分数除法计算中的探究工具

骆良豪

【摘要】分数除法是小学数学计算学习中一个重要的组成部分.《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》指出，不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径，称为运算能力.只有理解了运算算理的运算能力才是真正具有生产性的.

【关键词】算理;工具;策略

“分数除以整数”是“分数除法”这一单元的起始课，是学生在掌握了分数乘法以及倒数知识的基础上学习的知识.分数除法不仅与分数乘法的意义、计算及其应用有着密切联系，而且还和商不变的性质有联系.

对于“分数除以整数”一课的教学，大部分教师都感到很困难，困难的并不是计算的算法，而是让学生理解计算的算理.很多时候因为学生不理解算理，最终导致算法错误，因此大部分教师的解决办法只是让学生死记硬背，但这样显然没有达到课程标准提出的要求.学生在进行分数除法的运算时，还是经常会出现把被除数的分子和分母颠倒再和除数相乘的错误，而且这样的错误很普遍，这说明学生没有理解分数除法的运算算理.只有理解了算理，学生在算法上才不容易出错.

既然在学习分数除法的过程中学生有那么大的困难，那么学生是否可以进行自主探究呢？学生自己参与课堂，自己探究，是不是可以更好地理解算理呢？他们需要什么样的探究工具来实现有意义的学习？

计算分数除以整数的一种思考方式是与分数乘法进行类比推理，即分子除以分子，分母除以分母;另一种思考方式是利用平均分和分数乘法的意义，把“除以一个整数”转化为“乘这个数的倒数”.当然，不论哪种方法都是利用以前学过的知识来解决分数除以整数这个问题，因此“平均分和分数乘法的意义”是学生探究分数除以整数不可或缺的工具.

另外，六年级学生的思维已经开始从具象思维向抽象思维转变，代数思维逐步形成.学生除了可以画图验证，并联系平均分与分数乘法之外，也可用“商不变的性质”来转化，这可以让学生理解数学其实就是利用旧知识来解决新问题，并且可让学生在推导的过程中理解“除以一个数等于乘这个数的倒数”，掌握分数除以整数的计算方法.“分数除以整数”的学习也是为接下来学习“一个数除以分数”做铺垫，是一节教结构的课，学生要在这节课的学习中学会分数除以整数的算理和算法，并把所学方法应用到下个课时的学习中.下面是笔者在上课时的部分教学片段：

一、片段教学

（一）借助情境，探究算理

教师借助情境，把一张纸的 4 5 平均分成2份，问：每份是这张纸的几分之几？列式： 4 5 ÷2= 2 5 .

师：请你们试着画一画，算一算.

生1：把 4 5 平均分成2份，就是把4个 1 5 平均分成2份，每份是2个 1 5 ，就是 2 5 .

画图：

列式： 4 5 ÷2= 4÷2 5 = 2 5 .

生2：把 4 5 平均分成2份，其中1份是 4 5 的 1 2 .

画图：

列式： 4 5 ÷2= 4 5 × 1 2 = 2 5 .

通过画图，学生可以理解分数除以整数相当于乘这个整数的倒数.

（二）对比分析，优化算法

教师再次通过情境，把纸的 4 5 平均分成3份，问：每份是这张纸的几分之几？

列式： 4 5 ÷3.

师：请你们再试着画一画，算一算.

列式： 4 5 ÷3= 4 5 × 1 3 = 4 15 .

师：为什么大家都用第二种方法，而不再用第一种方法？

生：因为第一种方法不能正好整除.

师：通过这两道题目，你们觉得哪一种方法更适用所有的分数除以整数？

生：第二种方法.

师：根据上面的两个算式，请你们试着总结分数除以整数的算法，并用字母表示：

b[]a ÷c= b[]a × 1[]c

（三）验证推理，揭示本质

师：是不是所有的分数除以整数都可以转化成乘整数的倒数？请你们以 6 7 ÷4为例进行说明.

生1：用画图进行证明.

生2：说理解释 6 7 ÷4相当求 6 7 的 1 4 .

师：数学都是用以前的知识来解决现在的问题，因此你们能不能用商不变的性质来解释呢？同桌讨论，并且动笔试一试.

生1：两边同时乘7.

师：大家认为哪种方法好，为什么？

生：第三种方法好，可以把除数变为1.

师：这样的变式可以有无穷无尽个，我们可以用什么式子来表示？动手写一写.

二、教学策略

（一）动手画图，探究算理

在实际的情境中，学生动手画图，把自己的想法通过图表达出来，这是最符合学生当前学情的方法.在小学阶段，学生处于由具象思维向逻辑思维转化的时期，大部分学生还没有办法凭借思考来理解算理，因此他们在画图的过程中可以感受到平均分和分数乘法的意义是一致的，同时体会到这是探究分数除以整数不可或缺的工具，并为接下来理解“除以一个数等于乘这个数的倒数”打下扎实的基础.通过这种直观的方式，学生可以更好地理解计算算理.

（二）对比概括，总结算法

分数除以整数有两种计算方法：第一种方法是用分数的分子直接除以整数;第二种方法是用分数乘这个整数的倒数.但是在实际情境中，当“分子除以整数”无法整除时，学生会发现第一种方法虽然算得快，却存在一定的限制，不适用所有分数除以整数，由此可以体会到第二种方法的普遍性.学生在对比的过程中体会不同方法的特征，从而会在不同的情况下用不同的方法，使自己的思维更灵活.

（三）验证推理，理解本质

本节课最大的难点在于如何让学生真正理解分数除以整数的算法.学生通过画图和对比，并结合平均分和分数乘法的意义发现了除以整数相当于乘它的倒数的计算方法.以前，教师讲授到这一步也就结束了，接下来就是让学生通过大量做题来巩固知识，加深印象，但是这种教学方式的最大问题就是学生是通过记忆来计算的，虽然可能有些学生会理解算理和算法，但是他们经过一段时间之后就会忘记算理和算法，开始出现混乱.因此，在学生学会算法之后，教师还要让学生学会对算法进行合情推理，使之适用于所有的分数除以整数，从而加深印象.学生的推理解释一般都是通过前面所学的画图和算理进行说明的，但是这是不够的，教师还要让六年级的学生学会用逻辑思维进行转化验证，从而锻炼他们的逻辑思维能力.教师要引导学生利用商不变的性质进行简单证明.学生在转化验证的过程中，自己选择合适的分数，并将分数除法中的除数变为1.在选择的过程中，学生可以再一次体会算理.只要学生知道为什么要把除数变为1，他们就能更好地理解为什么除以一个数相当于乘这个数的倒数.教师还要给学生提出更高的要求，从而做好中小学衔接.

通过“分数除以整数”这节课，我们就可以发现，学生可以很容易发现并且掌握算法，而且按照以前的教学方法，我们都是直接教给学生算法，最多也就是应用画图和对比让学生理解算理，使学生都用“分数除以整数相当于乘这个数的倒数”这个算法.但是通过这节课，我们不仅要让学生在对比中发现规律，总结算法，还要让学生经历这个过程，发现规律，并且有意识地让学生运用代数的方法总结算法，锻炼学生的逻辑思维.而在这个过程中，“平均分和分数乘法的意义”是学生探究分数除以整数不可或缺的工具.在教学中，笔者要先了解学生的学情，因为六年级学生的思维还没办法完全抽象，所以要先让学生画图，通过具体的图，让学生直观地理解算理，接着利用“对比”来进一步帮助他们体会为什么除以整数相当于乘这个数的倒数.这节课我们的创新之处就在于让学生自己运用商不變的性质，把分数除以整数转化为分数乘这个数的倒数，并用字母进行表示.

学生通过本节课，先解决了分数的分子能够被整数整除的特殊情况，再结合意义进行思考，写出自己的想法，并借助画图进行理解;之后，教师引出分数的分子不能被整数整除的情况，让学生体会哪一种方法更具有普遍性，感受分数除以整数可以利用分数的意义转化为乘整数的倒数.教师再要求学生利用商不变的性质进行证明，并用字母证明普遍性，使学生在一步一步的教学中体会为什么除以整数就相当于乘这个整数的倒数.教师教给学生学习方法后，学生就学会了如何学习分数除法，也为接下来学习一个数除以分数打下基础，有利于学生今后的学习.

【参考文献】

[1]杨彩如.基于多元表征理论的小学分数除法计算教学研究[D].广州：广州大学，2019.

[2]葛敏辉.理解视域下“分数除法”计算教学认知起点的调查分析[J].小学数学教师，2018（3）：15，32-37.

[3]郝康英.例谈小学分数除法的计算教学[J].教书育人，2014（15）：46-47.