巧析公式逻辑联系化解图形解题难关

张益

【摘要】小学数学中，长方形、平行四边形、三角形、梯形等，对它们之间的关系进行分析，做出面积关系是相等或几倍，高或底之间是几倍（几分之几）关系，这对小学生有一定的难度，通过阅读张奠宙教授的有关教学理论，利用数学公式网络化特征，分析它们的内置逻辑联系，就能化解其中的难点了.

【关键词】数学;公式;特征

“数学课程中的数学公式常常以群组的面貌出现，针对某个概念或者某种操作先推导出一个公式，然后逐步深化、拓广，最后得到一组公式，形成一个公式群.”这些公式之间的关系，通过透彻分析，能够反映它们之间的逻辑关系，能够有一个高屋建瓴的认识，可谓“一览众山小”的感悟.

苏教版五年级上册有关平面图形的面积计算公式是这样安排的，在已经学过的长方形和正方形面积的基础上，安排平行四边形、三角形、梯形的面积公式的推导，把平行四边形转化成长方形得出公式为S=ah，然后把三角形转化成平行四边形得出公式为S=ah÷2，最后把梯形转化成平行四边形得出公式S=（a+b）h÷2，学生通过自己探究能掌握它们与平行四边形的底和高之间的关系，但是还是有部分学生对它们的掌握有一定的难度，而在利用它们之间的联系到作图中，却使不少学生遇到了困难，怎么才能化解这个难点呢？

笔者也感到苦恼，怎样才能让学生根据给出的图形，作出与它面积相等或几倍（几分之几）的其他图形呢，笔者也绞尽脑汁，经过笔者的思考和分析，一次笔者突然发现能否把长方形（正方形）、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式联系到一起来想呢，长方形的长、宽、高，平行四边形的底、高，三角形的底、高，梯形的底、高分别看成与梯形的上底、下底和高呢？通过计算还真行，于是笔者就把它利用在作图中，笔者惊喜地发现这个方法还真管用，班上的学生在这个难点上有了突破，笔者有点小小的激动.

笔者没有满足于此，而是思考它们之间是否有数学理论的支撑呢，于是就找来了张奠宙教授等主编的《数学课程与教学论新编》来阅读才恍然大悟，数学公式之间运用动态的观点考查我们学过的平面图形公式，形成清晰的公式网络，分析它们之间的是派生关系、相关并列关系还是总括关系，对这些公式有个总体的认识，认识它们之间的逻辑联系，那对我们平时教学起到相当重要的帮助，考虑问题会高屋建瓴，更好地为教学服务.

笔者原来认为小聪明做法，其实只是把这些公式的内在联系总括了一下，长方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式都可以概括为S=（a+b）h÷2.

观察上面的图形，会发现长方形的长、平行四边形的底、三角形的上底变为0、梯形的上底都是一样特征，下底也具有一样的特征，也就是它们都与梯形特征类似，所以它的公式都适用其他的几个图形.它们实质上有内在的逻辑联系，充分阅读数学理论，分析它们的逻辑关系，对笔者的教学有很大的帮助.

掌握了上面几种平面图形公式的特征，那么对面积相等，几种图形中等底，它们的高是什么的关系，高相等它们的底又是怎样的关系，就会迎刃而解.对面积之间是几倍（几分之几），高或者底之间又是什么的关系，通过通用公式公式S=（a+b）h÷2，对不同图形的面积计算都能得到很好的解决.

例如，一个三角形的面积是16平方厘米，底是8厘米，作出与它面积相等的平行四边形和梯形.我们可以根据几个平面图形面积的通用公式思考，三角形的上底是0 cm，下底是8 cm，得出高是4 cm，那么平行四边形的上下两底的和是16 cm，高只能是2 cm，如果高与三角形的高相等，那么上、下底的和只能是8 cm，而平行四边形的上、下底是相等的，那么它的底就是4 cm，它的面积才能与三角形面积相等;而梯形的上、下底的和是8 cm，高与三角形相等，它的面积就与三角形相等了.

如果已知一个平行四边形的面积是32平方厘米，作出一个与它等底（高）面积相等的三角形、梯形，通过分析通用公式，利用它们的内在逻辑联系，也能很快分析出它们的高（底）与平行四边形是什么关系.至于更难一些作出图形的面积与已知图形面积之间是几分之几关系的，通过公式也能很顺利地得出要作的图形与已知图形高（底）是几分之几的关系.

了解了这个公式网络，明白了内在的逻辑联系，于是再回过头来想想教材中的有关几个平面图形的作图问题，也就迎刃而解了.在以后的教学中笔者对此有了深刻的理解，在教的时候就更加的得心应手了.

通过这个问题的思考，笔者认为我们教师必须阅读大量的教育教学理论书籍，才能够站到一定的高度去看问题，才会理解知识之间的网络，才会有一览众山小的眼光，为今后的教育教学走得更高打下坚实的基础.

其实，我们数学教师需要阅读一些数学史，了解数学发展的历程，以及数学发展的方向，阅读一些数学教学理論，对我们平时教学方法、教学思维、教学视野的开阔有很大的帮助.