有效教学从设计情景和提出问题开始

高书霞

【摘要】高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握教学内容的本质.任意角的概念对学习任意角的三角函数至关重要.这节课就是设置合适的教学情境和提出有效的问题，从而达到有效教学的目的.

【关键词】任意角;设计情景;有效教学;数形结合

1 问题的提出与思考

《普通高中数学课程标准解读》指出，基于核心素养的教学，要特别重视情景的创设和问题的提出.核心素养是在特定情境中表现出来的知识、能力和态度，只有通过合适的情境才有利于学生感悟和形成.设计情境和提出问题的根基是数学内容的本质.概念教学的一个重要的方面就是將学生带入问题中，让学生在发现问题、解决问题的过程中主动构建，理解数学知识的本质，体会科学研究的一般方法.教师根据教学内容和教学目标创设、引领系列数学活动的问题情景，突出问题情景的启发性，能够引导学生发掘系列数学活动开展的暗线，帮助学生形成知识系统.

2 任意角的教学设计

2.1 学情分析

学生在初中阶段学习了正负数与0还有0°～360°的角等相关概念，缺少对任意角概念的认知与思考.学生通过类比正负数与0的概念得到正角、负角、零角的概念，并通过实际情景在直角坐标系中研究象限角、讨论任意角以及终边相同角集合的表示方法.学生知识储备水平符合本节课的基本学习要求，学习内容处于其最近发展区.

2.2 教材内容分析

“任意角”是苏教版高中数学必修4第1章第1节第1课时的内容，是该册的起始课.任意角的概念是学习任意角三角函数的基础，是突破学生对角的概念认知的关键内容.本章教材的定位是展示对周期现象进行数学研究的过程，即建构刻画周期性现象的数学模型的思维过程.角的概念的推广（从静态到动态）是研究三角函数的后续课程的逻辑基础，在这之中起着承上启下的作用.学生已经经历过函数概念由静态到动态的推广，这对于角的概念的推广有一定的帮助.角的概念在三角函数知识的发展过程中起着重要的作用，它决定着对三角函数的概念、性质的理解和把握的深度和广度.因此，准确地理解任意角的概念对学习任意角的三角函数至关重要.

2.3 教学目标

（1）通过观察生活情境，了解任意角的概念，理解任意角引入的过程与原因.

（2）能进行终边相同角的计算，提高数学抽象素养与数学运算素养.

教学重点：任意角的概念、终边相同角集合的表示方法.

教学难点：分类讨论终边相同角的问题，然后借助图像分析其周期.

3 教学过程

3.1 新课引入

教师新课引入时可用这段话：自然界和生活中有许多“按一定规律周而复始”的现象，例如摩天轮的转动，我们手表上时针、分针、秒针的转动，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象，周期现象一般与周期运动有关，在这种周期变化的过程中，我们不难发现角也在呈现周期性变化，为了更好地研究这种周期性变化，我们需要先来研究角的概念（教师在黑板上写角的概念）.

问题1：首先我们回顾一下初中是如何定义角的.

问题2：说说我们以前遇到过哪些角.

问题3：用不等式表示我们已经学过的角的范围.

设计意图 在引入时，一是通过对周而复始现象的介绍，为对周期性现象进行数学研究而学习三角函数;二是复习已学过的角的概念，唤醒学生对角的回忆，以学生头脑中已有的具体的、直观的知识为依托，为角的范围扩大做好铺垫.

3.2 探索新知

问题1：大家想一下在生活中我们有没有遇到过超过360°的角.

情景1：在奥运会上观看中国跳水运动员跳水片段慢动作，常出现向后翻腾两周半、观看体操比赛时出现了转体720°这样的动作名词.

情景2：展示事先准备好的纸质钟表模型

闹钟模型上的显示时间为3：00，但是它快了一小时十五分，请一名学生演示校对过程并回答分针转了多少度.

问题2：生活中存在大量超过360°的角，而且初中里的角的概念不能刻画这些角了.这样就需要我们对角的概念进行推广，考虑前面的例子中的角都与旋转有关，我们可否从旋转的角度来定义角？说说你的看法.

问题3：如果时钟慢了10分钟，当时间校准后，分针转了多少度？如果快了10分钟，校准后分针又转了多少度？请问这两次调整时转过的角度是一样的嘛？什么不一样？（方向不一样）生活中还有这样的例子吗？

问题4：生活中存在很多现象需要区分旋转方向，旋转里顺时针、逆时针是互为相反方向，我们习惯用什么来描述这种相反意义的量呢？比如温度？

设计意图 中学数学中，许多概念，尤其是基本概念与现实生活有着紧密的联系.创设情境可以唤起学生学习的兴趣，使学生身处现实情境，亲身体验，并在感性认识的基础上，理解任意角的概念.任意角的概念不仅体现旋转量，还要体现旋转方向.钟表分针的旋转可引导学生从动态的角度对角的概念进行推广.

问题5：请大家画出α=-150°（展示学生做的图），请大家来看这两个角，它们都是-150°，但是它们的角朝向、位置都不一样，这利于我们研究问题吗？

问题6：为了研究方便，我们可以把角放在直角坐标系中进行研究，你觉得角的顶点放在哪里？角的始边放在哪里？

练一练：在平面直角坐标系中，分别作出角-60°，60°，210°，420°.

（1）指出各是第几象限角.

（2）观察上述各角中有无终边相同的角.

（3）你还能写出与60°角终边相同的角吗？

从数的角度     从形的角度

-660°=（-2）·360°+60°60°角的终边顺时针旋转2周;

-300°=（-1）·360°+60°60°角的终边顺时针旋转1周;

60°=0·360°+60°60°角的终边顺时针旋转0周;

420°=1·360°+60°60°角的终边逆时针旋转1周;

780°=2·360°+60°60°角的终边逆时针旋转2周;

k·360°+60°（k∈ Z）60°角的终边逆（顺）时针旋转k周

问题7：我们把它推广到一般，你认为怎样表示与角α终边相同的角？

师生共同总结得出：一般，与角α终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+α，k∈ Z}.从数的角度：终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.从形的角度：k>0时，按逆时针方向旋转k圈后角的终边重合;k<0时，按顺时针方向旋转k圈后角的终边重合;k=0时，角α终边没有转动.

设计意图 终边相同的角的关系及其表示是本节课的难点，为突破这一难点，设置从易到难、从特殊到一般的问题串，引导学生由几何位置之间的关系来探讨其代数特征的“统一”.数形结合，借助于数学知识的载体，让学生学会用数学的眼光看待问题，用数学的思维思考问题.

3.3 巩固新知

例1 判断下列命题的真假：

（1）第一象限角一定不是负角.

（2）小于90°的角一定是锐角.

（3）钝角一定是第二象限角.

（4）第一象限的角一定是锐角.

设计意图 由例题，进一步理解角的概念，深化动态角的概念的推广.当讲到（3）时还可以变式问：第二象限角是钝角吗？

例2 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：650°，-480°，-970°.

设计意图 进一步理解旋转所成角，体现学习过程的应用性.学生在解答与-480°终边相同的角时容易出错，教师可以这样引导：-480°比0°小，-480°就要加上360°得到-120°，满足条件吗？所以还要在加个360°，得到240°，240°满足条件，因此，-480°=-2*360°+240°，因此-480°与240°终边相同，所以-480°是第三象限角.

总结：只需将这些角表示成k·360°+α（k∈ Z，0°≤α<360°）的形式，然后根据α来确定它们所在的象限.

例3 已知α的终边落在y轴的正半轴上，试探究 α 2是第几象限角？

设计意图 将 α[]2 写成 k 2 ·360°+45°（k∈ Z），從数的角度对k进行奇偶讨论，体会分类讨论的思想;利用数形结合引导学生思考数学表达式中的“k·180°”在图形上的周期变化规律，进行直观判断.

4 总结回顾

师生共同回顾本节课的学习过程，归纳如下：

（1）知识结构：将生活中实际遇到的角的问题，抽象出任意角（正角、负角、零角）象限角（终边所在的象限）数形结合得到与角α终边相同的角的集合S={β|β=k·360°+α，k∈ Z}.

（2）思想方法：静态向动态扩充，形成任意角概念;为了方便研究，运用数形结合方法把角放到直角坐标系里去研究;终边相同的角不一定相同，运用数形结合方法划归为终边相同的角的集合;对于k的讨论确定第几象限角，运用分类讨论思想进行解答;对于周期性，借助数形结合来分析.

5 教学反思

5.1 设置情景，引入概念

教学活动具有极强的目的性，教师需要在课前预设教学情境和问题，预设课堂上可能的生成问题，在此基础上系统地整理和设计教学内容.弗利德曼认为，成功的教学必须使学生掌握正确的和完全的导向系统.

心理学家研究曾表示：概念的形成与概念的内化是学生掌握概念的基本途径.概念的形成往往来源于学生的具体实际经历，并在不断比较与总结中明确概念的意义.而概念的内化，则需要学生建立在概念形成的基础上.学生只有通过加工已有认知水平中的知识经验，结合新概念的练习与综合思考这个过程才能使得概念内化.

概念教学中，教师不仅要重视学生对知识概念的理解和掌握，更重要的是要引导学生通过自我主动构建经历概念的形成过程，体会隐藏在概念背后的数学思想方法.

5.2 设计问题，注重思维

钟启泉教授认为，在教学前，教师应准备好一个提问或者讨论的框架，就是对教学要素和教学过程的合理的步骤预设，体现师生主体活动.

学生自主探究，并通过动手实践、智力参与、主动体验、合作交流等活动，“再创造”自己的数学意义和数学活动经 验，使数学学习为发展智力、提高一般科学研究能力奠定基础.

在教学中，教师应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养，设计切合学生实际的情景和问题，引导学生用数学的眼光去观察现象、发现问题，使在问题解决的全过程中，理解数学内容的本质，促进学生数学学科核心素养的发展.

【参考文献】

[1]曹瑞彬.“任意角”的教学设计与反思[J].中学数学月刊，2018（4）：1-3.

[2]李俊.让“过程与方法”目标回归数学本真：以“任意角”的教学设计为例[J].中学数学教学参考，2015（16）：23-25，31.

[3]崔允漷.有效教学[M].上海：华东师范大学出版社，2009.