二次函数最值在解决数学实际问题中的重要应用

马洪云

摘 要：二次函数主要研究数量的变化规律，是解决函数问题中非常重要的一个数学模型，利熟练的掌握和应用二次函数不仅能够让同学们在考试中取得优异的成绩，同时也能用来解决实际生活中的问题，這个是当前教育发展的重心。新课程标准指出，函数是一个具有普遍意义的数学模型，与实际生活有着十分密切的联系，希望教师在教学的过程中能够引导同学们对问题进行全面地分析，并利用二次函数的最值来解决相关问题。

关键词：二次函数;应用;最值;一般步骤;典型例题

二次函数的图像是一条抛物线，抛物线的顶点，总会是抛物线的最高点或者最低点，而在这两个点处就会取得函数的最大值或者最小值，所以利用二次函数来求解函数的最大值和最小值的实际问题，就可以运用抽象的二次函数模型，利用最值的求解方法来解决问题。

一、利用最值解决二次函数问题的一般步骤。

遇到此类问题时，同学们应该首先想到二次函数的相关性质，并且根据题目中，或者是实际问题给出的已知条件来写出二次函数的解析式，从而结合着实际的意义来确定自变量的大小范围，利用自变量的大小求解二次函数的最大值或者最小值，即可求出最终答案。

二、常见的可以利用二次函数的最值来求解的问题。

1.有明确自变量范围的二次函数最值。

在求解相关的二次函数时，根据题目条件，给出的最只并不一定是整个函数的最大值或最小值，因为如果自变量有一定的范围，最大值和最小值不一定会是二次函数图像的顶点。

所以，在进行相关题目的解答时，一定要先判断函数图像的顶点，是否在自变量的范围内，如果在就有最小值或最大值，如果不在就要根据函数的增减性进行解答。如果题目中给出的已知条件的图像，只是抛物线中的一段，那么就会有可能是既有最大值，又有最小值，要结合的实际情况进行分析。

例题1：

已知现有铁栅栏32米，要想在围墙边上设计一个长方形的车棚，可以用一边利用围墙，剩余3个边用铁栅栏来围制完成，而且还要在平行于强的那一侧留下一个宽为2米的门。试问要想让车棚的面积最大，该如何设计车棚的长度和宽度。

分析：

在解答这个问题的时候，我们首先应该对于这个车棚的长和宽进行未知数的设定，假设长方形的长为χ，则长方形的宽就可以用（32-χ+2）/2来表示，然后再利用长方形的面积公式，就能够求解出最后的答案。

解：

假设长方形车棚的长为χ，则垂直于围墙的长方形车棚的宽的长度为（34-χ）/2，设长方形的面积为y，则存在公式y=χ?（34-χ）/2，即y=-1/2χ2+17χ通过对此二次函数进行分析，可知函数图像开口向下，函数存在最大值，而当函数存在最大值的时候求解出来的χ的值为17，所以（34-χ）/2为8.5。即要想让车棚的面积最大，长和宽分别应该为17米和8.5米。

2.利用二次函数求利润的最值问题。

利润是我们日常生活中比较常见的一种问题，在利用二次函数求解利润问题时，我们可以根据已知条件，把利润表示成价格的二次函数，即价格是自变量，利润是因变量，然后再通过列举二次函数解析式的方法求解问题，在解决这种问题时，应该注意自变量的取值范围，要让实际问题有实际意义。

例题2：

假设某商店要购进一批文具盒，进货价是8元，商店决定，每个文具盒的售出价格为10元，这样一来每天就可以销售200件文具盒，如果提高售价，进货量就会减少，利润也会随之变化，已知这个文具盒每涨价0.5元，销售量就会减少10件，问售价定在多少的时候，才能让每天的获得利润最多，并求出最大利润是多少。

分析：

在解决这道题目时，题目中已经给出了一个等量条件。题目中存在的已知条件的等量关系表现在价格上涨或下调了之后，卖出的商品的数量也会有所变化，而变化之后的总售价仍能取得最大的利润，而最大的利润需要减掉文具盒的成本价格。

解：

假设售价定为χ元时，才能使每天获得的利润最大为y元，则存在

y=（χ-8）[200-（χ-10）/0.5?10]

=（χ-8）（400-20χ）=-20χ2+560χ-3200

对此函数解析式求解最值，此函数存在最大值，且当χ=-560/（2×（-20））=14时，有最大值y=720。即应将售价定为14元时，才能使每天获得的利润最大，最大利润为720元。

三、总结

二次函数是数学学习中非常重要的一部分，在整个中学阶段乃至高等数学教育中，都会有很重要的应用，作为学生，必须要掌握的一类重要的数学题型，尤其是求解最值问题时，更需要同学们有扎实的基础，并且熟练地掌握二次函数的性质和概念。利用二次函数解决实际问题，选择正确的方法，把握题目中的数量关系，利用数形结合数形结合的思想，给函数关系赋予更加实际的意义，从而解决生活中的实际问题。

参考文献：

[1]张峰.关于二次函数最值问题的教学研究.科学大众（科学教育）.2017年：20

[2]于会杰.一元二次方程与二次函数思想的教学研究.西北大学.2016年