关于异向思维在高等数学教学中应用的探讨

张文钢 张秋颖 李春桃

【摘要】异向思维在科学发现与发明过程中有其重要的地位，它是培养创造型人才的途径之一，本文从高等数学解题教学出发，阐述了如何培养学生异向思维能力的方法.

【关键词】高等数学;异向思维;培养

培养学生独立思考，提高学生解题能力是高等数学教学中的一项非常重要的任务.异向思维与其他智力因素有着密切的联系，它在科学发现与发明过程中，也有其举足轻重的地位.因而，在高等数学解题的教学中，教师要注意培养学生的异向思维能力.这对启迪学生的思维，发展智力有着不可低估的积极意义，是培养创造型人才的途径之一.所谓异向思维，就是一种不循常理，善于变换，从不同角度来探求问题的解决办法的思维方式.是创造性思维中一种极为重要的思维形式，它的特点是：富于创造性，思路不落俗套，善于标新立异，独辟蹊径;富于多向性，思路宽阔辐射，善于多方求索，不拘一格;富于灵活性，思路活泼多变，善于联想推导，随机应变.千方百计去完成所研究的中心课题，并在探索过程中寻求最佳方案.如何在高数解题教学中培养学生的异向思维能力呢？结合多年的教学实践，谈谈笔者自己的几点看法和认识.

一、提倡综合分析，激发异向思维

传统的解题教学的弊病主要表现在：课堂上讲授的例题过多或片面地强调程式化和模式化，不仅达不到使学生巩固、理解和运用所学知识的目的，而且在很大程度上阻碍和抑制了学生的思维活动.不可否认，学生在解题时思维僵化、刻板、呆滞等不良因素是大量存在的，这与教师的陈旧教学方式有着直接关系.因此，解题教学时，教师要尽量去克服“就题论题”的教学模式，不能忽视对学生的思维方法、方式的培养和训练.不仅要发挥教师在课堂教学中的主导作用，更要发挥学生在课堂教学中的主体作用，把学生的解题活动变为思维活动，让学生在问题的求解过程中从多个角度、多个层次去展开思维，使学生在解题过程中得到思维方式方法的训练，启迪并引导学生从观察过渡到联想，从有所发现到有所创造.

例如，证明x≠0时，ex>x+1.这是一道灵活性较强的题目，按照常规思维，学生将会按教材的内容，利用拉格朗日中值定理来证明：先做一函数，记为f（x）=ex-x-1，则f（0）=0，由拉格朗日中值定理知f（x）-f（0）=f′（ξ）（x-0），即f（x）=（eξ-1）x（其中ξ在0與x之间）.当x>0时，ξ>0，因此，（eξ-1）x>0，即f（x）>0;当x<0时，ξ<0，因此，（eξ-1）x>0，即f（x）>0;所以对x≠0时，总有f（x）=ex-x-1>0，即ex>x+1.证毕.

另有一部分学生则按教材的另一内容，利用函数的单调性来证明上述习题.证明如下：

记f（x）=ex-x-1，由于f′（x）=ex-1，当x<0时，f′（x）=ex-1<0，f（x）单调减少，则有f（x）>f（0）=0;当x>0时，f′（x）=ex-1>0，f（x）单调增加，则有f（x）>f（0）=0.故对x≠0时，总有f（x）=ex-x-1>0，即ex>x+1.证毕.

解题的任务是完成了，然而学生的创造性思维没有得到很好的训练与发挥，教师在这时应进一步给学生以鼓励和巧妙的引导，让他们通过自己的思考和努力来寻求解答上述习题的最快捷途径.教师及时引导学生观察ex在x=0的泰勒公式：ex=1+x+R1（x）=1+x+12eξx2（ξ在0与x之间），所以ex=1+x+12eξx2，当x=2时，12eξx2>0，故x≠0时，ex>x+1.证毕.

这样更能拓展学生的思维，使其充分认识到“学海无涯”.

二、提倡一题多解，训练异向思维

在教学实践中我们深深地体会到，学生的异向思维能力主要靠有目的训练和培养来提高，应当选好含有一题多解的典型习题，然后精心设计，启发点拨，分析思路，这对培养学生的不屈不挠的创造精神将起着积极作用，我们不妨来看下题：

证明数列：x1=2，x2=2+2，…，xn=2+xn-1，…（根号取算术根）的极限存在并求出这个极限.

按照常规思维，学生将按“单调有界数列必有极限”这个定理来做，先证{xn}单调增加，因x2=2+x1>2=x1，不妨设xn>xn-1，则xn+1=2+xn>2+xn-1=xn，由数学归纳法可知{xn}单调增加.再证{xn}有上界，xn<2，由于x1<2，设xn<2，从而有xn+1=2+xn<2+2=2，即{xn}有上界，故数列{xn}极限存在.设 limn→∞xn=a，由等式xn+1=2+xn，两边取极限得a=2+a，解得a=2或a=-1（舍去），故 limn→∞xn=2.通过异向思维，教师向学生指出上题可以利用中学知识很简洁地予以解决.由于x1=2=2cosπ22，

运用之妙，存于一心.当学生获得正确的思维方向后，教师要明智地退到“二线”当“顾问”附之点拨，把学生的思路引往深处、高处.学生创造的智慧的火花，就会随之迸发出来.

三、采用变式教学，培养异向思维

变式教学就是在教学中，变化地引用教材的内容和形式，从不同的角度，用不同的方法进行教学，在变式教学中，必然迫使学生不断更换应用知识的方位和方式，加快学生的思维节奏，使学生的大脑处于高速运转的状态，在变中求异、求新.有助于发展学生的思维灵活性与广阔性，以收到增强应变能力的良好效果.

如对一个重要极限，在学期末的复习时我们除了清楚教材中的传统几何证法之外，教师还可以用洛必达法则与麦克劳林公式来印证前面的结果.

四、展开课堂讨论，发展异向思维

课堂教学中的讨论，可以使学生从多种渠道认识问题、分析问题、发现问题、解决问题，达到有所创新，课堂教学离不开教师的讲，更不能说讲就是“灌”，问就是启发，我们要明白，“讲”是为“学”服务的，要以“讲”导“学”.只有在教师的生动精辟的讲解下，再加上学生通过热烈的课堂讨论，才能更好地提高学生学习的积极性和主动性，才能真正地做到印象深刻.例如，就函数展开为关于x的幂函数，让学生展开讨论，最后成功地解决了这道习题，下面我们就来看一看学生的创造性思维的全过程.

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