圆锥曲线离心率问题的解题策略探析

吉树华

[摘  要] 圆锥曲线离心率问题的解题策略是需要学生掌握的重要知识，考虑到离心率问题的考题一般与其他知识点相结合，以综合题的形式出现，因此其解题策略也较为灵活，可以从基本定义入手、结合点坐标，也可以采用数形结合、引入参数方程. 文章结合实例对其解题策略加以探析.

[关键词] 圆锥曲线;离心率;定义;点坐标;数形结合;参数方程

离心率是圆锥曲线重要的研究内容，也是刻画曲线外观形状的重要参量，而以求解离心率为基础命制的考题在高考中屡次出现，并且常与其他知识相联合，如不能掌握相应的求解策略极有可能丧失解题方向，陷入误区，下面将探究四种较为常见的解题策略.

策略一：基于离心率定义，分列等量关系

圆锥曲线的知识学习均是从定义来开展的，因此利用离心率的定义是求解离心率问题最为基本的策略方法，离心率e表示动点到焦点与其到准线距离的比值，而在实际解题时可以将第一、第二定义综合起来求解分析.

例1：已知双曲线 - =1的左右焦点分别为F1和F2，若在双曲线的左支上存在一点P，使得PF1是PF2与点P到双曲线左准线距离d的等比中项，若设双曲线的离心率为e，试求e的取值范围.

解析：题干给出了相关条件求双曲线离心率e的取值范围，题中条件主要有两个：一是点P位于双曲线的左支上，二是PF1为相关距离值的等比中项. 其中涉及曲线上的动点、准线等内容，因此可以从离心率的基本定义入手，分列等量关系. 具体如下：

根据等比中项的相关知识可知 = ，进一步结合离心率的第二定义可得 = =e①，而根据离心率的第一定义可得PF2-PF1=2a②.

变形关系式①，则有PF1=ed，PF2=e2d，代入关系式②则有e2d-ed=2a，所以d= ，考虑到双曲线左支上的动点到准线的最小距离为a- ，所以 ≥a- ，即e2-2e-1≤0，解得1

评注：上述在求解双曲线的离心率时巧妙地将第一和第二定义结合起来，从中推导出相关的等量关系，通过构造离心率e的不等式来求解其范围，从而达到解题的目的. 因此在平时的学习时需要充分理解圆锥曲线的定义，掌握其应用方法.而根据定义开展离心率求解的具体思路为：基于离心率的定义分列等量关系，并构造出含有离心率e的关系式，然后通过关系式的变形转化、方程求解等方式来求解.

策略二：基于定点坐标，构建代数方程

标准方程是圆锥曲线量化的重要方式，也是研究圆锥曲线的重要内容，根据点与曲线方程的关系可知曲线上点的坐标必然满足对应曲线的方程，因此求解时除了可以利用离心率的定义外，还可以利用圆锥曲线上点的坐标，构建关于参数a，b，c的代数方程.

例2：如图1所示，椭圆 + =1（a>b>0）位于平面直角坐标系xOy中，设椭圆的四个顶点分别为A1，A2，B1，B2，点F为椭圆的右焦点，连接A1B2，B1F，设其交点为点T，再连接OT，交椭圆于点M，若点M恰好为线段OT的中点，试求该椭圆的离心率.

解析：本题目的特点主要为在平面直角坐标系中构建椭圆图形，以及相关几何关系，因此离心率的求解需要依托点的坐标，结合离心率的表达式逐步转化推导. 具体如下：

根据题干可设A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），F（c，0），因此直线A1B2的方程可表示为bx-ay+ab=0，而直线B1F的方程可表示为bx-cy-bc=0，点T为两线的交点，故联立两直线方程可解得点T的坐标为 ， ，则点M的坐标为 ， . 考虑到点M位于椭圆上，则满足椭圆的方程，代入可得 + =1，整理得e2+10e-3=0，解得e=2 -5，即该椭圆的离心率为2 -5.

评注：上述在求解椭圆的离心率时，以点坐标作为切入点，联系直线方程、几何中点特性，完成关于离心率方程的构建，虽然计算过程较为复杂，但整个求解思路较为清晰，就是以椭圆上动点坐标作为整个思路的核心，逐步开展探究.因此基于曲线上定点坐标求解离心率的具体思路为：结合图像，联系几何性质完成曲线上定点坐标的表示，然后利用定点在曲线上的方程特性变形出关于离心率方程，从而实现离心率的求解.

策略三：基于数形结合，探寻对应关系

离心率问题有时涉及曲线图像，并以曲线图像为基础构建相应的几何图形，对于该类问题可以采用数形结合的方法策略，即将图像中的几何性质与圆锥曲线知识相结合，从中提炼出代数式，然后完成离心率的变形提取.

例3：已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆 + =1（a>b>0）的左右焦点，若点P为椭圆右准线上的一个动点，现连接PF1，PF2，再作PF1的垂直平分線，恰好垂直平分线经过点F2，试求椭圆离心率e的取值范围.

解析：本题在椭圆中构建了几何线段的垂直平分线，因此求解时可以充分利用数形结合的方法，首先根据题干描述绘制相应的图像，如图2，设右准线l与x轴的交点为点Q，根据平分线的性质可得PF2=F1F2=2c，而点P存在的条件为PF2≥F2Q= -c，即2c≥ -c，则3c2≥a2，解得e≥ . 又知椭圆离心率e<1，所以 ≤e<1，即椭圆离心率e的取值范围为 ，1.

评注：上述离心率求解问题存在鲜明的特点，即在椭圆中构建了垂直平分线，因此采用数形结合，利用几何性质构建代数关系是最为有效的策略. 采用数形结合法求解离心率范围的具体策略为：先分析其中的几何特性，然后采用数形结合的策略将其转化为关于曲线参数a，b，c的不等关系，最后结合不等式的性质确定离心率的取值范围.

策略四：利用参数方程，转化离心率

参数方程是求解圆锥曲线问题较为常用的知识，在求解圆锥曲线的离心率问题时同样可以利用对应曲线的参数方程，即将曲线的方程、点坐标用对应参数表示，然后基于题干条件从中提炼出关于曲线离心率的参数式.

例4：已知椭圆的标准方程为 + =1（a>b>0），若椭圆与x轴的正方向交于点A，椭圆上存在一点P使得OP⊥PA（点O为坐标原点），试求该椭圆离心率的取值范围.

解析：上述离心率问题中给出了椭圆的标准方程，以及相关的垂直关系，因此求解时需要利用其斜率乘积的关系.如果采用常规的设点P的一般坐标，求两直线的斜率也可以构建相应的代数关系，但相对而言较为复杂，最为简洁的方式是引入椭圆的参数方程，将点P的坐标参数化，构建相应的参数关系式，从中变形出离心率. 具体如下：

设上述椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ， θ为参数，则动点P的坐标可表示为（acosθ，bsinθ），其中θ≠ ，k∈Z，则直线OP的斜率可以表示为 . 由椭圆方程可知点A的坐标为（a，0），则直线PA的斜率可以表示为 . 由于OP⊥PA，则两线段所在直线的斜率之积应为-1，即 · =-1，化简变形后可得 = ，而离心率e2=1- = ，其中cosθ的取值范围为（0，1），所以 的取值范围为 ，1，则e∈ ，1，即椭圆离心率的取值范围为 ，1.

评注：上述求解涉及两线垂直的离心率问题时引入了椭圆的参数方程和点的参数坐标，然后基于题干条件构建关于参数的方程，从而逐步完成离心率取值求解. 需要注意的是在分析时需要考虑参数的取值范围，确保离心率范围的合理性. 另外利用参数方程求解离心率取值的基础是掌握相关曲线参数方程的表示形式，包括圆、椭圆、双曲线等，同时注意总结归纳直线与曲线相结合问题的参数方程构建形式.

综上可知，求解圆锥曲线离心率问题的关键是充分利用圆锥曲线的定义、性质以及几何图形的关联知识，从中挖掘隐含条件，构建关于离心率或者曲线参数的代数关系，进而转化出离心率的取值. 虽然离心率问题的解题策略较为众多，但始终离不开基础知识的综合应用，因此学习时需要重视教材内容，善于总结归纳，构建不等式、函数、代数、几何等知识体系，强化自我对圆锥曲线内容的理解，促进解题能力的提升.