其内涵

通常，我们采用直接证法证明命题，即要证明某个对象满足某种结论时，往往是直接讨论这个对象，从它所具有的条件出发，逐步推出它满足要求证的结论.但证明勾股定理的逆定理时，如果只是局限于△ABC，从[a2+b2=c2]这一条件来出发，则很难推出“△ABC是直角三角形”的结论.为了克服这个困难，我们可以采用以下证明的思路：先构造一个Rt△A'B'C'，并使它与△ABC有两边对应相等，再证明这两个三角形的第三边也对应相等，得出它们是全等的，从而推出△ABC是直角三角形.这种证明方法属于同一法[3].

概括地说，用同一法证明一个对象A满足某个结论C时，要先构造一个满足C的对象B，并使B和A有某些共同点，再证明B和A是同一个对象，从而得出A满足C.“同一法”这个名称，来自于这种证法的核心：证明B和A是同一个对象.同一法是不同于一般的直接证法的一种间接证法.当使用直接证法有困难时，可以考虑另辟蹊径，尝试用同一法、反证法等间接证法去解决.

（二）“同一法”学习之必要性

首先，笔者一直坚持认为，只要有条件，定理的证明还是应该有的.否则一边说数学是严谨的，一边定理都是不证明的，有点说不过去.也就是说，光有“探索发现”过程，其中的理性认识对发展学生的理性精神还是不够的.而且，作为直角三角形的重点内容，更不应该满足于“探索”，应该让学生证明.文[2]中也明确提出：数学教学中，注重“探索发现”和“演绎证明”的有机结合，有利于实现“增强（学生）发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”的课程总目标.

其次，“同一法”的证明其实是很有必要的.生活中常常见到“要证明我是我”这样荒诞的事，数学给出自己的办法：我先画个垂直，接着转化为证明线段相等.这是有意义的，目标：∠C=90°←→BC=BC′，把特殊角的目标转化为线段相等的目标.可见，这一证明思路的形成过程对于学生逻辑推理能力的培养是相当有益的.

第三，学生也已基本具备学习间接证法的能力.从七年级上册“图形的初步知识”一章的实验几何，到七年级下册“平行线”开始出现局部推理（在直观认识的基础上，进行简单的说理，将直观与简单推理相结合，开始向推理过渡），到八年级上册“三角形的初步知识”和“特殊三角形”，开始有固定格式的论证几何.学生已基本掌握了直接证法，具备了一定的演绎推理能力，此時学习“同一法”这一间接证法应该也是可以接受的.

综上所述，勾股定理及其逆定理都是初等数学中的重要定理，同时，这两个定理也都是多数初中学生在教师的精心引导下通过探索能够发现并证明的定理，教学中要重视这两个定理的教学，在教学过程中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明.从而，让学生经历勾股定理及其逆定理从特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过程.这样安排教学，有利于学生认识结论研究的必要性，培养学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：8.

[2] 义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012：72.

[3]田载今.从证明勾股定理的逆定理说起——小议同一法的证明思路[J].中学生数理化，2014（6）：4-5.