例谈基于数学抽象素养的概念课教学设计

龙正祥 王金理

【摘要】《普通高中数学课程标准（2017年版）》中关于数学学科核心素养的阐述：数学学科核心素养为数学教育指明了方向和目标，基于数学学科核心素养的教学，教师需要增强为数学学科核心素养而教的意识，分析教学内容所承载的数学学科核心素养内涵，寻求数学学科核心素养的实施策略，进而进行相应的教学设计.本文以“函数与方程”教学为例，创设真实的数学情境，使学生经历“问题→作图→观察→猜想→讨论→归纳”环节的探究过程，促进数学抽象素养的发展.

【关键词】数学抽象素养;函数的零点;方程的根

一、数学抽象素养

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）指出：数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系;从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征.

数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中.数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.

数学抽象主要表现为获得数学概念和规则;提出数学命题和模型;形成数学方法与思想;认识数学结构与体系.

学生通过高中数学课程的学习，能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验;养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁;运用数学抽象的思维方式思考并解决问题.《标准》中将每一个核心素养分为情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思四个方面，并将每一个素养分为水平一、二、三.

二、 教學内容分析

1.基于内容的安排和作用

“函数与方程”选自北师大版高中数学必修一第四章第1节，它揭示了方程与函数之间的本质联系.这种联系是中学数学中“函数与方程”思想的理论基础.解方程实际上就是求函数的零点，这样解指数方程、对数方程等超越方程就可转化为求函数的零点，因此函数零点的概念在中学数学中占据核心地位.

2.基于数学核心素养的发展

“函数与方程”一课涉及数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想以及特殊到一般的思想方法等，深入挖掘这些思想方法有助于发展和提升学生的直观想象和逻辑推理素养，让学生体会从函数观点认识研究方程的思想，感受数学的应用价值.本节课又是一节概念课，概念课的教学过程要注重概念的引出、及时归纳整理、多角度说明、概念本质的分析以及概念理解的升华应用，这一过程是数学抽象的过程，能很好地体现数学抽象核心素养.

3.基于数学核心素养的培养

在数学中，数与形是数学研究和学习的基本对象.函数零点的概念指向了方程的根（数的一面）和图像与x轴交点的横坐标（形的一面），教师要培养学生从不同角度思考这两者之间联系的能力.零点存在性定理的发现、理解和鉴别，要求学生具备语言概括能力;直观想象素养的培养要求学生具备从不同角度思考问题的能力;数学抽象核心素养的培养要求学生具备概括能力，这些都是学生在日常生活中必备的思维能力.

三、 学情分析

1.有利因素

由于学生已经学习了二次函数，又学习了函数的性质，所以从一元二次方程及函数的关系开始引入，然后过渡到一般方程及相应函数的研究，得出函数零点的概念，学生易于接受，符合学习的最近发展区原则.鉴于函数图像作图的局限性，应进一步引出探究零点存在性定理的必要性，激发学生的探究热情.

2.不利因素

（1）零点概念的认识.对于函数零点，学生很容易先入为主，认为零点是点.

（2）零点存在性定理的判断.由于对定理的讨论基础是函数图像，而学生能画出的函数图像是有限的，极易导致图像分析的非典型性，进而影响学生对定理中每一个关键词的理解.

（3）零点（零点个数）的确定.零点是在分析图像的基础上得到的概念，而并非所有函数的图像都能具体描绘出来，所以学生在零点及零点个数的确定上会遇到困难.

四、 教学策略分析

本节课是一节概念课，概念教学强调追本溯源、前后联系、逻辑连贯的概念形成过程.当学生遇到新概念时，不能用已有知识解决，就产生了矛盾.教师应依据新概念与学生原有认知结构之间的差异，制造一种恰当的矛盾情境，促使学生展开思考、分析，最终消除矛盾，掌握概念.根据这一原则，本文以对主线问题的三次探究为线索，贯穿整节课，引导学生概念的生成，教学策略的特点如下.

1.生活性.在本节课中，笔者以气象台的图片作为课堂引入，开放性地回答场所问题，引出学生不同角度的思考，让学生更全面地看待问题，用数学中的主线问题揭示矛盾，发现不同角度思考问题的重要性，引起学生的共鸣.

2.朴实性.对于零点存在性定理的发现，笔者设计温度曲线的实验，让学生观察温度曲线代表的函数图像，寻找几何问题的代数表征，相比利用已有的简单函数图像观察规律，实验法让学生更有“亲近感”，一改数学在学生心目中复杂、高不可攀的形象，还原数学本质，提升数学知识的直观性.

3.矛盾性.在主线问题初探、再探和终探的过程中，经常出现矛盾，学生寻求解决方案、发现概念，从而解决矛盾，层层深入对概念的理解.矛盾性能够激发学生的学习欲望.

五、 教学目标设置

1.通过具体的二次函数图像以及一元二次方程根的问题，引导学生经历函数（结合二次函数）零点的发现过程，明确函数零点与相应方程根、图像与x轴交点横坐标的关系总结出函数零点的概念及零点存在性定理，提升和发展学生的数学抽象和直观想象素养.

2.通过设置合理的教学情境，以及分组探究、质疑交流，引导学生经历实验探讨零点存在性条件的过程，感受零点存在性定理的形成及以数辅形的强大功能，体会函数与方程思想、数形结合思想以及转化与化归思想.把判断函数零点存在的方法由特殊函数推广到一般函数，培养学生逻辑推理素养.

3.通过创设无法求得方程的解到能够通过研究函数的零点，利用函数的性质研究方程的根的教学大情境，使学生经历数学学习的探索历程，体会知识的生成方式，体验获取知识、探究数学的乐趣，从而提升学生深度学习的能力.

教学重点：函数零点的等价关系，零点存在性定理.

教学难点：探究函数零点存在的条件.

六、 教学过程

1.巧设情境，引入新知

情境一 笔者出示一幅当地气象台的图片，让学生识别这个地方是什么样的场所.

由于学生并不完全了解当地气象台，所以有许多即兴猜测的回答，有说是公园的，有说是海豚纪念馆的，也有说是当地气象台的.

设计意图 学生从不同角度观察同一场所得到了不同的答案，所以如果对一个问题的思考角度不同，得到的答案也会不同.

情境二  判断下列方程是否有根，如果有根，有几个根？

① 2x-3=0.

② x2-2x-3=0.

③ ln x+2x-3=0.

设计意图 对于方程（1）（2），学生可以直接求解，但对于方程（3），学生却有些犹豫，甚至无从下手.此时，教师需要提示学生换个角度思考问题，引导学生运用方程（1）（2）的其他解法来解决方程（3）的问题，即尝试从形的方面来寻求问题的答案.数学是研究数与形两个方面关系的学科.同一个问题，可以从数的方面考虑，也可以从形的方面探究.初中阶段研究方程根侧重于数的方面，高中阶段除了侧重数的方面还侧重形的方面.这一问题的设计，为成功引入零点概念做好了充足准备.

情境三 畫出函数f（x）=2x-3的图像，观察方程2x-3=0的根与函数f（x）=2x-3的图像与x轴的交点，你有什么发现？

设计意图 通过简单函数“引”零点，在学生思维困顿之处设置数学情境，引发学生产生疑问，通过质疑交流，激发学生学习数学和探究新知的热情，通过后继学习，进一步使学生领会将方程问题转化为函数问题处理的必要性.

2.操作确认，探索概念

（1）求解画图

求下列一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数的简图，并写出函数图像与x轴交点的坐标，如表1所示.

（2）探寻关系

一元二次方程与相应二次函数的关系，如表2所示.

设计意图 揭示规律，二次方程如果有实数根，那么方程的实数根就是相应的二次函数的图像与x轴交点的横坐标.概念自然引入，观察表中的x1，x2，它们在方程中称为方程的根，在图像中称为图像与x轴交点的横坐标，那么对于函数而言，取名为零点就水到渠成了.

（3）函数零点的概念

对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫作函数y=f（x）的零点.

零点的三重“身份”：（1）函数y=f（x）的零点;（2）函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标;（3）方程f（x）=0的根.

设计意图 利用零点不同情境下的三种“身份”，明确函数零点的概念，零点不是点，它是数与形的完美统一，也是方程与函数思想的绝妙体现.

（4）应用所获，再探例题

判断下列方程是否有根，如果有根，有几个根？

①2x-3=0. ②x2-2x-3=0. ③ ln x+2x-3=0.

设计意图 把方程ln x+2x-3=0的形式改为ln x=-2x+3，从而顺利地把方程根的问题转化为函数y=ln x与函数y=-2x+3的交点问题.探究过程中，作图的方法优于解方程的方法，培养学生直观想象素养的要求得到了淋漓尽致的体现.

3.质疑思辨，完善概念

若方程不转化，本题还能用形解决吗？显然是比较困难的.以此作为矛盾冲突点，引导学生探究不作函数图像就能判断零点存在的方法，即寻求几何图形的代数表达：零点存在的图形的共性探究.

（1）数学实验，寻求共性

如图1所示，图中已经标出a和b时刻的温度，请按你自己的设想在图1的两图中绘出[a，b]部分的温度曲线.

师：温度曲线作为一个函数，它具备哪些条件就可确定有零点存在呢？

设计意图 如果函数零点的定义是增强学生由数转形、以形助数的能力，那么零点存在性定理的发现就是让学生感受由形转数、以数辅形的强大功能，培养学生的归纳能力和数学抽象的核心素养.

（2）共性归纳，得出定理

如果函数y=f（x）在[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f（a）f（b）<0，那么，函数y=f（x）在（a，b） 上至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.

教师应先要求学生齐读，然后引导学生寻找定理中的关键词，引导学生结合实验图例讨论、解释每一个关键词的意义及重要性，并得出推论（存在唯一零点的命题）：如果函数y=f（x）在[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异，即f（a）f（b）<0，且是单调函数，那么这个函数在（a，b）上必存在唯一的一个零点.

设计意图 学生对于定理的理解，要经历“了解—理解—见解”的逐步深入过程，所以概念定理的教学也需要分三步走，首先了解概念的形成过程，然后在此基础上加强对概念的理解和欣赏，最后提出自己的见解.零点存在性定理这一概念的生成过程，是由图形设计引出对共性（零点存在）的归纳探讨，概念的理解和欣赏则通过学生朗读及对关键词的挖掘辨析来实现，最后在辨析中寻找零点唯一存在性定理的表述.教师要注重培养学生归纳问题本质的能力，发展学生的数学抽象核心素养.

（3）例题终探，定理应用

判断下列方程是否有根，如果有根，有几个根？

①2x-3=0. ②x2-2x-3=0. ③ ln x+2x-3=0.

设计意图 探究典例，利用零点存在性定理突破形解决问题的局限性，感受以数辅形的强大功能，培养学生的数学抽象核心素养.

4.目标检测，整理所学

检测1 函数f（x）=-x3-3x+5的零点的个数是（ ）

A.0  B.1  C.2  D.無数个

检测2 已知函数f（x）的图像是连续不断的，对应值如表3所示，那么函数在[1，6]上的零点至少有个.

检测3 已知函数f（x）=|x2-4|-a，若y=f（x）有四个零点，求实数a的取值范围.

设计意图 检测1是巩固利用几何和代数方法解决零点问题;检测2是零点存在性定理的应用;检测3是零点问题的综合应用，这三道题目能培养学生知识及核心素养.

5.反思悟道，内化所学

从知识、思想、生活实际来谈谈自己的收获.

设计意图 学生发言，开放式地探讨、补充，教师点评，从知识到思想、素养、能力，将数学知识与生活实际应用相联系.

6.作业设置，课外延续

作业1 （基础性）已知函数f（x）=|x2-4|-a，试探究函数零点个数与a的关系.

作业2 （拓展性）已知函数f（x）=|x2-4|，关于x的方程[f（x）]2-4f（x）+k=0，尝试探究该方程解的个数与k的关系.

设计意图 作业1进一步巩固学生课堂所学，提高学生运用知识解决问题的能力;作业2让学有余力的学生继续探究讨论，可以从不同角度探究，如化归成简单函数或利用现代信息科技作图解决等.

七、教学评价

学生不仅是学习的主体，而且是教学的资源，是课堂生活的共同创造者.基于数学抽象的概念课的教学研究要从整体上把握概念，突出概念之间的相互联系，注重数学本质，精心设计好思维的导航图和生长链，从微观上把握好概念获取的生长路径和关键节点.

在本节课中，教师引导学生利用函数的性质研究方程解的情况，从而使原来无法解决的问题转化为可解的问题，体现了用联系的观点看待问题、用新观点看待旧事，培养了学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养.在利用函数图像与性质探究函数零点问题时，学生对函数图像的观察、判断有一定的难度，需要教师加强指导;学生能够明确地感受到函数零点存在时的图像特征，但不会用数学语言来描述，这就需要教师通过问题引导，让学生经历一个模仿、归纳、抽象的过程，促使他们把几何语言转化为符号语言.

核心素养的培养需要教师准确把握课程目标、课程内容等，利用合理的教学情境与素材，借助各种教学形式，去落实教学目标.教师应该不断学习、探索，提升自身的数学素养，了解数学知识之间、数学与生活及其他学科的联系，开发出符合学生认知规律、有助于提升学生核心素养的优秀案例.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]杜育林.整体把握 精心设计：以一元二次方程的概念教学为例[J].中学数学教学参考，2019（32）：15-17.