构造视角下的中学数学函数、方程、不等式问题的讨论

闵辉 衷雪儿

【摘要】函数、方程、不等式三者联系密切，通过构造的思想，以初等函数为构造目标对象，利用导数工具，研究函数的单调性、极值等性质，可为三者之间的内在转化提供一种常规的解题思路.

【关键词】构造;导数

在哲学派别中，常有“逍遥派”和“构造派”两大思想方法体系.后者对中学数学解题有重要的指导意义.函数、方程和不等式是初等数学中三个主要问题角色，其题型复杂，涉及的解题方法也较多.三者内在联系紧密，常常相互转化，其中导数是研究函数性质的常用手段，构造思想是三者转换联系的主要思路，数形结合是基础.

1.导数和函数

函数的性质主要包括定义域、值域、对称性（奇偶性）、周期等.通过函数的性质可体现函数图像的性质.在函数图像绘制的过程中，通过导数工具，可求解曲线的切线方程、函数的单调性、凹凸性、极值、最值、渐近线等.中学的导数概念从物理概念的极限角度切入，也可以看作极限 0 0 型的特殊形式.对于中学的函数问题，参数的处理一直是重点和难点，主要的思路是构造函数的思想和使用导数在函数、方程、不等式三者之间进行相应的转化，其中构造是关键.函数综合问题的一般解题步骤如下：

（1）结合定义域，用导数求解函数的单调性和极值点，有时候需要判断间断点的极限;

（2）优先使用因式分解求解零点，尤其是三次多项式;

（3）在导函数不易因式分解的前提下构造函数，基于根的存在性定理，求解隐零点，隐零点的问题，从数值分析的角度来说是一种估算的问题形式;

（4）大多数情况下，二次或者多次求导研究函数的单调性和极值，本质上还是构造函数的思想，函数问题仍然突出数形结合的思想，通过函数图像的绘制，了解整个函数的形态.

2.不等式主要类型

中学不等式的主要类型有：二次不等式、分式不等式、高次不等式、无理不等式、指数或对数不等式、超越不等式等，涉及的主要解題方法有：穿针引线、换元、指数和对数转化、二次方程根的分布、二次函数对称轴和区间的最值问题等.对于超越不等式（函数）常常进行放缩，寻找伴随函数，将非线性问题转化为多项式函数处理，典型的方法是通过放缩寻找切线函数以及泰勒展开式.这种思想很朴素，应在高中数学函数问题中重点引导.一些不等式问题还可以转化为二次方程根的分布问题，这体现了不等式和方程之间的关联.对于多变量的不等式证明问题，构造函数是关键.例如，双变量不等式问题，从变量的个数来说，形式上属于多元函数问题，常规解题方法是减元构造二次函数.对于超越函数的双变量不等式问题，也常利用极值点偏移法以及齐次化手段，最终目标是构造一元函数，转化为函数最值问题.极值点偏移的特殊形式是二次函数的对称问题，高阶段的运用有误差矩阵以及普阿松括号积思想（误差思想）.最为典型的题目是2010年天津高考数学理科试卷第21题第3问.

3.含参不等式的恒成立问题

函数、不等式、方程问题中，参数的处理是重难点，常用的方法是分离常数（分式转化为整式），或者使用参变分离、恒值转最值、构造函数求解.根据参数的形式分为全分离和半分离题型.

4.关于不等式、函数、方程综合问题的解题思路

对于超越方程y=F（x）的零点问题，根据F（x）的组成特点，一般构造f（x）=g（x）的形式，转化为函数y=f（x）与y=g（x）图像的交点的问题，将方程的问题转化为求解函数图像的交点的相关问题.转化的依据是构造不同的初等函数.不等式a>F（x）的解题思路也类似.

对于方程f（x）=g（x）的问题，常常构造函数H（x）=f（x）-g（x），从而转化为方程H（x）=0的零点问题.

上述两种典型题型的转化思路主要是基于构造函数的思想，用数形结合的方式，在函数、方程和不等式三者之间进行化归.

5.典型解题思路

例题 （2010年山东）若对任意的x>0，有 x x2+3x+1 ≤a恒成立，求参数a的取值范围.

解析 对于不等式问题常构造函数转化为最值问题.构造函数f（x）= x x2+3x+1 （x>0），则该不等式问题转化为函数的最值问题，即f（x）max≤a.通过齐次化的手段，将f（x）转化为f（x）= 1 x+ 1 x +3 的形式，即转化为对勾函数最值求解问题.

类似的题目还有：求解函数f（x）= x x2-x+3 的最值，可通过代数变形转化为对勾函数的最值问题.一般来说，总是通过各种代数手段将问题转化为初等函数问题.

例题 （2020年南昌外国语学校）对于x>0，不等式ln x≥ a x -ex+2恒成立，求实数a的取值范围.

解析 对于不等式问题，常转换为函数问题.将不等式的分式形式转化为等价不等式xln x≥a-ex2+2x，构造函数，将恒值转化为最值问题，即构造函数f（x）=xln x+ex2-2x，不等式问题等价为f（x）min≥a，再通过导数研究函数的性质，求解函数f（x）的最值.同样的思路还有2019年浙江卷第22题和2012年北京卷（文科）第18题.

例题 （2019年浙江）已知实数a≠0，设函数f（x）=aln x+ 1+x （x>0）.

（2）对于任意x∈ 1 e2 ，+∞，均有f（x）≤  x  2a ，求参数a的取值范围.

例题 （2012年北京文科）已知函数f（x）=ax2+1（a>0），g（x）=x3+bx.

（2）当a=3，b=-9时，若函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求参数k的取值范围.

解析 该题可运用构造函数的方法，令H（x）=f（x）+g（x），通过导数研究函数的性质，讨论参数的取值范围.

例题 （2010年天津）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（  ）.

解析 此题形式上是方程问题，通过构造函数的思想，可将其转化为函数图像交点问题.令f（x）=0，则转化为-2x=3x，即求函数图像交点问题，通过大致的图像可以判断零点的区间.有时候结合试根法，根据根存在性定理或者寻找伴随函数可进一步判断.

例题 （2010年天津理科）已知函数f（x）=xe-x（x∈ R）.

（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2>2.

解析 第一种思路：f′（x）=（1-x）e-x.当x∈（-∞，1）时，f′（x）>0，f（x）单调增加;当x∈（1，+∞）时，f′（x）<0，f（x）单调减少.构造函数F（x）=f（1+x）-f（1-x），x∈（0，1）.求导得F′（x）=xe-x-1（-1+e2x）.∵x∈（0，1），∴F′（x）>0，F（x）单调增加，∴F（x）>F（0）=0，即f（1+x）>f（1-x）.换元，令x=1-x1∈（0，1），∴f（1+1-x1）>f[1-（1-x1）]，即f（2-x1）>f（x1）=f（x2），∴f（2-x1）>f（x2），2-x1

第二种思路：由已知条件f（x1）=f（x2）两边同时取对数，有1= ln x2-ln x1 x2-x1 ，从而x1+x2=（x1+x2） ln x2-ln x1 x2-x1 = x2+x1 x2-x1 ln x2 x1 = 1+ x2 x1   x2 x1 -1 ln x2 x1 .不妨设x11，即证 1+t t-1 ln t>2，可以构造函数g（t）= 1+t t-1 ln t（t>1），即转化为求解函数最小值问题.

第三种思路：由f（x1）=f（x2），得到ex2-x1= x2 x1 ，不妨设x2>x1，x2-x1=t（t>0），所以目标不等式转化为x1+x2=2x1+ t= 2t et-1 +t>2，构造函数，即证g（t）min=[（t+2）+（t-2）et]min>0.

第一种思路通过极值点偏移法构造关联函数，第二、三种思路侧重于通过对数手段和齐次化的思想转化为一元函数的最值求解问题.

类似的题目还有2016年全国卷1：已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.（1）求a的取值范围;（2）若x1，x2为函数f（x）的两个零点，证明：x1+x2<2.

对于多元变量不等式或者函数的问题，常用的初等方法有基本不等式、柯西不等式，对于部分的问题，也可以构造拉格朗日函数，转化为条件极值的问题求解.

例题 （2011年浙江）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是.

解析 构造条件极值函数F（x，y）=2x+y+λ（4x2+y2+xy-1），λ∈ R，分别求偏导，可得到极值（最值）.这种构造也可以看作一种函数变量升维的思想的运用，即从一元到多元变量函数.

类似的题目还有2010年四川高考第12题：设a>b>c>0，则2a2+ 1 ab + 1 a（a-b） -10ac+25c2的最小值是（  ）.该题的求解也可以通过构造拉格朗日函数求解条件极值来解决.由此可见，一些高考数学题具有高等数学的背景，只不过问题的难度和形式得到了简化.

6.总结和教学建议

在函数、不等式和方程的综合问题中，常运用构造思想，初等函数是构造的主要对象之一，还常结合導数，讨论函数的参数取值问题.除了构造初等函数外，在中学数学中，圆、两点间距离、两点斜率公式、向量内积，甚至行列式也常是构造的目标对象，这体现了数形结合的思想.由此可见，构造是通法，也是代数和几何之间的“桥梁”.

中学数学中的不等式、函数常和高等数学的微积分关联，方程问题也涉及线性代数初步知识，即一次线性方程既可以构造为两个向量的内积，也可以构造为行列式的计算.从高观点来重新认识、解释和理解中等数学的内容具有一定的意义.

例如 （2016年上海）设a>0，b>0，若关于x，y的方程组ax+y=1，x+by=1无解，则a+b的取值范围是.

解析 从线性代数的角度，二元一次方程组可转化为系数行列式的问题.文献[5][6]也从大学角度、高观点角度对中学数学一些概念和知识的讲解提供了一些建议和思路.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]M 克莱因.古今数学思想：第一册[M].上海：上海科学技术出版社，1979.

[3]刘文汇，刘颖.二次函数在闭区间上的最值问题分析与求解[J].科教导刊，2011（36）： 137-138.

[4]关丽娜，钟德光，郑伟庭.误差思想在数学高考中的应用[J].中学教研（数学），2017（11）： 32-34.

[5]李尚志.大学视角下的中学数学（导数）[J].数学通报，2019（7）： 1-4.

[6]李尚志.大学视角下的中学数学（泰勒展开）：续[J].数学通报，2019（9）.