基于角色定位的讲题教学与思考

孙 凯 殷容仪

(1.江苏省苏州市阳山实验初级中学 215151； 2. 江苏省苏州市教育科学研究院 215004)

1 问题提出

近期，在江苏省苏州市第三期乡村骨干教师培育站的培训活动中，苏州市教育科学研究院的数学教研员殷容仪老师给每位学员发放一张“学习材料”，内容为苏科版初中数学教材上的9道简单的例习题，要求学员们先做题，再思考怎样讲题，并邀请学员代表到讲台前模拟展示讲题过程，其他学员观察、思考、补充.上台的学员结合自身教学经验与思考，进行了常规性的讲题展示. 其中有一道题，殷老师从角色定位的视角进行精彩的讲题示范与点评，给学员们留下深刻印象.那么什么是角色定位，其主旨要义、适应特征与关注点有哪些，围绕这些话题，笔者作了以下探索与思考，现整理成文，供各位同仁研讨交流.

2 角色定位的内涵及适应特征

所谓“角色定位”，是指在分析和解决数学问题的过程中明确要求的目标元素是什么，把它定位成什么“角色”，以此确定探寻的路径和求解的方法. 这里的“角色定位”特指在数学解题领域，比如求解一条边长，需要考虑它的“角色”是直角边？任意边？高线？垂直平分线？角平分线？弦？特殊的边？一般的边？等.又如求解一个角度，需要考虑它的“角色”是内角？外角？对顶角？余角？等.这些分析思考问题的方式、方法都可归纳为“角色定位”.在解题过程中，能否对所求的元素进行合理的角色定位，决定了解题路径的确定与问题解决的进程.因此，在讲题教学中，引导学生抓住某个边长、角度等关键条件，对求解对象进行角色定位尝试，在明晰显性角色的基础上，积极挖掘隐形角色，实现合理、有效、精准地定位，启发学生思维，突破问题思考的瓶颈.

这里所谓的“讲题教学”指的是教师对题目进行讲解，师生共同参与的一种旨在解决定向任务的教与学的方式.题目作为讲题对象，其分类是多样的.按课程内容可分为代数、几何、统计概率和综合实践四类，按题型可分为选择、填空和解答三类，按涉及知识可分为简单类和综合类，按问题情境可分为常规型和非常规型，按运用范围可分为数学运用类和现实运用类等等.根据角色定位的内涵，我们认为其适应对象应具备“多角色”的特征，待解决的题目多出自于综合类的几何问题，求解的对象聚焦于线段、角等基本元素及相关元素.

3 教学案例

3.1 对“边”的不同定位

图1

原题呈现如图1，在△ABC中，AC=BC=3，CE是外角平分线，点D是AC边上的点，连接BD并延长与CE交于点E.

(1)求证：△ABD∽△CED.

(2)若AB=4，AD=2CD，求BE的长.

诊断分析在批改这道试题时发现异常情况，所带两个班级的90位同学中只有9位同学作出正确解答，这引起了笔者的关注.这道试题难在什么地方？学生的困惑是什么？如何帮助学生突破思考瓶颈？

此题改编自2010年四川省南充市中考数学第19题，原试题为：如图2，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E.(1)求证：△ABD∽△CED.(2)若AB=6，AD=2CD，求BE的长. 显然此题是对原试题的等边三角形作一般化的处理，增加了求解BE的难度.此题考查了等腰三角形、直角三角形、相似三角形等基础知识，内涵丰富，把BE作不同的角色定位，会发现多种不同的解法.在讲题时，紧紧围绕“角色定位”的讲题策略展开教与学，主动为学生搭建交流展示的平台，展示过程中，努力使学生的思维可视化、系统化、逻辑化，促使他们积极参与高阶思维活动.

图2

图3

图4

师：根据题目中的条件与(1)的结论，我们可以获得以上新的条件，如何让这些条件与BE建立联系，把BE定位为什么样的角色分析求解呢？

生1：在现有图形中，直接求解BE是有难度的，我打算以BE为边，构造直角三角形求解.作EG⊥BF、AH⊥BF、CQ⊥AB，垂足分别为G、H、Q，如图3.构造△EGC∽△AHB，分别求得CQ、EG，Rt△ECG中求得CG，最后在Rt△BEG中，确定BE.

点评构造以BE为边的Rt△，作EG⊥BF是最容易想到的辅助线，但是要在Rt△BEG中需先解决EG、BG的长，构造三角形相似模型帮助解决是个很好的办法，但在实际分析求解时，用“等积法”求得AH的长是很关键的一步.

生2：我也是以BE为边构造直角三角形来求解的.作EG⊥BF、CQ⊥AB，垂足分别为G、Q，如图4. 借助△ECG∽△CBQ，先求CQ，再求EG，最后在Rt△BEG中，确定BE.

点评把BE定位为Rt△BEG的斜边，与生1的解题策略类似，构造三角形相似模型解决EG、BG的长.显然，这种构造相似的方式比解法1更简捷，求解相对更简便.实际分析问题过程中，能否发现∠ECQ=90°的基本“模型”，是构造三角形相似的关键，也是解题的关键.这个“模型”与“一线三等角”模型有相似之处，教学中可以作比较鉴赏.

图5

图6

图7

生3：以BE为斜边，构造Rt△ABE求解.作CQ⊥AB，垂足为Q，连接AE，如图5. 易证四边形AQCE是平行四边形，以此证得四边形AQCE是矩形，在Rt△BAE中根据勾股定理求得BE.

点评△ABC作为等腰三角形，高线CQ是最常规的辅助线，在分析问题过程中，发现AQ与EC位置与数量上都有特殊的关系，连接AE建构出特殊的四边形(矩形)，以此构造以BE为斜边的直角三角形，以斜边的“角色”直接求之.

点评在分析问题过程中，发现BQ与EC在位置与数量上都有特殊的关系，联想到建构三角形全等模型解决问题，把BE看成“倍分”线段求之，很巧妙.

生5：我以BD为边，借助BD建构相似三角形求解BE.作CQ⊥AB、BK⊥AC，垂足分别为Q、K，如图7. 根据“等积法”求BK，在Rt△ABK中，根据勾股定理求得AK，最后在Rt△BDK中求得BD，再求BE.

点评在(1)中我们发现BD=2DE，如果能求得BD或DE的长，就能求得BE的长，如何求BD的长呢？以BD为边，建构直角三角形，利用等积法、勾股定理、相似三角形等，分别求得另外两条边长，BD求得后再求BE，水到渠成.

3.2 对“角”的不同定位

原题呈现如图8，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD=60°，∠ADC=50°.求∠CEB的度数.

图8

图9

图10

诊断分析这道例题出自苏科版数学九年级上册P57的例2，设计意图是呈现问题情境，驱动学生自主运用圆周角性质定理解决求角问题，以联系、梳理、整合知识，优化认知结构.由AB是直径，学生会习惯性添加辅助线BD或BC，见直径想直角，这是很好的数学思考习惯，是对数学知识熟练掌握的自然真实反应，值得肯定.但是，盲目的添加辅助线，在某些思考阶段会干扰学生的数学思考，比如追问为什么连接BC，多数学生会回答构造90°的圆周角，至于还有什么目的就说不清楚了.圆中的∠CEB既不是圆心角，也不是圆周角，如何求解？对学生而言，是有一定难度的.

讲题过程呈现题目，独立思考五分钟.

师：已知的条件有哪些？求解的对象是什么？

生1：AB是直径，∠ACD与∠ADC的度数，求∠CEB的度数.

师： 由已知条件，你想到什么？

生2：由∠ACD和∠ADC，可求得∠CAD，但是要求的∠CEB与∠CAD没有直接的数量关系，说明条件不够，是不是要考虑使用AB为直径的条件.

生3：由AB是直径，可以连接BD或BC，这样会得到90°的圆周角.

师：请把已知的条件在图形上作标记，思考如何求解？有哪些方法？

生4：连接BD.

师：为什么连接BD，你是怎样想的？

生4：……(不知如何作答)

师：求解对象是∠CEB，从位置上看，它是一个什么样的角？请你说说看.

生5：它是一个外角，若连接BC，也可以看出一个内角.

生6：与∠AED互为对顶角.

师：大家说的非常好，根据∠CEB的位置特征，把它定位成不同的“角色”，就决定了求解它的策略与路径，结合你添加的辅助线，说说你的想法.

生7：如图9，连接BD，则∠ADB=90°.连接BD的目的是把∠CEB定位为△BDE的外角，则有∠CEB=∠ABD+∠CDB，需分别求∠ABD和∠CDB，此时∠ABD与∠ACD、∠CDB与∠ADC有直接的数量关系，问题得以求解.

生8：∠CEB也可以定位为△CAE的外角，则∠CEB=∠ACD+∠BAC，其中∠BAC可以转换为∠BDC，利用互余关系，求得∠BDC即可.

生9：如果把∠CEB看成∠AED的对顶角，再把∠AED看成△ACE或△BDE的外角也可以求解.

师；有的同学连接BC，说说你是怎样想的？

生10：如图10，连接BC，则∠ACB=90°.连接BC的目的是把∠CEB定位为△CEB的内角，需求∠ABC与∠BCE，此时∠ABC与∠ACE、∠ABC与∠ADC有直接的数量关系，根据三角形内角和定理可求解.

师：辅助线的添加能够赋予∠CEB丰富的角色，对∠CEB进行不同的角色定位，决定了不同的求解策略和路径，希望同学们能够好好运用角色定位的方法，帮助分析和解决问题.

点评在讲题过程中，给学生充足的思考时间，以“角色定位”的视角引导学生把握问题的本质，在高阶思维活动中探寻解题策略，提升学生分析和解决问题的能力.

4 教学思考

4.1 角色定位的主旨要义

在讲题教学中，应搞清楚讲题的目的.讲题作为一种教学行为，其目的是引导学生经历问题的分析和解决的过程，启发思考，点拨、提炼和归纳方法，以帮助学生形成独立解决问题的能力.从某种意义上看，讲题教学的目的是教会学生解题.角色定位作为一种重要的分析和解决问题的方法，意在帮助学生探寻有效解决问题的方案，形成策略.波利亚的“怎样解题表”把解题分为四个步骤：理解题目、拟定方案、执行方案、回顾.在这四个步骤中，拟定方案尤为关键.角色定位相当于“怎样解题表”中的拟定方案，具体表现为深入理解题目并探求解题思路.

基于角色定位的讲题教学，其目的可以划分为两个层面：一是知识与技能层面，教会学生运用所学基础知识与基本技能解决数学问题；二是思维与方法层面，引导学生在问题解决过程中学会数学地思考，掌握思想方法，培养数学思维能力.显然，前者属于低阶思维活动，而后者属于高阶思维活动.比如在“对‘角’的不同定位”的案例中，学生运用所学知识求得∠CEB，就实现了第一层面的讲题目的，这是常态讲题教学的普遍性课堂现状.而运用角色定位的方法引导学生思考“我是怎样想的”“为什么这样想”“思考过程中遇到哪些障碍”“如何突破障碍”“我还可以怎样想”等等，让其反复经历高阶思维活动，学会数学地思考，提高拟定方案的能力.因此，讲题教学中，教师应明确角色定位的主旨要义，以更好地发挥讲题教学效益.

4.2 角色定位的关注点

在日常讲题教学中，我们会遇到两种典型的教学困惑：一是教师认为明明讲的很清楚、很到位，可学生不是太懂，仍然不能独立正确解决问题；二是学生认为课堂上老师讲的我都听懂了，为什么接下来还是不会做题.要探索造成师生困惑的原因到底是什么，应着眼于教师教了什么和学生学了什么.讲题教学的关键是培养学生的数学思维能力，特别是逻辑思维能力. 在讲题教学中，以角色定位的视角关注题目、关注学生、关注方法，能有效培养学生的逻辑思维能力，实现深度学习，解决教学困惑.

(1)关注题目

图11

理解题目是教师实施讲题教学的基础.题目应该精心挑选，难易适中，本着有利于启发学生思维，发展数学能力的原则，向学生呈现所谓的好问题.教师在理解题目的基础上引导学生从熟悉题目到深入理解题目，搞清楚未知量、已知数据、条件等信息，为探寻解题思路做充分准备.教师还应围绕题目挖掘潜在的教学价值，对于适切的题目，用角色定位的视角引导学生分析、探索，以帮助学生丰富问题解决的策略. 比如在图11中，直线a∥b，点B在直线b上，AB⊥BC，若∠2=55°，则∠1=__________°. 这里的“∠1”具备“多角色”特征，教学中，基于角色定位的视角，引导学生感受把∠1定位成内错角或余角，决定不一样的解题路径，通过简单的问题，引导学生学会多角度、灵活地思考问题，对适用于角色定位特征的问题，尝试角色定位分析的方法，体会角色定位的价值.

(2)关注学生

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者.[1]学生作为讲题教学的受教对象，不是课堂教学的“配角”，而是课堂教学的“主角”.波利亚认为教师应顺乎自然地帮助学生，教师应当把自己放在学生的位置上，他应当看到学生的情况，应当努力去理解学生心里在想些什么，然后提出一个问题或是指出一个步骤，而这正是学生自己原本应想到的.[2]角色定位作为一种探寻解题思路的方法，是对“学为中心”教学理念的践行，是关注学生、凸显学习主体地位的具体做法.

(3)关注方法

讲题教学是一种常规的学教方式，学生的学与教师的教在题目的讲解传授过程中达成.在这个师生互动的过程中，题目的解决只是起点，而数学思维方法的归纳和提炼才是落脚点.众所周知，实行启发式教学有助于落实学生的主体地位和教师的主导作用.角色定位是教师实施启发式教学的具体方式之一，教学中，基于角色定位视角的引导点拨，是对联系、转化、整合、综合、分析等数学方法的集中梳理，是引导学生经历真实性、高阶性思维活动的过程，这样的过程必将促使讲题教学既有宽度，也有高度，更有深度.