借题发挥巧拓展 深入浅出妙提升

吴纯朝

【摘要】著名教育家叶圣陶说过：教学有法，教无定法，贵在得法.作为新时代中学数学教师，研读教材、调查学情和合理设计教学环节是课前必做的三项工作.然而教师再怎么周密筹划、精心设计数学课堂，总存在着某些不确定因素.教师的智慧在于启发学生透过问题看本质，并及时抓住师生思维碰撞的火花，巧妙拓展延伸，逐渐生成核心素养.

【关键词】拓展延伸;通性通法;数学建模;学习兴趣;专业成长

2018年9月以来，我校以“三问五环六度”教学模式（课前自学独研→合作探究学案→课堂展示对抗→质疑→点评升华）持续推进课堂转型.按学校要求备课组长得先上一节示范课，组员再照葫芦画瓢.笔者的一堂高三理科一轮复习“示范课”——对数函数的图像及性质，虽因意外上成了“满堂灌”，还跑了题，但课后却得到了听课教师的一致好评：处变不惊，保护了学生的自尊心、好奇心和求知欲，步步为营启发诱导，是一节精彩纷呈、原生态十足的拓展课.

一、课堂实录

环节一：复习对数函数的图像和性质.（略）

环节二：典例剖析-拓展提升（展示自学成果，点评升华）

师：第一题：不求值，比较下列各组对数的大小.

（1）log23与log2π. （2）log 1 3 3与log 1 3 π.

（3）log23与log 1 3 π.（4）log53与log4π.

女生甲：“（1）利用函数y=log2x在区间（0，+∞）上单调递增即可比出大小.”

男生乙：“（2）利用函数y=log 1 3 x在区间（0，+∞）上单调递减即可比出大小.”

男生丙：“（3）利用找出合理的中间量0即可比出二者大小.”

女生丁：“（4）利用数形结合法，当x∈（1，+∞）时，函数y=log4x的图像比函数y=log5x的高，即可得出log53

师：这四个小题主要考查对数函数单调性及对数函数图像的应用，四名同学答得都很好，抓住了问题的本质！

本以为此类问题就此告一段落，突然，男生戊弱弱地问了一句：“老师，你能讲讲怎么比较log20182017与log20192018的大小吗？我昨晚研究了半个小时仍没结果，要是高考碰到此类问题怎么办？”

为什么是弱弱地问了一句？笔者当时分析有两个原因：一是担心这个问题是不是太简单会让教师和同学取笑;二是担心影响教师的课堂教学计划，招来批评.

学生戊平时就特别爱思考、爱质疑、爱提问，具备工科学生该有的优秀品质.此时，他这不分场合“贸然”一问，让刚才还热闹的教室顿时寂静了下来.学生正等我接招呢！

说实话，这种“偏难怪”问题，笔者偶尔见过但从未留心，稍做思考，发现这不是一个简单的常规比大小问题，两者都非常接近1，“应该”后者稍大.于是，笔者对学生说：“卡拉比猜想从1954年提出到1976年才被华人数学家丘成桐证出，经历了二十二年;费马大定理从提出到证出更是经历了漫长的三百多年.戊的问题提得好，有探究价值！接下来我就同大家一起就该问题展开探讨，假如没得到完美解决，可不要对我失去信心哟！”学生异口同声：“那是自然！”

在岔开话题期间，笔者已想到一种方法.

思路一：分离等量法

师：由于上述问题中，对数的底数、真数都较大，而且两者都非常接近1，我们可以先解决同类问题——比较log65与log76的大小.

学生若有所思！

师：显然直接利用函数y=log6x与y=log7x在（1，+∞）上的“手工图像”（有误差且挨得太近）是很难看出大小的！但大家知道，对数函数在（0，1）内的函数值变化快，（1，+∞）内的函数值变化慢.那么能否先转化一下，再观察图像呢？

师：现在只需比较哪两者的大小？

生：抛开等量1不管，只需比较log6 5 6 和log7 6 7 .

法一：（数形结合法）在同一坐标系内画出两个函数y=log6x与y=log7x的图像，可得log6 5 6

法二：引入中间量log6 6 7 ，

一方面，函数y=log6x在（0，+∞）上单调递增，则有log6 5 6

另一方面，∵ln 7>ln 6>0，∴ 1 ln 7 < 1 ln 6 .而ln 6 7 <0，∴ ln 6 7  ln 7 > ln  6 7  ln 6 ，即log6 6 7

从而有log6 5 6

师：课后同学们可以借鉴这种方法去比较log20182017与log20192018的大小.不过问题是解决了，可总觉得挺麻烦，太抽象，难以想到！那还有没有其他方法呢？

学生戊：作差比较法，只是用完换底公式并通分后就进行不下去了！

师：很好，我们现在就来共同试一试吧！

思路二：作差比较法

师：作差法是比较两数大小的基本方法，其三步骤是什么？

生：作差→变形→定号.

师：好，大家叙述我来板演！

师生：log20182017-log20192018= ln 2017 ln 2018 - ln 2018 ln 2019 = ln 2017ln 2019-ln22018 ln 2018ln 2019 .

學生戊：分母为正，分子没法判断符号呀？

师：同学们可能忘了，学习基本不等式时课后就有一个练习，形如判断ln 2017ln 2019与ln22018的大小！

至此，笔者一看表，离下课仅有12分钟，然后对学生说：“一不做二不休，誓将此问题拓展到底！”偶尔的小幽默将可爱的学生逗得哄堂大笑.

思路三：构造函数法

师：结合这两个对数的结构形式，我们是否可以构造函数f（x）并研究其单调性，进而比较f（2017）与f（2018）的大小？

学生看着两个对数log20182017与log20192018，再次若有所思.

学生戊：我想到了f（x）=logx+1x，可是没见过这种函数呀！不会求导，怎么研究其单调性呢？

师：我们要敢于面对困难，先用换底公式变形后再试试吧！

此时学生戊露出了会心的微笑：老师，这个方法最巧妙！

环节三：课堂小结

师：本节公开课我本计划引导大家复习对数函数的图像与性质应用，却被善于思考的学生戊“搅和”了！但我相信对于参与其中的大多数同学而言，也许收获更大！因为整个学习过程中既有通性通法——数形结合法、作差比较法的应用，也有技巧性很强的“分离等量法”“构造函数法”的引入.希望同学们课后进一步拓展、内化，形成属于你的创新思维能力.

环节四：作业布置

作业1 利用“分离等量法”比较log20182017与log20192018的大小.

作业2 利用“作差比较法”比较 a+1 - a 与 a - a-1 的大小（a>1）.（提示：必要时可分子有理化）

作业3 利用“构造函数法”证明：当a>b>e时，ab

二、教学感悟

（一）教学活动中，鼓励学生发问的重要性

教育是心灵与心灵的交流，人格与人格的对话，思维与思维的碰撞.在学习中，学生没有问题才是最大的问题！阿尔伯特· 爱因斯坦曾说：“ 提出一个问题往往比解决一个问题更重要.因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步.”然而，我们似乎已经习惯于去了解学生的解答，却忽视了问题才是智力的发动机，它能将好奇心转变成可控的探究，它才是创新的灯塔.所以，教学活动中，教师不仅要以课前设定的问题引领课堂，更要鼓励学生多思考、多发问，积极提出有价值的问题，进而提升他们的创造力.

（二） 教学活动中，渗透数学建模思想的必要性

学生在学校学习的数学知识，毕业后如果没有机会去用，可能只记忆一时，但数学精神、数学思想与方法却永远发挥作用，可以受益终生.这就是数学思维能力之所在，数学教育根本之所在.在数学教学中，数学思想方法的渗透可以促进学生获得适应个人发展和社会发展所需要的必备品格和关键能力——数学核心素养.数学建模，即构造函数模型解决数学问题的意识与能力是数学核心素养之一，这种意识与能力的培养是课堂教学的一大根本任务.本节课根据教学实际，潜移默化地渗透了构建函数模型的思想（构造f（x）=logx+1x），提升了学生的创新思维能力.

（三） 教研活动中，教师需有专业成长的自觉性

教师不能在课堂中被学生问住，否则“亲其师，信其道”就不存在了.中学教师还要“学习先进中学教育理论，了解国内外中学教育改革与发展的经验和做法;优化知识结构，提高文化素养;具有终身学习与持续发展的意识和能力，做终身学习的典范”.因为就像2010年的手机生产线造不出华为mate30手机一样，不能与时俱进的教师用陈旧的教学模式和理念一定培养不出素质全面的学生.教师应该自主进行专业成长，因只有不断扩大视野，完善知识结构，提升理论水平，在教学中才能站得高看得远，才能随机应变，游刃有余.

三、结束语

苏格拉底说，教育不是灌输，而是点燃火焰.虽然这节公开课貌似“满堂灌”，但笔者仍认为本节课应该达到了点燃学生思维火焰的目的.再者，数学课堂不能完全照着编好的“剧本拍戏”，意外事件也许会带来意外之喜.只要恰当利用这些“灵光乍现”，不仅不会阻碍教学进程，反而会水到渠成，提升学生的核心素养.正所谓“借题发挥巧拓展，深入浅出妙提升”！

【參考文献】

[1]张庆炎.失之东隅，收之桑榆：记一节被“搅和”的公开课[J].中学数学教学参考，2019（13）：7-9.

[2]米山国藏.数学的精神 思想和方法[M].毛正中，吴素华，译.成都：四川教育出版社，1986.