航海DDM的表面内插方法比较与分析*

贾帅东 刘一帆 戴泽源

（1.海军大连舰艇学院军事海洋与测绘系 大连 116018）（2.海军大连舰艇学院海洋测绘工程军队重点实验室 大连 116018）（3.海军参谋部指挥保障大队 北京 100841）

1 引言

数字水深模型是海底地形地貌表达的基本内容和基础框架。数字水深模型的质量高低，直接影响到海洋空间信息表达的准确性和舰船海上航行的安全性。

长期以来，国内外对DDM的研究，大多集中在数据内插方法的探讨、数据结构的分析等方面。近年来，有许多学者开始关注DDM的精细化构建技术，并开始探索其在航海中的应用。然而，对于航海DDM构建中该使用何种内插方法，目前尚无公开文献给出科学、合理的分析与结论。

因此，本文将在理清航海DDM构建基本流程的基础上，分析当前航海DDM中常用的水深内插方法，通过定量分析各方法所建航海DDM的质量和运算效率，优选出当前更为适用于航海DDM的内插方法。

2 面向航海的数字水深建模

2.1 航海DDM构建的基本过程

图1描述了数字水深建模的基本环节，主要包括水深源数据的获取、水深模型结构的确定、水深模型点的选取（或内插）、水深模型表面的内插等。当构建航海DDM时，上述关键环节都会对最终模型的质量产生一定的影响。

图1 数字水深建模过程

在这些环节中，水深源数据在建模前是已经确定的；水深模型点的选取，可采用人工选取和计算机自动选取的方式。水深模型的结构，主要包括不规则三角网、规则网格和等深线三种结构。作为与航海DDM联系紧密的航海图上的水深表达，通常强调采用原始水深数据，而网格和等深线结构模型需要通过内插获得模型点（或线），三角网结构一般使用的是原始水深数据，因此，由当前航海图水深所建立的模型通常采用的都是三角网结构。这也是目前人们在航海DDM中使用时间最长、应用最为普遍的模型结构。为此，考虑到当前人们对航海DDM的使用习惯，本文的研究将以三角网作为航海DDM的基本结构。

2.2 航海DDM的表面内插方法

对于DDM的表面内插方法，以往在海洋测绘领域往往关注较少，更多地只是注重水深模型点的质量，缺少对模型表面的认识。事实上，如图1所示，在选取出水深模型点以后，还要利用这些模型点来内插推估模型表面任意一点的水深，这样才完成了DDM的表面重建。

目前，DDM的表面内插方法主要包括浅点推估法、线性内插法、自然邻近法、移动曲面法、加权平均法和克里金插值法等。

1）浅点推估法

出于对舰船航行安全的考虑，航海人员在实际使用由航海图水深所建的模型时，一种较为常用的模型表面内插方法是浅点推估法。具体方法如图2所示，首先利用水深模型点建立Delaunay三角网，然后根据待插点q的平面位置，确定其所在的三角形P1P2P3，然后使用该三角形三个顶点水深的最小值推估待插点q的水深值，即：

图2 水深内插

2）线性内插法

线性内插法是三角网结构的数字水深模型中另一种普遍使用的模型表面内插方法。如图2所示，与浅点推估方法相类似，线性内插法也是首先建立Delaunay三角网，根据待插点q的平面位置确定其所在的三角形P1P2P3。与浅点推估法不同的是，接下来线性内插法是根据三角形三个顶点的平面位置和深度值确定出一个平面，然后求出待插点水深值。如图2所示，假设三角形P1P2P3所在平面可用以下函数的形式表达：

式（2）中，参数a1、a2、a3可以根据三个已知参考点如 P1(x1，y1，z1) ，P2(x2，y2，z2) ，P3(x3，y3，z3) 计算求得。这三个参数可以根据式（3）进行严密计算：

在求出参数 a1、a2、a3后，代入式（2），根据待插点的平面位置，即可计算出待插点的水深值。

3）自然邻近法

Voronoi图，作为Delaunay三角网的对偶图，在地理信息系统的空间分析计算中有着广泛的应用。自然邻近法就是一种基于Voronoi图的空间插值算法。其基本思想是对每个输入的水深点基于它们假设的“影响面积”来创建权重，这些面积通过每个水深点周围的Voronoi多边形生成来确定。假设有n个离散水深点，它们对应的Voronoi多边形分别为V1，V2，…，Vn，对于待内插的水深点为q，将q点插入原Voronoi图后，产生的新的关于q点的Voronoi多边形，记为Vx。该多边形与原始邻接Voronoi多边形相交，相交部分即为确定权重的依据。设 q点的相邻点集为 p1、p2，…，pn（i=1，2，…，n），pi所在的 Voronoi多边形记为Vpi。将邻接点 pi的Voronoi多边形与多边形Vx的相交区域面积记为Si，pi水深记为zi，则待插点q水深 zq为

4）移动曲面法

在数字水深模型表面内插方法中，还有一类方法是以待插点为圆心，确定出一个圆域（简称邻域），并基于圆域内的水深模型点，采用某种数学模型推估出待插点的水深。移动曲面法就是其中的一种常用方法，基本思想是以待插点为中心，利用其邻域内已知数据点的水深值，建立一个多项式的拟合曲面，然后根据这个曲面求取待插点的水深值。假设待插点q的平面位置为(xq，yq)，选取其邻近范围内的n个已知数据点（可称其为参考点），来拟合一多项式曲面。一般采用如式（5）所示的二次曲面多项式。

式（5）中，x、y、z是参考点的坐标值，a1、a2、a3、a4、a5、a6为待定参数。

多项式的各参数可由n个选定的参考点用最小二乘法进行求解。求得多项式各参数后，则待插点q的水深zq为

式（6）中，待插点邻域范围常采用动态搜索圆半径方法确定。一般情况下，当数据点个数大于8时，应用完整二次项，当数据点个数在6～7之间时，舍去xy项；当数据点个数在4～5之间时，舍去平方项，而仅有三个点时仅用线性项等。

5）加权平均法

由于移动曲面法通常需要采用最小二乘法进行求解，计算相对较为复杂，所以在目前的水深内插中，更为常用的是直接根据模型点的平面位置和水深来计算待插点水深的反距离平方加权平均法，简称加权平均法。反距离平方加权平均法在解算待插点q的水深时，其数学模型为

式（7）中，zq是待插点q的水深，zi是第i个模型点的水深值，n为参考点的个数，diq为第i个已知点到待插点q的平面距离。

6）克里金插值法

反距离平方加权法是根据模型点与待插点的平面位置关系来确定内插模型中的权重大小，另一种较为常用的权重确定方法是以变异函数理论为基础的克里金插值法。克里金插值法是建立在变异函数理论分析基础上，对有限区域内的区域化变量取值进行最优无偏估计的一种方法，将待插点的水深值zq看作邻域内n个模型点水深值的线性组合，如式（8）所示。

式（8）中，zq是待插点q的水深，zi是第i个模型点的水深值，n为模型点的个数，λi是第i个模型点的权重。在最优无偏估计的前提下，可得权重λi的克里金方程组，如式（9）所示。

式（9）中，λi是第i个模型点的权重，μ是拉格朗日乘数，Cov(i，j)是点 i与 j的协方差，Cov(q，i)是点 q与i的协方差。其中，Cov(i，j)与Cov(q，i)可通过计算变异函数求得。

采用变异函数来表示克里金方程组：

变异函数的求取通常是首先计算实验变异函数，然后选取某个理论变异函数模型，进而通过拟合理论变异函数模型来算出变异函数值。本文选取较为常用的参数设置：变异函数模型为球状模型，搜索半径为可变的，模型点个数为20。

3 试验与分析

选取如图3所示的典型海区，使用CPU主频3.30GHz、内存4GB的计算机，进行比对试验。

首先从原始水深数据集中适当选取一定数量的水深点作为检查点 i（i=1，2，...，n），然后按照取浅舍深原则，选取浅点水深，分别采用浅点推估法、线性内插法、自然邻近法、移动曲面法、加权平均法、克里金插值法来推估模型表面任意点的水深，构建起三角网DDM。最后，基于三角网DDM内插这些检查点的水深值z′i，并与检查点原始水深值zi作比较，采用文献［14］所提方法计算所构模型的深度保证率及其合格率、表达度。同时，记录每种内插方法的内插耗时。具体的试验结果如表1所示。

图3 试验海区

从表1中可以看出：1）对于同一区域，在比例尺相同的前提下，浅点推估法所构模型的深度保证率及其合格率都要高于其他内插方法；2）对于同一区域，在比例尺相同的前提下，多数情况中采用线性内插法所建模型的表达度最高，克里金插值法、自然邻近法、移动曲面法、加权平均法次之，浅点推估法所建模型的表达度最低，故确定线性内插法为后续论文研究模型在航行资源表达质量方面的比对基准；3）从建模效率来看，浅点推估法和线性内插法的内插耗时最短，效率最高，加权平均法次之，其余3种方法的内插耗时相对较长。

不失一般性，对该区域不同内插方法在比例尺1：10000下建立的水深模型进行三维显示效果比对，如图4所示。

表1 DDM保证率、表达度与内插耗时比对

图4 比例尺1：10000下DDM三维效果比对

从图4中可以看出，浅点推估法建立起的模型表面是不连续的，呈现出“阶梯状”（图4（a）中■色部分表示两相邻三角形因边界不连续出现的断面），这种不连续的“阶梯状”表面与人们通常对连续海底地形表面的理解不相符，会给海上航行需要连续的决策分析带来不便。浅点推估法所建立起的“阶梯状”模型表面是其在本质上所固有的，无法通过技术手段的改进来改变。除浅点推估法外的其他方法建立的模型表面是连续的，符合人们对海底地形表面的认识，更便于航海人员在海上进行连续的决策分析。在这些所建模型表面连续的内插方法中，线性内插法的建模效率优势明显，且在模型的保证率和表达度方面也具有一定的优势，同时也是这些模型表面连续的内插方法中唯一可能与手工作业相结合的方法，因此本文认为选用线性内插法作为航海DDM的表面内插基础算法，是相对合理的。

4 结语

通过分析、计算及试验比对，得结论如下：

1）在航海DDM的表面内插方法中，最浅点法所建模型的保证率最高；

2）在航海DDM的表面内插方法中，线性内插法所建模型的表达度最高；

3）在航海DDM的表面内插方法中，最浅点法和线性内插法的运算效率最高；

4）最浅点法所建模型表面不连续，其余常用内插方法（线性内插法等）所建模型表面连续光滑。

综上所述，线性内插法作为航海DDM表面内插的基本方法更为合理。当然，本文只是针对某一多波束测深海区，基于多波束水深数据，对航海DDM中常用内插方法进行了比对分析，并优选出来了相应的水深内插方法。对于不同的水深源数据以及更多海区的比对试验，还有待于进一步地论证。