关于r-因子置换循环矩阵求逆与群逆的多项式快速算法

邱涛　何承源

摘要：提出r-因子置换循环矩阵概念，得到其相似标准形，从而得到该类矩阵可逆的多项式充要条件以及算法的理论依据。同时，得到的逆矩阵与群逆矩阵仍然是r-因子置换循环矩阵。最后，给出求逆矩阵和群逆矩阵的多项式快速算法及算例。

关键词：r-因子置换循环矩阵;多项式;逆矩阵;群逆矩阵;多项式算法

中图分类号：O241.6文献标志码：A

文章编号：2095-5383（2019）04-0055-05

The Fast Polynomial Algorithm on Inverse and Group Inverse of

Circulant Matrix of r-factor Permutation

QIU Tao，HE Chengyuan

（School of Science， Xihua University， Chengdu 10039， China）

Abstract：The concept of r-factor permutation circulant matrix was proposed  and its similar canonical form was obtained， so as to the sufficient and necessary condition for invertible polynomial of such matrices and the theoretical basis of the algorithm were obtained. At the same time， the obtained inverse matrix and group inverse matrix was still the r-factor permutation circulant matrix. Finally， the procedure and example of polynomial fast algorithm for inverse matrix and group inverse matrix were given.

Keywords：r-factor permutation circulant matrix; polynomial; inverse; group inverse; polynomial algorithm.

1 引言和預备知识

循环矩阵有着广泛的应用，因此矩阵理论工作者对它的特殊结构和性质进行研究，使其在图像处理、通信系统、控制论、密码学、计算机时序分析等领域发挥了充分的作用。通过研究文献[1]、[2]中循环矩阵的定义，发现它们有一个共同特征是都可表示成一个矩阵的多项式，并且这个矩阵是对角矩阵与置换矩阵之积。因此受到启发，提出因子置换循环矩阵概念，得到其相似标准形，从而得到该类矩阵可逆的多项式充要条件以及算法的理论依据。同时，得到逆矩阵与群逆矩阵仍然是因子置换循环矩阵。最后，给出求逆矩阵和群逆矩阵的多项式快速算法及算例。

参考文献：

[1]DAVIS P J.Circulant matrices[M].New York：John Wiley & Sons，1979.

[2]SHEN S ， CEN J . On the bounds for the norms of r-circulant matrices with the Fibonacci and Lucas numbers[J]. Applied Mathematics and Computation， 2010， 216（10）：2891-2897.

[3] 高殿伟.广义循环矩阵[J].辽宁师范大学学报（自然科学版），1988（2）：7-11.

[4]江兆林， 刘三阳， 张圣贵. 求置换因子循环矩阵的逆阵及广义逆阵的快速算法[J]. 高等学校计算数学学报， 2003（3）：227-234.

[5]何承源， 周斌. （m，n）型二重（R，r）-循环矩阵的有关算法及计算复杂性[J]. 四川大学学报（自然科学版）， 2001， 38（4）：460-464.

[6]谭道盛， 温启愚. 矩阵的任意分块求逆及其应用[J]. 四川大学学报（自然科学版）， 1999（1）：34-37.

[7]何承源. 关于对称R-循环分块矩阵的注记[J]. 四川大学学报（自然科学版）， 1998（4）：519-523.

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[9]何承源， 张坤鹏， 马江明. H-循环矩阵线性系统求解及其求逆的多项式快速算法[J]. 成都工业学院学报， 2015（2）：54-57.

[10]张坤鹏， 马江明， 何承源. H-循环矩阵逆的 Euclid 算法[J]. 成都工业学院学报， 2014（4）：9-10.

[11]马江明， 何承源. 首加尾分块循环矩阵的性质研究[J]. 成都工业学院学报， 2014， 17（2）：61-62.

收稿日期：2019-04-08

基金项目：四川省应用基础研究计划（2013JY0178）

第一作者简介：邱涛（1994—），男，助教，在读硕士研究生，研究方向：矩阵理论及其应用。

通信作者简介：何承源 （1961—），男，教授，学士，研究方向：矩阵理论及其应用，电子邮箱：chengyuanh@163.com。