观察、操作、想象：生长空间观念的土壤

黄慧章

[摘要]“空间观念”作为《义务教育数学课程标准（2011年版）》的核心概念之一，它是义务教育阶段培养学生初步的创新精神和实践能力所需要的基本要素。小学生形成、发展空间观念主要依靠“视”和“触”，即观察与操作，这一过程中伴随着想象。观察、操作、想象是生长空间观念的土壤，在“什么是面积”的教学中着力打造这样的土壤，促进学生空间观念的生成与发展。

[关键词]观察;操作;想象;空间观念

[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号] 1007—9068（2019）32—0063—03

“空间观念”作为《义务教育数学课程标准（2011年版）》的核心概念之一，应如何理解？如何在培养与发展学生的空间观念？这些都是教师必须正视的问题。下面将以“什么是面积”教学为例进行探讨。

一、准确理解概念是培养学生空间观念的基础

（一）课程标准对“空间观念”的描述

《义务教育数学课程标准（2011版）》指出：“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言描述画出图形等。”其关键词有表示过程的抽象、想象（动脑）、描述（动口）;画出（动手）;表示结果的表象。

（二）专家对“空间观念”的解读

曹培英老师从哲学方面对“观念”进行梳理，即“永恒不变的真实存在”;从心理学角度梳理，他认为空间观念就是指空间能力，包括三个水平层次，即空间知觉、空间表象、空间想象及其思维，而且是从知觉到表象，再到想象，这三种认知水平的递进发展。

（三）我对“空间观念”的理解

空间观念是指对物体及其几何图形的形状、大小、位置关系及其变化建立起来的一种感知和认识。它是义务教育阶段培养学生初步的创新精神和实践能力所需要的基本要素。

小学生形成、发展空间观念主要依靠“視”和“触”，即观察与操作，这一过程中伴随着想象。基于对课程标准的理解和专家的解读，我认为：观察、操作、想象，是生长空间观念的土壤。

二、深度理解教材是培养学生空间观念的前提

课堂教学的深度首先取决于教师对学科教材理解的深度。按照布鲁纳的看法，任何学科教学都必须将学科中那些最广泛、最强有力的适应性观念教给学生。这些观念“可以把现行的极其丰富的学科内容精简为一组简单的命题，成为更经济、更富活力的东西”，帮助学生通过对学科深层结构的理解来提升他们“分析信息，提出新命题，驾驭知识体系的能力”。更明确地说，教材中最有价值的内容就是体现学科本质的内容和居于内核地位的知识，因此，教师必须深度理解教材，把握数学内容的本质和知识的内核。

“什么是面积”是北师大版教材三年级“面积”中的第一课时，主要是让学生结合具体情境认识面积含义，探索比较图形大小的方法，用自选单位估计和测量图形的面积，初步体会统一单位的必要性。教材的内容以三个问题串呈现：问题1——结合实例，感知面积的含义;问题2——探索比较面积大小的方法，区别周长与面积，初步体会统一测量单位的必要性，蕴含度量的思想;问题3——在方格纸上画出相同方格数的不同图形，体会图形的面积是一个量值，不同形状的图形面积可能相同。教材体现了两大特点：一是创设生活情境，让学生在观察和比较中获得空间知觉;二是设计操作活动，帮助学生在操作和想象中形成空间表象，发展空间想象能力，其核心就是培养和发展学生的空间观念。

三、全面把握学情是培养学生空间观念的关键

弗赖登塔尔提出了“数学现实论”，他强调“数学源于现实，并依赖于现实，每个学生有着不同的数学现实”。因此，教师深入分析学情、全面把握学情是培养学生空间观念的关键。

学生在二年级下册已经认识了长方形和正方形，并掌握了长方形和正方形的特征;在三年级上册认识了周长，并会计算长方形和正方形的周长;在三年级上册第二单元还学习了平移与旋转的相关知识。而对物体表面大小的认识，学生在生活中有较为丰富的经验和体会，经过近三年的数学学习，他们已经具备了初步观察、比较、操作等能力。这些“数学现实”为学生学习新知识做了很好的准备。但是，从一维的长度到二维的面积，是空间认识上的一个飞跃，这对学生来说是一个难点。因此，教师要充分借助学生已有的知识经验和生活经验，通过一系列的观察、操作和想象等数学活动，让学生在获得感性认识的基础上建立面积的表象，抽象出面积的概念，从而发展学生的空间观念。

四、观察操作想象是培养学生空间观念的土壤

著名的心理学家赤瑞特拉通过大量的实验证明：人类信息获取来源83%是视觉。著名特级教师曹培英老师指出：“培养学生的空间观念要重视两个直观（视觉直观和动作直观）和两个结合（语言与形象的结合和数与形的结合）”。因此，这节课主要采取直观教学和情境教学，依据课程标准并结合我区的“三课四学”，采取“动手实践”和“四学”的学习方法来帮助学生形成和发展空间观念。

（一）想象与操作，形成空间知觉

对于“面”和“面积”的形成，我们根据弗赖登塔尔的“数学现实论”直接从学生已有的平移知识经验出发，让学生在画“痕迹”中感知“面”的动态生成过程，感受点、线、面的关系，帮助学生建立零维、一维和二维之间的联系。

1.感知“面”的形成

（1）移“点”成“线”：把方格纸中的红点向上平移8厘米。

想一想：红点平移时留下的痕迹是什么样子的？

画一画：用彩笔画出红点运动的路线。

教师演示这个点向右平移，并让学生说说看到什么。

小结：点的平移能形成一条“线”。

（2）移“线”成“面”：把方格纸中的红色线段向右平移15厘米。

想一想：红色线段平移时留下的痕迹是什么样子的？

画一画：用彩笔画出红色线段平移留下的痕迹。

教师拿出一把8厘米宽的排刷，从左往右在方格纸上“刷”出一个长方形。

小结：线段的“平移”就形成一个长方形的“面”。

2.感知“面”有大小

（1）刷一刷：在方格纸上“刷”一个比这个长方形小的面，再“刷”一个比这个长方形大的面。

（2）说一说：各自“刷”出的面，分别可以看成是哪条线段平移“刷”出来的？

小结：这两个大小不同的长方形的“面”分别是其中一条长或宽平移而成的。

（3）比一比：比较“刷”出来的长方形的“面”的大小，说说谁画的图形的“面”比谁画的图形的“面”大（小）。

小结：每一个“面”自身的大小，在数学上就叫作它的面积。

通过“刷”不同大小的长方形，感知“面”有大小。这样帮助学生形成“面”和“面积”的空间知觉，然后在比较长方形的“面”的大小中引出“面积”概念。

（二）观察与比较，获得空间表象

观察是一种有目的、有顺序、持久的视觉活动，是学生获得空间表象的主要途径之一，可以促进良好空间观念的建立。因此，在这个环节设计了两个“观察与比较”的活动：

【活动一】

（1）找一找：找身边的“面”，摸一摸;

（2）比一比：比较找到的“面”的大小。

小结：“面”在生活中无处不在，而且“面”是有大小的。

【活动二】

（1）看一看：教材上数学书和语文书的封面、1元硬币和1角硬币、两片不同的树叶。

（2）比一比：比较它们面积的大小。

小结：物体表面或封闭图形的大小，就是它的面积。

回归到生活中，让学生找物体上的“面”，感知“面”在“体”上，体会“面”无处不在;比较“面”的大小，从而抽象出“面積”的概念。这样，空间维度的变化、概念间的联系在动态演示中一目了然，有效帮助学生获得了关于“面”和“面积”的空间表象，从而理解“面积”的意义。

（三）测量与沟通，形成空间观念

面积的大小是指一个面的实际量值，量值需要用标准来计量。只有进一步研究如何把面的大小说清楚，才能更深入地理解面积的含义。因此，掌握计量面的大小的一般方法，是深化面积认识、形成空间观念的重要途径。

1.比一比：哪个图形的面积大？

小结：有时仅凭观察无法比较出图形的大小，这时需要对面积进行测量。

2.议一议：怎样测量出这两个图形的面积有多大呢？

（预设：如果有学生说“用尺子量出”就引导学生进行对话，明确用尺子只能测量桌面的长和宽，还不能直接测量出桌面的面积，同时教师用课件动态呈现，让学生直观感知面积与周长的不同）

3.量一量：

首学——选择喜欢的工具测量，并填表;

互学——小组交流测量工具、方法及结果。

群学——小组汇报测量工具、方法及结果。

生₁：用正方形量。长方形共用15个，正方形共用16个，所以正方形的面积大。

生₂：用三角形量。长方形共用30个，正方形共用32个，所以正方形的面积大。

共学——师生对话，总结提炼。

师：为什么没有人选择圆形来测量？

生₃：有缝隙、摆不全。

师：还可以用什么图形来测量？

生₄：长方形。

师：要想知道一个面的面积，首先要“定标准”，然后“去测量”，最后“得结果”。

让学生自选标准测量长方形的面积，能在沟通与测量中帮助学生获得更加丰富的空间表象，增进学生对度量思想、单位思想的认识与理解。

（四）运用与实践，发展空间观念

掌握了基础知识之后，学生在头脑中能够有一个大概的空间概念。此时，教师应该带领学生进行综合运用，只有在不断的运用中，才能进一步巩固并发展空间观念。

1.画一画：在方格纸中画3个不同的图形，使它们的面积都等于7个方格的面积。

引导学生发现：面积相同的图形，它们的形状可能不同;方格纸是比较面积大小的重要工具。

2.议一议：生活中哪些事情与面积有关？

小结：生活中与面积有关的事情很多：小到我们的一个指甲盖、身边的一张纸，大到我们的国土、地球表面

3.说一说：中国陆地版图面积。

（1）四川在哪里？和哪个省的面积差不多？

（2）面积最大的省份在哪里？相当于几个四川？

（3）解释：一个新疆相当于3个四川或9个贵州。

小结：如果用四川的面积作为标准去测量新疆，结果是3个;如果用贵州省的面积去测量新疆，结果是9个。

“画一画”活动让学生体会面积是一个量值，是一个数量概念，不同形状的图形可能具有相同的面积。最后，将数学再次融入生活，让学生观察我国陆地版图，比较家乡所在的省份与其他省份的面积关系，实现知识与生活实践的勾连、融通，增强了应用意识，进而促进学生空间观念的发展。

小学生形成、发展空间观念主要依靠“视”和“触”，即观察与操作，这一过程中伴随着想象。因此，教学中教师要尽量采取直观的方式，让学生通过看一看、摸一摸、比一比、量一量、画一画、想一想等活动，把视觉、听觉、触觉等协同起来，促进心理活动内化，获得空间知觉，从而发展空间观念。

（责编 金铃）