基于失效—停机时间的公共汽车二级保养效果

莫旭冕，蒋仁言，陈志高

（1.长沙理工大学汽车与机械工程学院，湖南长沙 410114；2.长沙理工大学数学与统计学院，湖南长沙 410114）

0 引言

公共汽车的许多零部件随时间退化，最终会使系统失效。预防维修常常被实施来减缓这个过程以延长系统寿命。预防维修的优劣将直接影响系统的工作状态。许多企业将其设备维护业务进行外包。因此，预防维修效果建模受到维修管理人员的广泛关注。已经有许多学者对其进行了研究，这些研究大致可以分为三类：一类是失效强度减少模型；另一类是虚拟年龄减少模型；最后一类是其他评估模型。有很多文献从失效强度减少这一角度来建立维修模型[1-3]。同样，也有很多文献从虚拟年龄减少这一角度来建立维修模型[1-2,4-5]。还有很多文献从其他角度来建立维修模型[6-10]。然而，文献[1-7]中所提到的模型的计算相对较复杂，文献[10]中模型则需要在特定的维修政策下才能应用。文献[8]是对文献[9]的一个扩展，通过对比保养前后的失效强度来评价保养效果。用泊松过程模型来描述可修系统的失效过程，而泊松过程模型又用平均累积函数（Mean Cumulative Function，MCF）来描述。并引进了加权的思想，用权函数来反映不同时间失效数据的重要性。

文献[8]的权函数关于预防维修时间对称，但是预防维修之前的经验MCF 与预防维修之后的经验MCF 相差较大，直接用相近的权值对相差较大的MCF 进行加权不合理。

在本研究中，将预防维修之前的经验MCF 进行变换，使之与预防维修之后的经验MCF 相差不大，消除二者之间的隐含加权，期望得到更为稳健的评价结果。另外，还用该方法对失效停机时间进行建模来评价保养效果，发现失效停机时间同样可以用来建模评价保养效果，并且所提出的转换在用失效停机时间进行建模时的优势更加突出。

1 用加权最小二乘法评价预防维修效果

1.1 基本假设

基本假设有两个：一是忽略修理时间，失效过程被简化为失效点过程；二是失效点过程用幂律模型来近似描述。幂律模型为M（t）=（t/η）β。其中，η 为尺度参数，β 为形状参数。令α=1/ηβ。

1.2 基本思想

基本思想是可修系统的可靠性常用失效发生率来描述。失效发生率是系统在单位时间内的平均失效次数，即平均累积函数的微分，并记为M（t）。幂律模型的失效发生率为M（t）=（β/η）β（t/η）β-1。

假设在时间τi执行了一次预防维修（如汽车的二级保养），在τi之前和之后的失效发生率分别为：

其中，Δt 可取为车辆维修的质保期。

令Δm 表示预防维修前后变化的失效发生率，即Δm=mi（τi）-mi+1（τi）。越大，表示预防维修的效果越好。也可以用相对值Δm/mi（τi）评价预防维修的效果。具体情况可以参考文献[8]。

1.3 加权最小二乘法

最小二乘法通过最小化误差的平方和来进行曲线拟合，它认为所有的点的误差同等重要。而在某些情况下，只需要在某些点的附近取得较好的拟合效果。为此，Jiang[11]提出了加权最小二乘法。加权最小二乘法通过最小化以下加权的平方误差和来获得参数。

要在某些确定的点左右两侧一定范围内拟合较好，即这个范围内的权重相对较大。权函数如下：

其中，φ（.）是正态分布的概率密度函数，它的均值为μ，标准差为σ。

在正态分布的概率密度函数中，t=μ 附近的值较大，所以取μ=τi。σ 的值通过式（3）来确定。

2 改进的建模过程

由于加权最小二乘法对靠近预防维修的失效点更重视，然而预防维修点左邻域的经验MCF 和预防维修点右邻域的经验MCF 相差较大，因而直接对其进行加权不合理（图1）。为此，对预防维修点左邻域的经验MCF 进行变换。变换的要求：①变换后的经验MCF 和右邻域的经验MCF 相差很小；②变换后左邻域的经验MCF 的斜率的绝对值不变。以下变换符合以上要求。

图1 预防维修前后的经验MCF

令预防维修之前经验MCF 的最大值为a，最小值为b，变换之前的经验MCF 记为y，变换之后的经验MCF 记为y1，则y1=a+b-y。变换结果如图2 所示。

图2 预防维修之前经验MCF 的变换

下面来看具体的改进建模步骤。

步骤1：数据预处理。原始数据为失效日期，需将失效日期转换为失效时间。

步骤2：计算（τi-1，τi）内的经验MCF，将系统在（τi-1，τi）内的失效时间从小到大排序，并记为{tk，1≤k≤N}。令M（t）表示一个系统在[0,t]内失效次数的期望值，即M（t）=E[N（t）]。显然，。

这里s（tk）为在tk时仍在运行的系统数目。由上式可知，平均累积函数在tk时刻存在跳跃，为保持其平滑性，定义其经验平均累积函数为。

步骤3：将步骤2 得到的经验MCF 进行本小节开始所述的变换。

步骤4：计算（τi，τi+1）内的经验MCF，计算方法与步骤2 一样。

步骤5：计算（τi-1，τi）和（τi，τi+1）内失效数据的权重值，靠近τi的数据点包含更多该点的失效强度信息，应该赋予较大的权重值，远离τi的数据点应赋予较小的权重值。失效数据的权重值用方程式（2）来确定。

步骤6：用加权最小二乘法拟合（τi-1，τi）内的失效数据到下列幂律模型，即Mi（t）=αi（τi-t）βi。

步骤7：用加权最小二乘法拟合（τi，τi+1）内的失效数据到下列幂律模型，即Mi+1（t）=αi+1（t-τi）βi+1。

根据Δm=mi（τi）-mi+1（τi）计算Δm，其中Δt 的取值可依据参考文献[12]，二级维护质量保证期为车辆行驶5000 km 或30 d，因此取Δt=30 d。

改进的步骤有步骤3、步骤6 和步骤8。文献[8]没有进行步骤3 所述变换，直接用加权最小二乘法拟合（τi-1，τi）内的失效数据到如下幂律模型：Mi（t）=αitβi。

3 基于失效—停机时间用加权最小二乘法评价预防维修效果

停机时间是反映系统可靠性的重要指标之一，文献[13]对停机时间进行了建模分析。失效—停机时间不仅反映了停机的次数还传达了失效的严重程度，所以用失效—停机时间来建模可以更准确地反映维修效果。由于每一次失效的停机时间是随机的，因此对停机时间进行累加处理。具体建模步骤如下。

步骤1：数据预处理。原始数据为失效日期，需将失效日期转换为失效时间。同时，将失效所需修理时间和保养所需时间提取出来。某车的二级保养时间、失效时间和维修工时数据如表1所示。其中，*为保养时间。

表1 某车的失效时间和维修工时

步骤2：计算（τi-1，τi）内的累积停机时间D（t）。如图3 所示

步骤3：将步骤2 得到的累积停机时间D（t）进行第2 节“改进的建模过程”中所述变换。

步骤4：计算（τi，τi+1）内的累积停机时间D（t），计算方法和步骤2 相同。

步骤5：计算（τi-1，τi）和（τi，τi+1）内失效数据的权重值。计算方法与2 节的步骤5 一样。

接下来的步骤同第2 节的步骤6、步骤7、步骤8 和步骤9一样。

图3 保养之前的累积停机时间

4 数值实例

以长沙某公交公司的维修保养记录来详细说明整个建模过程。收集了由8 辆同型号车组成的车队的维修保养记录。收集这些车辆从2007 年1 月1 日到2007 年12 月31 日的维修记录，提取车辆在二级保养前后的失效时间（累积运行天数）和保养时间的信息及失效和保养所需维修工时。

基于失效时间来评价维修质量，表2 给出了原建模过程的结果，表3 给出了改进建模过程的结果。

表2 基于失效时间用加权最小二乘法评价的维修效果Ⅰ

表3 基于失效时间用加权最小二乘法评价的维修效果Ⅱ

表2 和表3 分别给出了用两种建模过程的结果，两种建模过程所得结果基本一致，说明了改进建模过程的有效性。对两种建模过程的结果进行分析，发现改进建模过程所得维修质量的变异系数（Coefficient of Variation，CV）值较小，即改进建模过程更为稳健。

基于失效—停机时间来评价维修质量，表4 给出了原建模过程的结果，表5 给出了改进建模过程的结果。

表4 基于失效—停机时间用加权最小二乘法评价的维修效果Ⅰ

表5 基于失效—停机时间用加权最小二乘法评价的维修效果Ⅱ

由表4、表5 可以看出，两种建模过程的结果基本一致，且用改进建模过程的结果的CV 值远小于原建模过程的。可见，改进建模过程更适合基于失效—停机时间建模评价维修质量。对比基于失效—停机时间和失效时间来评价维修质量的结果，可以看出基于失效—停机时间和失效时间进行评价的结果非常接近。因此，基于失效—停机时间来评价维修质量也是可行的。

5 结论

研究了公共汽车二级保养效果评价这一问题，对评价公共汽车二级保养维修质量的加权最小二乘法的建模过程进行了改进；并基于停机时间用改进的建模过程来建模评价二级保养效果。通过一个实例的计算和分析，得出以下结论。

（1）改进建模过程的加权最小二乘法所得结果的CV 值分别比原来小16.8%和30%，即改进建模过程的加权最小二乘法更为稳健。

（2）用原建模过程和改进建模过程对失效—停机时间进行了建模分析，所得结果与基于失效时间建模所得结果基本一致，说明失效—停机时间同样可以用来建模评价保养效果。

（3）公共汽车二级保养质量波动较大，最好的维修效果和最差的相差74%。为此，加强维修质量控制和选择合适的维修外包商尤为重要。

（4）基于先前的工作，一方面可以考虑将基于失效时间和基于失效—停机时间两种数据所得的结果进行折衷处理，另一方面，将维修质量应用于维修质量控制、维修质量管理、维修外包商选择等领域也值得进一步研究。