存货影响销售率的无形变质物品库存控制模型

谢小良　吴莉　谢冰琪

摘 要 为解决存储过程中价值易发生贬值的一类无形变质物品最优订货问题，建立了一种存货影响销售率的无形变质物品库存控制模型.针对零售商期初订货批量的不同水平，以库存总成本最小为优化目标，分别求得了无形变质物品库存总成本函数.鉴于这些函数中的主要部分属于超越函数，函数性质不易探明，最优解难以直接求得.为此，从严格的数学证明出发，深入探讨了函数最优解的存在性和惟一性，为进一步研究提供了理论基础.最后，通过数值算例，系统分析了模型参数对库存总成本、期初订货批量和库存更新周期的影响，并结合实际对其结果的合理性进行了解释说明.

关键词 管理科学与工程;库存控制;系统优化;存货影响销售率

中图分类号 F253 文献标识码 A

Abstract In order to solve the problem of optimal ordering of a class of intangible deteriorating items whose value is prone to depreciation in the storage process， an intangible deteriorating item inventory control model with inventory affecting sales rate is established. According to the different levels of retailers' initial order quantity， the total inventory cost is the optimization goal， and the total cost of intangible goods inventory is obtained. Since the main part of these functions belongs to the transcendental function， the function property is not easy to be proved. It is difficult to find it directly. To this end， starting from the rigorous mathematical proof， the existence and uniqueness of the optimal solution of the function are discussed in depth， which provides a theoretical basis for further research. Finally， through numerical examples， the influence of model parameters on total inventory cost， initial order quantity and inventory update period is analyzed systematically， and the rationality of its results is explained.

Key words Management science and engineering; Inventory control; Optimization; Stockdependent selling rate

1 引 言

无形变质物品是指产品没有实际物理磨损，但由于产品已经过时，不再适用、不再具有效用且不再为消费者所接受，故不能继续投入生产和生活，从而失去它应有的使用价值，或者由于某些其他原因使其价值下降的一类易逝品.这类物品通常具有生产提前期长、销售周期短及产品保质期短等特点，除此之外，由于顾客的需求具有不确定性，对于产品的后续处理一般需要较高的费用.如电子产品的更新换代速度极快，一旦出现新的替代品，其价值会立即下降甚至失去价值.飞机上的多余座位在飞机起飞后价值立即变为零.物品的无形变质，主要体现为价值的迅速下降或者消失.无形变质物品供应链的这种不确定性，是导致产品库存定量困难、库存成本增加的根本原因.另一方面，许多销售实践表明，产品现货的展示数量直接影响销售率的高低，国内外著名学者称这种现象为存货影响销售（stock-dependent selling rate），这意味着零售商使存货保持在较高的水平，可以提高消费需求.因此，这样的研究具有较大的实际价值：如何既顾及无形变质物品的易变质性质尽可能降低产品的变质成本，又考虑保持较高的存货水平最大限度地提高产品的销售率，提高产品供需两侧管理的匹配度，使产品库存总成本最小.

有关无形变质物品库存问题，国内外学者展开了一系列相关研究，取得了不少成果，主要体现在如下五个方面：一是有关存货影响销售率现象的述评.Chang（2004）[1] 和Wu（2006）[2]等的研究表明，超市里货架上摆放的商品数量越多，就能吸引更多人的注意，进而研究了相应的存货影响销售率现象.二是有关需求依赖库存水平的库存模型构建研究.闵杰和周永务（2009）[3]构造了一类需求受当前库存水平影响的非立即变质性物品的库存模型;徐春明和赵道致（2014）[4] 在两货栈的库存环境下，考虑销售率受瞬时库存水平的影响，不允许缺货，分别就线性形式的需求和幂函数形式的需求建立了以平均总利润最大为目标的库存模型.谢小良和符卓（2010）[5]讨论了存货影响销售率的无形变质物品库存-运输整合优化模型;潘义前和周优军等（2013）[6]和赵忠等（2016）[7]分别研究了二层信用策略下存货影响需求率的变质物品库存模型;刘冀琼等（2017）[8]假设订购的产品具有常数变质率，在允许现金折扣和延期支付的前提条件下，建立了一种针对变质产品的两货栈库存模型;曹裕等（2018）[9]研究了基于提前支付的非瞬时变质产品批量订货定價策略.四是有关存货影响销售的变质品EOQ模型分析.如杨善林等（2016）[10]研究了随机补货间隔且存货影响销售的变质品EOQ模型.罗兵等（2012）[11]研究了价格增长下两阶段存货影响销售率EOQ 模型;艾学轶等（2018）[12]基于产品非立即变质的特征，构建需求依赖于变质时间的多品种联合补货库存模型.五是有关利润最大和成本最小的库存决策与系统控制模型研究.如徐春明和赵道致（2015） [13]在成熟期的存货影响销售环境下，研究了一类非变质性物品的两货栈库存决策问题，建立了以系统平均总利润最大为目标的决策模型;石艳等（2016）[14]研究了存货影响销售率的生产库存系统最优控制策略;徐春明等（2018）[15] 研究了减排规制下基于存货影响销售模式的易变质产品库存优化模型.陈勇等人[16]以应急疫苗最晚运达时间最小，接收时的效用最大、运输总费用最小为目标，针对突发疫情的动态性和不确定性，建立了疫苗控制系统的整数规划模型.

综上所述，学者们运用不同方法从不同侧面建立了存货影响销售率的易逝品库存模型，并通过实例仿真，探讨了模型的最优解，为以后的研究提供了重要的借鉴与参考.但是在已有研究成果中，对库存模型最优解的存在性和唯一性，缺少严谨的数学证明.所以，以无形变质物品库存控制模型最优化研究为基础，从严格的数学证明入手，对无形变质物品库存模型最优解的存在性和唯一性进行了系统的分析与证明，具有一定的理论价值.同时，利用MATLAB仿真软件，结合算例，描述模型在不同参数条件下的变化曲线，采用数学分析方法，对模型参数进行灵敏度分析，有望获得更深入的理论结果.

2 符号说明与模型假设

2.1 符号说明

设Q表示期初订货批量，D（t）表示时刻t的产品需求率，I（t）表示t时刻的库存水平，表示存货影响销售率的库存水平临界值，存货水平小于或等于L后，需求率将不再发生改变，是一个由销售环境和产品性质决定的观测值;K表示一次订购的费用，t0表示库存水平下降到L的时刻，h表示单位时间、单位物品的库存持有成本，c表示单位时间、单位物品的变质损耗成本，T表示库存更新周期.

2.2 模型假设

（1）在存储期内物品出现无形变质，即随着新产品不断推出和顾客需求偏好的改变，产品随之发生贬值.

（2）需求率与即时库存水平成线性关系，变质率与即时需求率成反比例关系.

（3）忽略无形变质物品的物理变质率，无形变质率与市场需求率成反比.

（4）供应商采用即时配送方法，方便车辆及时供应，补充率无限大，提前期为零.

（5）不允许缺货.

由表1-5可以看出，最优库存更新周期T*分别随着参数α，β，c，L和π的增大而减小，呈负相关关系;从问题的实际背景来看，市场需求率α越大，产品销售速度越快;存货影响销售率因子β越大，同等库存水平下需求量越大;单位物品变质成本c越高，产品贬值速度越快，产品库存时间越短;存货影响销售率的临界值L越大，产品销售率受存货水平的影响越大;变质系数π越大，产品无形变质率受库存水平的影响越大，因此上述参数的变大，都会引起库存更新周期T*的变小.

最优订货批量Q*分别随着参数α，β，L的增大而增大，呈正相关关系;随着参数c和π的增大而减小，呈负相关关系;最优单位时间总成本AC*1均随着参数α，β，c，L和π的增大而增大，呈正相关关系.

这是因为当物品发生无形变质时，存贮物品的风险会增加，使得变质成本提高，为了降低成本、减少损失，零售商必须选择适当增加订货批量Q*，缩短T*来解决.

以订货周期为自变量，以库存总成本为因变量，探讨刻划存货影响销售率的两个主要参数对订货总成本的影响度.具体结果见图3和图4.

5 结 论

提出和分析了适用于在存储期内物品出现的物理变质几乎可以忽略不计，但随着新产品的不断推出和顾客需求偏好的改变，产品随之发生无形变质，且物品需求率在一定程度上受到存货水平的影响，其相应的库存控制模型能较好地描述这种变化.研究结果表明，存货影响销售率的临界值L、影响需求率的参数值α与β、影响变质率的常数π以及单位时间、单位物品的变质损耗成本c，均与无形变质物品的单位时间库存总成本AC*呈正相关关系，与最优订货周期T*呈负相关关系.而隐藏在市场本身并能影响这些参数变化的客观因素和相关参数的优化，是今后进一步研究的方向.

参考文献

[1] CHANG C T. Inventory models with stockdependent demand and nonlinear holding costs fordeteriorating items[J]. AsiaPacific Journal of Operational Research， 2004， 21（4）： 435-446.

[2] KUNSHAN WU. An optimal replenishment policy for non-instantaneous deteriorating items with stock-dependent demand and partial backlogging[J]. International Journal of Production Economics， 2006， 101（2）： 369-384.

[3] 闵杰，周永务.存货影响销售率的非立即变质物品的库存模型[J].系统工程学报， 2009，24（2）： 198-203.

[4] 徐春明，赵道致.两类存货影响销售率的两货栈库存模型的比较[J]. 系统工程学报， 2014，29（3）： 394-402.

[5] 谢小良，符卓，杨芳. 存货影响销售率的无形变质物品库存-运输整合优化模型[J].公路交通科技， 2010，27（2）： 138-142.

[6] 潘义前，周优军.二层信用策略下存货影响需求的EOQ模型[J].沈阳大学学报（自然科学版），2013，25（6）：467-471.

[7] 赵忠，王淑云，李波.时变需求下基于两级信用支付的易腐品订货模型[J].系统管理学报，2016，25（1）：83-89.

[8] 刘冀琼，杨爱峰，冯帅，张雪梅.两货栈及延期支付和现金折扣情形下变质产品的最优订货策略[J].运筹与管理，2017，26（3）：63-71.

[9] 曹裕，李业梅，李青松.基于提前支付的非瞬时变质产品批量订货定价策略[J].控制与决策，2018，33（2）：301-308.

[10]杨善林，许广繁，王晓佳，杨昌辉. 随机补货间隔且存货影响销售的变质品EOQ模型[J].系统工程学报， 2016，31（1）： 101-110.

[11]罗兵，王晶晶，潘新合.价格增长下两阶段存货影响销售率EOQ模型[J]. 工業工程， 2012，15（6）： 32-36.

[12]艾学轶，张金隆，徐浩轩，王林.需求依赖于变质时间的非立即变质品联合补货优化[J].控制与决策，2018，33（4）：671-678.

[13]徐春明，赵道致. 销售率线性依赖瞬时库存水平的两货栈决策模型[J].运筹与管理， 2015，24（5）： 97-103.

[14]石艳，王关梅，周方明. 存货影响销售率的生产库存系统最优控制策略[J].江西理工大学学报， 2016，25（6）： 467-471.

[15]徐春明，赵道致，闵杰.减排规制下基于存货影响销售模式的易变质产品库存优化模型[J].系统工程理论与实践，2018，38（06）：1512-1524.

[16]陈勇，吕文锦，蒋景涛.突发疫情中的疫苗冷链配送模型研究[J].物流科技，2018，41（05）：75-77.