高中数学中恒成立问题的解题方法和技巧

黄友祥

摘 要：在高考试卷题目中，恒成立问题占据重要地位，既用来考查学生对高中数学知识的掌握和理解情况，又是决定高考数学成绩的关键。对高中数学学习而言，学生掌握恒成立问题的解题方法和技巧，不仅可以有效提高学习能力，还能为今后的数学学习奠定扎实的基础。文章主要概述高中数学中相关恒成立问题，分析掌握其解题方法和技巧的意义，最后提出几点具体有效的解题方法和技巧。

关键词：高中数学;恒成立问题;解题方法;技巧

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 收稿日期：2020-05-28 文章编号：1674-120X（2020）31-0044-02

一、高中数学中恒成立问题的概述

在高中数学知识体系中，恒成立问题是高中数学知识学习的重难点。在不等式中，恒成立问题不仅范围广，而且参数多，同时包含变量，通常情况下还与数列、函数等知识融合在一起，使得恒成立问题的难度增加。由此可见，恒成立问题并不是一般的数学问题，具有复杂的思维逻辑、灵活多变的特点，之所以在高考试卷中出现，是因为恒成立问题可以从多方面实现对学生的考查，了解学生对高中数学知识的掌握情况。在高考试卷中，恒成立问题主要以两种形式出现：第一，已知某不等式恒成立，求变量的取值范围;第二，证明不等式恒成立。

二、掌握恒成立问题的解题方法和技巧的意义

所谓恒成立问题，即在已知条件下，无论变量发生怎样的变化，都不会影响不等式成立。在高考试卷题目中，恒成立问题比较常见，且经常与函数问题合并在一起出现，加上函数知识本身就比较复杂、难度系数高，导致学生遇到此类问题无从下手。学生若能掌握一定的解题方法和技巧，不仅有利于加深对此类问题的理解，还能根据题目的条件和问题，选择最合适的解题方法。所以对高中数学学习而言，掌握多种解题方法和灵活的解题技巧十分重要。学生根据已经掌握的解题方法和技巧，选择合适的练习题，多加练习，再次面对此类问题必定能够轻车熟路。另外，高中数学相对初中而言，学习难度增加，导致大部分高中学生对数学产生畏惧心理，甚至是只要看到类似的题目就产生一种不会做的心理，所以消除畏惧心理前，必须拥有清晰的思路，此外还需要加强学生对数学的学习兴趣，这样才能从容面对各种数学问题。

三、高中数学中恒成立问题的解题方法和技巧

（一）构造函数法

解决不等式恒成立问题，可利用完全平方公式来求最值，首先可将题目中的不等式转化为简单的函数，利用构造法构建函数，把复杂的问题简单化，实现对恒成立问题的解答。接下来通过例题，用二次函数的图像和性质探讨不等式恒成立问题，已知题目中有两个变量时，必须选择最合适的参数和变量，然后对转化后的函数进行解方程，这样就可以将复杂的问题简单化。一般情况下都是将题目中已知范围的量作为变量，将求解中的取值范围作为参数进行解答。

例1：（1）已知不等式x2-2ax+1≥0在x∈[-2，1]上恒成立，求a的取值范围。

（2）已知不等式x2-2ax+1≥0在a∈[-2，1]上恒成立，求x的取值范围。

分析（1）：先求出f（x）=x2-2ax+1的对称轴x=a，再进行讨论即可。

分析（2）：令f（a）=x2-2ax+1=-2ax+x2+1，将其看成关于a的一次函数，再利用恒成立问题进行转化。

解（1）：f（x）=x2-2ax+1，令其图像的对称轴为x=a，由不等式x2-2ax+1≥0在x∈[-2，1]上恒成立，

可得或

或。解得a=φ或1≤a<1或a=1，所以a的取值范围是1≤a<1。

解（2）：令f（x）=x2-2ax+1=-2ax+x2+1，由不等式x2-2ax+1≥0在x∈[-2，1]上恒成立，可得

。解得x≥-2+或x≥-2-。

面对这类问题，大部分学生都是直接根据题目中的已知条件对不等式进行解答，这样很容易将简单的问题复杂化，如果能够转变解题思路，转变题目中的已知变量和参数，然后对不等式进行转化，就很容易求解。

（二）数形结合法

对函数不等式题目，解决这类题目最简单的方法就是利用函数的图像和代数式。数形结合思想和方法可以更好地解决函数不等式问题，先画图像，再分析题目中的条件，最后根据图像求解。

例2：已知函数f（x）=x2-2x2+x，y=g（x）的图像与y=|f（x）|的图像关于x轴对称，函数

，若关于x的不等式h（x）-kx≤0恒成立，求实数k的取值范围.

解：由f（x）=x3-2x2+x得f '（x）=3x2-4x+1，由f '（x）=0得x=或x=1，当x∈（-∞，）和（1，+∞）时，f（x）=x3-2x2+x为增函数，当x∈（，1）时，f（x）=x3-2x2+x为减函数，不等式h（x）-kx≤0恒成立，h（x）≤kx在R上恒成立。作出函数y=h（x）与y=kx的图像，如下图所示：

设y=kx与y=Inx相切于（x0，Inx），=，则切线方程为y-Inx0=（x-x0），代入（0，0）得-Inx0=-1，得x0=e，所以k=;由f（x）=x3-2x2+x得f '（x）=3x2-4x+1，可得f '（0）=1，即y=kx在原点处的切线的斜率为1，所以实数k的取值范围是[，1]。

在高中数学恒成立问题中，大部分题目都可以利用数形结合的方法进行解题，前提是必须充分了解题目，准确画出函数图像，然后结合函数与题目中的已知条件，找出其中的关系，这样才能有效解決这类问题，否则函数图像错误，就会导致接下来的解题错误，很难得出准确答案。

正确且简便的解题方法和技巧对高中数学恒成立问题而言，具有非常重要的意义，常见的解题方法和技巧除了构造函数、数形结合法，还有变量分离法，学生只有熟练掌握并加以运用，才能准确解答恒成立问题，最终提高数学学习能力。

参考文献：

[1]洪小银.高中数学恒成立问题方法解析[J].中学数学，2019（17）：55-56.

[2]石彩霞，王树文，杨平，等.高中数学中一类恒成立问题的思考[J].高中数理化，2019（13）：31-32.