基于热传递数学模型的高温作业服织物厚度设计

王佩佩，王 帅，欧昕鑫，周 鑫，许 璐

（江汉大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430056）

在石油、冶金、化工、建筑、消防等特殊行业中，工作人员在高温环境下工作时经常需要穿着专用的高温作业专用防护服以避免灼伤。高温作业专用服装通常由三层织物材料构成（图1），分别记作Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ层，其中第Ⅰ层与外界环境接触，称为阻燃层；第Ⅱ层为防水层；第Ⅲ层为防热层；第Ⅲ层与假人皮肤之间存在的空隙称为空气层，记为第Ⅳ层。三层纺织材料相较于单层和双层纺织材料而言，隔热效果和防护性更强，因此应用量也日益增长。

目前，三层纺织材料的相关研究是将体内温度控制在37 ℃的假人装置放在实验室的高温环境下，通过测量假人皮肤外侧的温度来预测随时间变化的各层织物、皮肤以及空气层的温度分布，进而探讨热传递的物理现象，设计出高性能的高温作业专用服装［1-2］。

图1 高温作业服结构图Fig.1 Structure chart of high temperature working clothes

本文拟建立三层纺织物-空气层-假人皮肤层这一热传递模型，根据文献［3］提供的各层织物的参数推导出热传导方程，通过分析MATLAB 求解结果计算假人皮肤外侧的温度分布，确定了三层织物中的第Ⅱ层防水层和第Ⅳ空气层的最优厚度，为高温作业服的设计提供技术参考。

1 问题提出

根据文献［3］提供的原始数据，在不同的假设条件下，分别解决以下3 个问题。

问题一:假设在环境温度为75 ℃、高温作业服第II 层厚度为6 mm、第IV 层厚度为5 mm、工作时间为90 min 的约束条件下，计算假人皮肤外侧的温度分布，并生成温度分布图。

问题二:假设在环境温度为65 ℃、高温作业服IV 层厚度为5.5 mm 时，确保工作时间60 min，假人皮肤外侧温度在44 ～47 ℃之间的工作时长不超过5 min 的约束条件下，确定第II 层的最优厚度。

问题三:假设在环境温度为80 ℃时，确保工作时间为30 min 时，假人皮肤外侧温度在44 ～47 ℃之间的工作时长不超过5 min 的约束条件下，确定高温作业服第IV 层的最优厚度。

2 基于三层织物最优厚度的热传递模型

2.1 模型假设

本文拟建立热传递数学模型来解决以上3 个问题。在建立模型之前，先提出模型成立的假设条件:热传递沿垂直于假人外侧皮肤方向进行一维传导；热传递过程中各层织物的结构几乎不发生变化；该系统仅考虑热传递，忽略织物内部产生的水汽等；高温作业服不会随着温度的改变而变形。基于以上假设条件成立，本文建立以下模型。

2.2 模型建立

根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律［4-5］推导出热传导方程为

式中，u为温度，℃；t为时间，s；x,y,z为3个方向的热量扩散距离，mm；a2为热传导系数；k为热传导率，W/（m·℃）；c为比热，J/（kg·℃）；ρ为密度，kg/m3。

由式（1）推导出各层的热传导方程为

此时模型已转化为关于时间和距离的偏微分方程，确定一个具体的热传导过程还需要进一步确定各层之间的初始条件和边界条件，初始条件为

边界条件为

式中，l为材料的厚度，mm；x为热量水平传递距离，mm；n为相隔材料层数。

综上得出基于三层织物最优厚度的热传递模型，即偏微分方程为

2.3 有限差分法求解热传递模型的偏微分方程

有限差分法的基本思想:根据时间步长和空间步长将时间和空间区域分成若干网格，利用未知函数在网格节点上的值所构成的差分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导数，从而将求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题［6］。本文主要通过以下步骤求解热传递模型的偏微分方程。

分别将高温作业服Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ层中的x，t取值范围进行分割，将求解区域离散化［7］后细分成由有限个节点组成的网格，即为

采用有限差分法近似代替每个节点的导数，则式（2）可推导成差分递推公式，即

由此，式（2）的一维热传导方程可以近似为

将偏微分方程式（7）写成差分公式［8］的形式，即为

式中，i=0,1,2,…,N-1,j=0,1,2,…,N-1;h=1,2,3,4。

由于每层织物边界的热传导率处于平衡，且温度相等，则可一层一层地进行迭代计算。为计算简便，本文依据徐定华等［9］提出的有限差分的思想编写遍历搜索算法的代码，利用MATLAB软件进行求解。算法遍历的步骤为:

1）选取T组数据；

2）确定时间步长和空间步长；

3）代入第i层的参数和热传导系数并求出系数矩阵A；

4）代入初值条件和边界条件以及约束条件进行迭代，迭代次数为i=j+1；

5）最终迭代检验得出一组最优解。

部分关键代码如下:

clear

T=1800；%时间秒

l1=0.6*0.001；%厚度米

NT=4000；tao=T/（NT-1）；%时间步长

N1=40；h1=l1/（N1）；%空间步长

a1=0.082/（300*1377）；%第i层的系数

k1=0.082；%第i层的热传导系数

r1=a1*tao/（h1^2）；

A=zeros（N1+N2+N3+N4，N1+N2+N3+N4）；

A=A1+A2+A3+A4；%求出系数矩阵

for i=1：N1+N2+N3+N4；%x=i*h1；

u（i，1）=37；%初值条件

u0=75；%边界条件

for j=1：NT-1；%写常量列向量

y=inv（A）*b；

u（：，j+1）=y；

由于文中计算所得到的差分方程的解为近似解，只有在差分方程收敛于微分方程时，差分方程的解才会是解析解，所以需对差分方程的收敛性作说明。文献［1］认为单层模型是收敛的，双层模型的收敛性可以类似单层来处理，也可以推广到多层结构模型。基于此，本文的三层结构高温作业服模型也做类似地处理。

3 模型求解与结果分析

3.1 问题一求解

在问题一的假设约束条件下，又已知高温作业服第Ⅰ层织物的厚度为0.6 mm，第Ⅲ层织物厚度为3.6 mm，且假人皮肤内测的温度维持在37 ℃不变。根据文献［3］的数据可知假人外侧皮肤温度在1 645 s 时上升到48 ℃之后保持不变。

为了更直观地显示假人外侧皮肤温度的变化，通过运行代码利用MATLAB 数学软件制作假人外侧皮肤热量分布的三维立体图如图2所示。

由图2可知，当高温防护服的第Ⅱ、Ⅳ层都达到最优厚度时，在温度-时间平面内，随着时间的延长温度先上升后趋于平稳，在温度-位置平面内，温度随着防护服位置由外向里呈现出下降趋势，这与温度会发生扩散这一生活规律相符，说明基于最优厚度下制作的服装隔热性能会非常好，一定程度上也说明了基于工作服的最优厚度建立数学模型具有合理性。于是本文从高温作业服工作时的舒适性和安全性出发，以服装的第Ⅱ和第Ⅳ层的厚度最小值为目标函数，结合假设条件建立模型，确定第Ⅱ和第Ⅳ层的最优厚度，确保高温作业服在特定条件下的隔热性能能够达到要求。

图2 防护服热量分布图Fig.2 Thermal distribution on protective clothes

3.2 问题二求解

在问题二假设的约束条件下，模型初始条件为:u（x，0）=37，u（0，0）=65；边界条件为:u（0，t）=65。通过热传递模型的偏微分方程，在外界温度环境为65 ℃，第IV 层厚度为5.5 mm，工作时间为60 min时，通过运行MATLAB 程序可生成关于第Ⅱ层织物厚度的4 000 个数据。根据文献［1］中表1可知高温作业服的参数一般需要满足一定的标准。第Ⅱ层防水层的比热容和热传导率较大，散热能力比较强，由于第Ⅱ层防水层紧挨着第Ⅲ层防热层的外层，为了保证工作人员的皮肤不被烫伤，就需要一定的厚度来扩散从外界环境所吸收到的热量。但是高温作业服的厚度越大，工作人员在进行高温作业时行动就越不方便。出于对高温作业工作人员安全性和方便性的考虑，高温作业服厚度需要在规定范围内并尽量小。

表1 高温作业服各层织物的参数值Tab.1 Parameter value of each fabric layer of high temperature working clothes

此处以第Ⅱ层织物厚度的最小值为目标函数，以假人皮肤外侧温度在44 ～47 ℃的工作时长不超过5 min 为约束条件建立优化模型，通过运行代码计算可知，5 min 内满足条件的数据为333 个。据表1中给定的第Ⅱ层织物的厚度范围，设定初始检测精度为0.1 mm，利用遍历搜索算法对第Ⅱ层织物的厚度值进行迭代检验（表2），通过优化精度不断调试数据，当数据个数在小于333 的范围内最大程度地接近333 时，程序停止，此时该数据集对应的值即为第Ⅱ层的最优厚度值。

表2 皮肤外侧II 层织物厚度运行数据个数Tab.2 Running data number of thickness of fabric layer Ⅱoutside skin

由表2可知，迭代检验得出当数据个数为330 时，最接近约束条件下通过优化模型计算出的数据个数为333，而数据个数为330 时对应的第Ⅱ层厚度为19.06 mm，表明在问题二的约束条件下，高温作业服三层织物第Ⅱ层的最优厚度为19.06 mm。

3.3 问题三求解

在问题三的假设约束条件下，模型初始条件为:u（x，0）= 37，u（0，0）=80；边界条件:u（0，t）=80。根据问题二求解可知在工作时间为30 min 时，第Ⅱ层的最优厚度为18.73 mm。利用三层织物最优厚度的热传递模型，通过运行MATLAB 程序可生成关于第Ⅳ层厚度值的1 634 个数据。根据文献［1］可知高温作业服第Ⅳ层空气层的比热容和热传导率均很低，散热能力较差，为避免在高温作业时对工作人员造成干扰，保证工作人员身穿高温作业服的舒适度，空气层的厚度也应越小越好。

于是以第Ⅳ层织物厚度的最小值为目标函数，在问题三的假设约束条件下建立优化模型，通过MATLAB 计算可生成667 个数据。根据表1中给定的第Ⅳ层织物的厚度范围，对第Ⅳ层的厚度值进行逐步迭代检验（表3），通过优化精度，缩小范围，不断调试数据，当数据个数在小于667 的范围内非常接近667 时，程序停止，此时该数据集对应的值即为第Ⅳ层的最优厚度值。

表3 皮肤外侧IV 层织物厚度运行数据个数Tab.3 Running data number of thickness of fabric layer Ⅳoutside skin

由表3可知，迭代检验得出当数据个数为666 时，就是约束条件下通过优化模型计算出的数据个数，而数据个数为666 时对应的第IV 层厚度为5.78 mm，表明在问题三的约束条件下，高温作业服三层织物第IV 层的最优厚度为5.78 mm。

4 结语

本文建立了高温作业服织物最优厚度的热传递模型，编写遍历搜索程序，在可行解数量不多的情况下根据具体约束条件得到了最优解，确定了高温作业服第Ⅱ和第Ⅳ层的最优厚度。同时模型具有很好的实用性，便于高温作业服的设计，可以达到降低研发成本、缩短研发周期的目的，也可用于其他高温作业装备，降低高温作业的危险系数。