设计有效问题 优化数学活动

解则霞 郑岩

[摘  要] 在高中数学教学中，要基于学生的多元数学活动打造高效的数学课堂，以此全面提升课堂教学效能以及学生的自主学力. 教师的有效问题是引导学生开展数学活动的重要手段，基于此背景，文章对设计思考性问题，驱动数学活动;设计冲突性问题，推进数学活动;设计肯定性问题，保障数学活动的策略进行了探究.

[关键词] 高中数学;有效问题;数学活动

数学这门学科具有典型的科学性和抽象性，也是我国课程体系中极具重要性的基础学科之一，对于促进学生综合素养的全面发展起着非常重要的作用. 对于高中生来说，高中数学是一门比较难的课程，很多学生普遍感觉很多数学概念、定理及性质晦涩难懂. 高中生在实际数学学习过程中，已经不满足于教师单纯的“说教”，他们更喜爱自主探索.在“学为中心”的高中数学课堂教学中，教师要设计有效问题引导学生在数学活动中进行数学学习，以此激活他们参与数学学习的主动性和积极性.

设计思考性问题，驱动数学活动

在高中数学教学中，教师应深度把握教材，并在此基础上为学生设计合适的教学情境，使学生能够在情境中提出具有思考价值的问题，这样才能够确保学生的数学活动参与度，才能使学生在实际学习的过程中主动发现问题，同时还能够展开对问题的自主思考以及有效解决，才能够快速且高效地获取知识，突破传统的被动学习状态，实现以生为本的主动探索.

例如，一位教师在教学《双曲线及其标准方程》一课时，首先引导学生一起复习了椭圆的定义以及方程，然后提出以下问题：如果将椭圆的定义改为“在平面内到两定点的距离之差等于常数”，能够得到怎样的点的轨迹？学生对于这个问题提出了自己的见解，此时，教师根据学生的回答提出以下三个问题：（1）这一常数可以为什么数？（2）如果常数为零，能够得到怎样的点的轨迹？（3）如果常数大于零，又能得到怎样的点的轨迹？如果小于零呢？

上述问题有效地激活学生主动探究的欲望，使学生基于这些问题生发对知识的兴趣，进而展开主动探索. 学生以小组为单位展开自主交流，教师则用相应的教具为学生进行演示，探究结束后由学生自主分享和交流. 之后，教师借助几何画板向学生展示双曲线轨迹的具体形成过程，虽然在这一过程中并未由学生亲自开展动手操作实验，但是由于教师所设计的具有合理性的问题，引发了学生的深入思考，就此也能够得到同样的效果. 学生通过自主探究总结出双曲线的定义之后，引导学生探究常数所需要满足的条件，简单地说就是2a和2c之间的大小关系. 然后，又引导学生思考如果2a等于2c，或者2a大于2c，又会得出怎样的结果？学生在动手操作、画图、推理等数学活动中完成对这一问题的有效解决，真正体现了课堂“动”起来所独有的魅力[1].

然后，教师引导学生自主推导双曲线的方程，其中既包括动手操作以及实际演算，也包括去绝对值符号以及如何简化方程等等. 以去掉绝对值符号为例，学生自主提炼出了两种方法：其一為平方法，其二就是去掉符号之后等于正负数.针对类比椭圆方程的推导，第二种方法有助于简化计算，由此得出双曲线方程. 实际推导过程中，作为教师应引导学生关注双曲线方程中a，b，c三者之间的关系，并结合椭圆展开类比，帮助学生深化认知、加深印象. 由于学生处于基于动手、动笔以及动脑的状态中，这样的课堂能够真正体现以生为本. 学生可以根据已经掌握的椭圆方程以及推导经验自主展开探索，由此收获知识，这也有助于明确参量a，b，c之间的关系，还能够自主和椭圆之间展开对比，并有效区分，这样的教学和传统的直接灌输式教学相比，效果更为显著.

最后，由教师任意给出几个双曲线方程，学生自主判断，并区分a，b的大小关系实际上并不存在必然联系. 同时也能够使学生了解：对于双曲线的焦点位置的确定来说，必须要结合系数的正负. 很显然，通过学生的积极主动探索以及自主发现，帮助学生深化了对相关知识的认知，而且在整堂课的教学实践中，学生都能够积极参与其中，真正“动”了起来，既是对素质教育的充分落实，也能够体现教师的主导功能以及学生的主体地位.

设计冲突性问题，推进数学活动

学生基于数学知识所架构的认知结构，实际上也是一个始终处于变化中的动态组织，伴随着认知活动的持续进行，认知结构会不断地分化以及不断地重组，而且日益精确和完善. 实际教学过程中，教师需要充分利用学生已经掌握的数学知识，并就此与新知之间建立关联. 根据新旧知识之间的共性以及学生的认知冲突，使学生可以在不断同化以及异化知识的过程中，完成对数学知识的建构以及对认知结构的完善[2].

例如，一位教师在教学《复数的概念及定义》一课时，首先给学生提出了以下问题：基于实数范围，如何求解方程10x-x2=21？很多学生都会选择求根公式这一方法，能够快速求出方程的解，也有部分学生选择十字交叉相乘方法.然后，教师让学生求解方程10x-x2=40.基于惯性思维，大多数学生都会选择检验“Δ”的方式，判定这个方程是否有解，当然也有部分学生因为提前预习了教材知识，能够就此判定这一方程的根.在此基础上，教师追问：正整数范围内方程x+2=0是否有解？如果是在有理数范围内x2=2是否有解？怎样才能使其有解？对于这个问题，学生展开了讨论：

生1：如果确定在正整数范围内，很显然这一方程无解;如果是在整数范围内有解：x=-2;如果在有理数范围内x2=2同样无解，在实数范围内有解：x= .

师：如何判定正整数与整数之间的集合关系？又如何判定有理数与实数之间的集合关系？

生2：正整数是整数的子集，在整数中既包括正整数、负整数，也包括零;有理数是实数的子集，在实数中既包含有理数，也包含无理数.

师：x（10-x）=40这一方程在实数域内无解，如果对实数域进行扩充，方程在新的定义域中有解，为了使方程有解为x=5± ，应当满足怎样的条件？

生3：满足-1有意义，事实上x=5±  .

师：回答得非常正确，我们本节课所要学习的内容就是如何在特殊数域内有效解决-1有意义这一内容，也就是复数域.

不管是发现问题还是解决问题，都是提高学生数学能力的重要环节. 以上案例中，问题1和2可以被认为是同一条件、不同问题的同化和演绎过程，这种认知冲突有助于激活学生参与活动的热情;问题3和4则是对数系的扩充，能够充分展现概念學习的同化演绎过程.对于知识的持续过渡，可以引导学生基于已掌握的知识中发现认知冲突，并就此展开重新认知.

设计肯定性问题，保障数学活动

在高中数学课堂教学中，很多教师都特别担心学生不能深入、透彻地理解知识，所以，会大包大揽地直接灌输，认为只要自己讲得越透彻，学生就理解得越深入，实际上，这是对学生想象能力以及创造能力的极大遏制，使学生长期习惯于被动地接受知识，长此以往必然难以生发对数学学习的乐趣和动力，进而懒于思考，惰于学习. 所以，作为教师应逐步放手，可以将具体的工作重点放置于发现学生的闪光点以及对学生的激励等诸多层面，只有让自己处于“无为”的状态，才能够促进学生的“有为”[3].

例如，在教学《直线的倾斜角和斜率》一课时，在练习环节笔者给学生设计了这样一道习题：经过原点，在给定的平面直角坐标系中分别画出斜率为1、-1、2及-3的直线. 要求学生基于已知条件自主画图，并鼓励他们创造性地运用公式来解决这一问题，学生所得出的具体解答方法如下：

生1：根据斜率的特殊性，分别求出倾斜角之后画图.

师：你的理解很深刻.那么你们是如何画出斜率为2以及-3的直线呢？

生2：基于斜率公式，判定直线上点的坐标关系，只要明确另一个点，就能够画出一条直线.

生3：利用直线过原点这一已知条件，结合斜率的取值，假如x取值为1，就能够相应得出y值，由此便可画出直线.

以上案例中，学生所展现出的不同结果，笔者都给予了充分的肯定，他们利用已有知识而展开思考的能力以及解决问题的能力也是教师不可估量的. 在实际解答问题的过程中，难免会呈现出想法的不一致，此时教师应积极鼓励学生大胆发表个人见解，提出自己的解题思路，之后结合引导和点拨，帮助他们纠正认知偏差. 通过设置提问，既能够引导学生展开充分思考，也能够就此生发“拨开云雾见青天”之感，这样学生必然可以始终保持较高的学习兴趣以及探究热情，保障课堂教学实效[4].

总之，对于数学教学而言，判定其是否有效关键在于能否让学生动起来，能否使学生的思维活跃起来，能否使学生乐于其中、学有所成，所以，作为教师必须精心设计教学活动，充分发挥教学智慧使课堂活起来，这样才能变“教”为“导”，才能以“讲”启“研”，才能助“学”为“思”，才能够确保每一节课的教学实效.

参考文献：

[1]  李建潮. 在感悟问题中“玩”数学[J]. 中学数学教学，2018（03）.

[2]  刘玉华. 摭谈高中数学课的问题设计[J]. 中学数学教学参考，2018（31）.

[3]  杨利刚. 呈现问题潜在价值 助力学生素养提升[J]. 中学数学月刊，2018（07）.

[4]  陈丽华. 优化问题设计，提升高三数学复习的效率[J]. 数学教学通讯，2018（33）.