有关圆锥曲线衍生出的三个探究

2019-11-08 02:34:52 求知导刊 2019年19期

徐季然 朱红光

摘 要:该篇文章主要探究了在高中数学学习的过程中有关圆锥曲线切线问题衍生出来的三个不同角度的探究。探究一:切线方程的推导与证明;探究二:曲线的“半代入”;探究三:圆锥曲线方程与切线方程的复数形式及其初步应用。文章从切线的角度挖掘了圆锥曲线中几何与复数的统一,思路新颖,角度独特,以供参考。

关键词:圆锥曲线;切线方程;不等式;复数

中图分类号:O182

文章编号:2095-624X(2019)19-0079-03

一、探究一:切线方程的推导与证明

我们知道对于一般的圆锥曲线方程

C1:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0

(其中实数A,B,D,E,F满足行列式| |≠0),

由熟知的结论有:

定理 过曲线C1:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上任意一点(x0,y0)的曲线C1的切线方程为

C2:Ax0x+By0y+D—+E—+F=0

下面笔者就对该结论进行证明。

证明一: 联立C1与C2的方程,有

{

若C2不垂直于x轴,消去y,经过大量的计算,得到一个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,其中

{

其中{

下面计算△=b2-4ac

注意到点(x0,y0)在曲线C1:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上,那么有Ax02+By02+Dx0+Ey0+F=0

并且注意到

2(Ax02+By02+Dx0+Ey0+F)=0

?S2+2BRx0+2BT=ES

?RS2+2BR2x0+2BRT=ERS

?2x0(AS2+BR2)=ERS-2BRT-DS2

?x0=—=-—

经过大量运算,得到

△=b2-4ac=0

∴此时C2为C1的切线。

若C2表示的是一条垂直于x轴的直线,那么有

∴R≠0,x=-—

且此时S=0.

∵点(x0,y0)在曲线C1:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上,且点(x0,y0)的横纵坐标代入C2方程也可以得到同样的    式子,

∴x0=-—=-—

化简后利用S=0亦可检验上式是成立的。

∴将其代入方程后消去x,用类似的方法得到关于y的一元二次方程,经过大量运算,可以得到判别式

△=0

∴原方程组仅一组解{

∴此时C2为C1的切线.

综上,原命题成立。

回看整个证明过程,可以说极其充分地体现了圆锥曲线这一部分知识的特色——对计算能力的要求较高。但是,仔细审查不难发现,上述证明不仅对思维和计算能力的要求高,过程也是不严谨的,上述证明对于一元二次方程ax2+bx+c=0中二次项系数是否为0没有进行讨论。下面笔者再提供两个证明方法供读者比较。

證明二: 若C2不垂直于x轴,将曲线C1:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0看作一个关于y的隐函数(因为圆锥曲线有良好的对称性也可以类似地进行分类讨论),那么对该隐函数求导,有

∴2Ax+2Byy'+D+Ey'=0

若y=-—,可对四种不同类别的圆锥曲线进行单独讨论,易知此时均在圆锥曲线的顶点或端点处,发现原命题均成立,此处略去讨论。

当y≠-—时,整理有y'=-—。

∴此时切线方程为y-y0=-—(x-x0),再运用Ax02+By02+Dx0+Ey0+F=0整理即得C2方程。

若C2表示的是一条垂直于x轴的直线,也可以类似地将其看作关于x的隐函数进行求导运算,可以得到此时C2为C1的切线。

综上,原命题成立。

相比之下,这种方法要更显自然而高明,计算量也减少了很多,但是这要求有较高的数学技巧,对于一般学生而言稍有难度。

证明三: 在学习了“推理与证明”这一章节后,我们对证明方法有了更系统的了解。对于这个问题正面入手较难,而根据“正难则反”,命题中又恰好包含唯一性的特征,我们自然而然想到反证法。

假设命题不成立,有

∵点(x0,y0)在曲线C1:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上,

∴Ax02+By02+Dx0+Ey0+F=0

将点(x0,y0)的横纵坐标代入C2方程也可以得到同样的式子,

∴C2:Ax0x+By0y+D—+E—+F=0为C1的割线.

不妨设另一个不同的交点为(x1,y1)(x1≠x0),有

{

一个很自然的想法就是消去常数F.①+②-2×③,有

∴A(x0-x1)2+B(y0-y1)2=0

若AB≥0,那么一定可以导出矛盾,故原命题成立。

当AB<0时,该方程表示的是双曲线,可类似地进行讨论并导出矛盾,故原命题成立。

在笔者想出这个方法之后,笔者也咨询过一些同学的意见和看法,普遍认为这是一种比较自然的想法,而且也免去了大量的计算。值得注意的是,这种方法对于四类圆锥曲线中任意一类都是适用的,但不同种类的曲线处理方法稍有不同,以双曲线为例。

例1已知方程为—-—=1(a>0,b>0)的双曲线上有一点(x0,y0),求证:过该点的双曲线切线方程为—-—=1

证明: 对—-—=1为垂直于坐标轴的直线时的情况分别讨论,发现均成立。

假设当—-—=1不垂直于坐标轴时原命题不成立,类似地,可设另一个不同的交点为(x1,y1)(x1≠x0),有

{

①+②-2×③并整理有

也即原点、点(x0,y0)、点(x1,y1)三点共线或—+—=0

分类讨论:

(1)若原点、点(x0,y0)、点(x1,y1)三点共线,则原点也在—-—=1上,代入后明显矛盾;

(2)若—+—=0,则由前面的讨论和限制条件有

交叉相乘后移项即可推出矛盾。

故原命题成立。

二、探究二:曲线的“半代入”

我们把“探究一”中求圆锥曲线切线方程的方法称为对原方程的“半代入”。因笔者水平和时间有限,这里简要谈谈一类曲线的“半代入”,其他曲线的情况留给有兴趣的读者进行探究。

推论 曲线C3:Ax2n+By2n+Dxn+Eyn+F=0(A>0,

B>0,F≠0,n∈Z+)的一类“半代入”方程C4:Ax1nxn+By1nyn+D—+E—+F=0与C3不可能有三个横坐标互不相同的交点[点(x1,y1)为C3上一点]。

证明: 反证法。类似“探究一”中的证明三,可以得到n为奇数时C3与C4仅有一个交点。当n为偶数时,设有三个互不相同的点,分别记为点(x1,y1)、点(x2,y2)和点(x3,y3),且令x2=-x1,所以只需推导出不存在这样的点(x3,y3)即可。

∵n为偶数

∴Ax1nxn+By1nyn+D—+E—+F=Ax2nxn+ By2nyn+D—+E—+F=0

分别代入三组坐标至方程中可以得到六个式子:

{

将前三个式子左端相加减去后三个式子左端的和,再运用不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ca,可得

∴x1n=x2n=x3n

即x3=x1或x3=x2与前提假设矛盾,故原命题成立。

对于曲线C3,还有一种可能的“半代入”方式为C5:Ax1nxn+By1nyn+Dx1—x—+Ey1—y—+F=0,但注意到该方程有变量范围的限制,故不在此作过多讨论,有兴趣的读者可以继续探究。

三、探究三:圆锥曲线方程与切线方程的复数形式及其初步应用

法国数学家雅克·阿达马曾说过:“在实数域中,连接两个真理的最短的路径是通过复数域。”足见复数在数学中地位之重要。但很可惜的是,据笔者的了解,高中生普遍对复数这一部分知识的重视程度不高。诚然,高考对复数的考查要求不高,但笔者认为复数的运用确实能在很多实域范围内研究的问题当中收到意想不到的结果。

在较高的观点下,我们不加推导地给出一般圆锥曲线方程与其切线方程的复数形式。

引理 复平面上曲线C1:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0对应的复数方程为—(z+z)2+—(z+z)2+—(2z+2z)+—(2z-2z)+ F=0,其切线方程也遵循“半代入”的形式,将若z0满足上述方程,将z=z0“半代入”后,即得到切线方程為:

—(z0+z0)(z+z)+—(z0-z0)(z-z)+—(z0+z0+z+z)+—(z0-z0-z-z)+ F=0

事实上,从复数的几何意义出发,也不难理解上式的合理性。

为什么要引出复数呢?很重要的一个原因就是复数的运算具有良好的性质,现举例说明。

例2已知在平面直角坐标系xOy中,点A为单位圆上的一个动点,过点A作椭圆2x2+3y2=1的两条切线,切点分别记为点M和点N。点P为直线MN上一点,联结OP。若射线OA与x轴正半轴逆时针旋转θ角后重合,试证明:|OP|≥—

解:在复平面上考虑该问题。由题目条件可设点A所对应的复数为z0=cosθ+isinθ对椭圆所对应的复数方程进行“半代入”,则有

∴直线MN所对应的复数方程为(cosθ-—isinθ)z+ (cosθ+—isinθ)z=1

由复数的三角不等式即可得到

∴2|(cosθ-—isinθ)||z|=|(cosθ-—isinθ)z|+|(cosθ+—isinθ)z|≥|(cosθ-—isinθ)z+(cosθ+—isinθ)z|=1

即等价于要证的结论。

笔者在这里留两道练习题供大家比对复数法和传统方法在实际应用中的差异。

练习 已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆方程为—+—=1(a>b>0),过椭圆外一点P(x0,y0)作椭圆的两条切线,切点分别记为点M和点N。若直线MN上存在一点Q,使得|OQ|=1,试证明:—+—≥1。

提示:“半代入”后利用方程中存在一个复数z使得|z|=1,再利用三角不等式即可得证。

限于篇幅以及笔者水平,笔者不在这一方面进行更进一步的探究,谨以此文抛砖引玉,也十分欢迎诸位读者与笔者进行深入探讨。

参考文献:

[1]哈尔滨工业大学数学系,包革军,邢宇明,等.复变函数与积分变换(第三版)[M].长沙:科学出版社有限责任公司,2017.

[2]黄利兵,陆洪文.数学奥林匹克命题人讲座:解析几何[M].上海:上海科技教育出版社,2010.

[3]张晓东.有心圆锥曲线的一类复数方程[J].齐齐哈尔师范学院学报(自然科学版),1988(4).

作者简介:徐季然(2002—),男,江苏连云港人,深圳外国语学校高中二年级在读。

指导老师:朱红光(1980—),女,河南安阳人,中学一级教师,硕士,研究方向:数学教学。