微积分教材也会有错吗

林 群 张景中

(1.中国科学院数学与系统科学研究院 100190；2.中国科学院重庆绿色智能技术研究院 400714；3.广州大学计算科技技研究院 510016)

教材是指挥棒,任何瑕疵都将殃及千千万万学子,所以原则上，要求千锤百炼、天衣无缝.实际上，数学很容易让人犯错误，我们从小到大都是从做错题中过来的.微积分史上最大人物之一,莱布尼茨，就犯过低级错误.既然凡是人都容易犯错,那么课本的作者也就可能会犯错.有些名家在证明微积分基本定理时，不够小心就滑入错误的泥坑，值得引以为鉴.我们投此稿件，就是为了提出这个问题，与各位同行共商共勉，若有认识的错误，欢迎指正.

微积分通常由力学中“瞬时速度”的概念开始.运动在某一时刻的速度，称瞬时速度.如何计算？只能按短时间走过的小路程来算. 在短时间内,瞬时速度又变了，但没有时间去加速太多，所以瞬时速度在短时间内只会有小变化(这个变化通常和时间成比例)：

小路程=(瞬时速度+小变化)×短时间

=瞬时速度×短时间+小变化×短时间；

全路程=(瞬时速度×短时间)相加 + 小变化×总时间

⟹瞬时速度积分(让时间段细分趋于零) .

不少教材不够小心,简单地认为：

小路程=瞬时速度×短时间+小变化，

或

小路程≈ 瞬时速度×短时间；

(不用瞬时速度的定义；两边都是小变化，无需用到定义)

并认为相加后

全路程≈(瞬时速度×短时间)相加

⟹瞬时速度积分.

(需要用到:小变化相加≈小变化)

上面的讨论可以翻译成符号. 路程译成f(x),瞬时速度译成f′(x),时间记h，变化记ε(通常认为：│变化│≤Ch,与x无关).(1)此假设相当于f的二阶导数在某一闭区间[x,x+h]上有界.以上h无需取非常小，照样求得导数f(x)(因为有唯一性)这样就有：∀p∈[x,x+h]，

小路程=f(x+h)-f(x)

=(f′(p)+ε)×h

=f′(p)×h+ε×h；

求和后得

全路程=f(b)-f(a)

此处积分表示f′(x)的面积.

这就是牛莱公式.

但不少教材简单地认为

f(x+h)-f(x)=f′(x)×h+小变化，或f(x+h)-f(x)≈f′(x)×h，

(两边都是小变化，无需用到瞬时速度定义)

“校企一体”教学模式使企业和学校在培养人才方面成为一体，双方共同制定培养方案，企业管理者是学生的企业导师，还是学生的上级主管；学生既是学校的一员，又是企业的员工[5]。公司把学生工作情况作为企业员工（企业导师）的考核评价指标之一，增加了企业导师的积极性。使学生在企业导师的指导下，学到更多的知识、技能。

并认为相加后“显然”就有

如果这两行推理成立，无疑是对牛莱公式证明的更大简化. 可惜他们用“显然”代替推理，其实并不显然：以上对瞬时速度的两种“认为”隐含的不同,常被人们忽视.若推而广之，其后果严重，逻辑上可导致宇宙毁灭，很刺激；见后面的反例.

也就是小斜边长≈小高，求和就得到

这不是真相,只是娱乐或魔术：逻辑错了,大错特错！所以直觉既可“发明”微积分，也可毁灭微积分！陶哲轩说：严格不是用来消除直观，而是用来消除错误的直观.

微积分的推理，常常需要从微观通向宏观；宏观的结论对了，就以为推理没有问题，所以有些理由不充足的推理不易觉察.甚至有些名著也难以避免这类问题.最近学习一本数学教育的名著，谈到微积分时有这样的表述：

我们看到，尽管是从正确的前提推出了正确的结论，但并不意味着推理过程也是正确的.其中先有一步不必要的推理，又有一步不充分的推理，两者达成了错误的平衡. 读者学到了宝贵的知识，但从中并没有获得掌握这些知识的正确而有效的方法.

微积分教科书上这样的推理并不少见，如另一本书上的类似表达：

还有其他几本中学教材都有类似的推理：

这类从微观性质导出宏观性质的推理，很容易出错.有一本很出色的高等数学教材，在证明“导数正则函数增”这个常用的定理时，是这样推理的：

通常，这个定理的证明要用到拉格朗日中值公式，或实数的某种性质.如果上面这几行推理成立，无疑是微积分理论的大大简化，具有创新价值.可惜实际上这并不成立. 我们在有理数域的区间[0,2]上定义一个函数f(x)：当x2<2时,令f(x)=x，当x2>2时,则令f(x)=x-2.这个函数在有理数域的区间[0,2]上处处有f′(x)=1>0,它在每点邻域是递增的，但f(0)=0>f(1.5)=-0.5，它在区间[0,2]上显然不是增函数.

显然，把有理数域换成[0,2]的任一稠密真子集，也能构造出类似的反例.总之，上列命题的成立有赖于实数系统的性质；推理过程完全不用实数性质，这推理不可能没有瑕疵.

允许我们重复一下，人人都会犯错. 没有错最好，如果的确错了，改正就好.如果只是毛病，或考虑欠缺，是否今后加以说明，以免误导学生.