高中数学解题中数形结合思想的应用分析

曹艳

【摘要】数学问题的解答中，数和形是密不可分的，同时它们也是抽象与直观的具体展现.高中数学的学习中，数与形是两个最基础的概念，高中数学知识也是紧紧围绕这两个概念进行拓展的.运用数形结合思想不但可以有效提升学生的理解能力，同时可以培养学生的数学核心素養.鉴于此，本文首先阐述了高中数学解题中数形结合思想应用的不足之处，并论述了该种思想在解题中的具体应用，以供参考.

【关键词】高中;数学;数形结合

引 言

当前，高中教师在讲解相关数学问题时，大多数只是对题目中的相关知识进行讲解，而忽略了相应解题方法的传授过程.事实上，学生在数学习题的解答中能够体会到相应习题的解题方法，这也是高中数学解题教学的重要目标.而数形结合是利用图像实现数与图形之间的转换，它能够使问题变得更加直观.所以，高中数学习题解答中，教师要大力讲解此种方法的应用，帮助学生更好地解答相关数学问题.高中是学生学习与成长过程中至关重要的转折阶段，在这一时期，学生的学业压力较重，学习难度较大，在数学解题中会遇到很多难题，这些难题教师必须帮助其解决，从而降低学生的学习困难，帮助学生放松身心，提升学生的学习效率和解题准确度.

一、数形结合思想在高中数学解题应用中存在的问题

（一）数学教学思维比较浅显

高中数学中，数形结合是一种很好的解题方法，然而学生对其的理解不够深入，与此同时，高中数学教学中也存在教学思维较为肤浅的情况，这造成学生在解决一些较为抽象的数学问题时感到束手无策.正因如此，学生解答一些数学问题的过程中，通常只是结合题目中给出的条件，无法实现对它们的良好转化，导致学生探索问题能力的不足，数学能力得不到良好的提升.此外，一些学生不具备良好的抽象思维，只会解答部分浅显易懂的问题，在面对那些较为复杂的问题时，通常不得其法，无法抓住问题的关键所在.

（二）学生数学思维的差异性

每个学生的数学基础不同，这样他们在解答数学习题的过程中思维也会有所不同，并且每个学生的思维方式也存在一定差异，这导致解答相应数学问题的过程中，其认识的程度和理解的深度会存在一定差异.另外，一些学生在解答数学习题的过程中没有充分发掘题目中的隐藏条件，给解答带来一定阻碍.

二、数形结合思想在高中数学解题中的应用价值

（一）有利于帮助学生理解数学概念

高中数学知识涵盖很多数学概念和数学定义，高中数学与初中和小学数学相比，具有较大的学习难度，抽象化的数学概念逐渐增加，有一些可能会超出学生的理解能力和接受范围.因此，在高中数学教学和解题中应用数形结合思想，有利于帮助学生理解抽象化的数学概念，将抽象化的数学概念以另一种学生能够轻松理解的形式进行呈现，这不仅可以有效提升学生的学习水平，还能在降低学生理解数学概念难度的同时培养学生的学习自信，端正学生的学习心态.通过数形结合还能够培养学生的数学思维和数学意识，引导学生用数学思想思考问题，培养学生的数学思维，推动学生学习能力的提升，提高学生的联想力，不断促进学生综合素养的提升.

（二）有利于帮助学生学习更多的解题方法

对于高中生来说，他们面临的学业压力比较重，同时要为高考做准备，因此时时刻刻都不能放松，为此教师一定要帮助学生减轻学业压力，提高学习效率，而引导学生运用更加有效地方式来解决数学问题就是一个有效的途径.数形结合思想是一种经常会使用的解题方式，学生如果能够扎实地掌握这一思想和方法，并且能够将其灵活地应用于数学解题过程中，那么学生的学习效率会有很大幅度的提升.教师通过教学数形结合思想的应用能够帮助学生掌握更加有效的解题方法，不断推动学生学习水平与解题能力的进步，提高学生的数学综合素养.

三、数形结合思想在高中数学解题中的具体应用

（一）数形结合思想在方程式中的应用

在对一元二次方程根的情况进行研究的过程中，我们通常会结合二次函数的图像.如二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），我们在对方程ax2+bx+c=0求根时，也就是令y=0，实际上就是函数的纵坐标为0，求其与x轴的交点，这样问题便得到一定转化，能够得到很好的解决.例如下面这道例题，“已知方程x2+4mx+6m=0，它的两个根在区间（-1，3）中，求m的取值范围.”在解答这道习题的过程中，我们就可以应用数形结合思想.假定f（x）=x2+4mx+6m，这样便实现了方程到函数的转化过程.我们可以根据题目中的要求画出该二次函数的简图，如图1所示.

方程x2+4mx+6m=0的两个根在区间（-1，3）中，实际上就是f（x）=0时，二次函数与x轴焦点的横坐标在区间（-1，3）之间.借助于这个图像，我们能够得知，要想使题目中的条件得以成立，必须同时满足f（-1）>0，f（3）>0，f  -b[]2a =f（-2m）<0.将这几个不等式联立，最终得到答案- 1[]2 3[]2 .

（二）数形结合思想在集合问题中的应用

高中数学中包含众多知识点，集合、函数、不等式、数列……其中集合是其他函数的基础，只有学好集合，才能够更加良好地进行后续知识的学习.集合习题的解答中，因为一些问题单纯靠头脑的想象存在一定困难，而利用图形能够使问题变得更加直观，所以数形结合思想也是集合问题解答中经常会用到的一种方法.

例如，“已知集合A={x|x<-1或x≥1}，B={x|2a<x<a+1}，a<1，且B∈A，求a的取值范围.”首先2a<x<a+1，要想使其成立，就需要保证2a<a+1，由此得出a<1，而题目中也给出了a<1的已知条件，说明集合B不是空集.我们又可以结合题意画出相应数轴，如图2所示.

（三）数形结合思想在解析几何中的应用

利用坐标系可加强数和形之间的关联性，实现从数到形的转换，从而使问题得到有效解决.例如，“已知x，y满足方程 x2 16 + y2 25 =1，求y-3x的最小值和最大值是多少.”在这道习题的解答中，如果运用普通的代数求解方法，问题难以得到解决，而通过数形结合的方法能够化繁为简，问题得到良好解决.首先假定y-3x=a，可以得出y=3x+a，这样原问题便得到转化，变为在椭圆 x2 16 + y2 25 =1上求取一点，通过这一点直线的斜率是3，求其在y轴上截距的最小值和最大值，这样我们便可以画出如图3所示图形.

从图像中我们可以看出，在直线与椭圆相切时，截距最大或最小.于是我们可以联立两个方程式，得出169x2+96ax+16a2-400=0，再令根的判别式Δ=0，这样可以得出a=±13，所以y-3x的最小值为-13，最大值为13.

（四）数形结合在函数问题中的应用

函数是高中数学中一个重要的知识点，也是高考必考的知识点，函数中包含很多数学概念，函数的种类也有很多，比如三角函数、指数函数等，而纵观高中数学的应用题题型，函数应用题是经常出现的一个典型题型.针对函数问题的解题通常是要先建立一个直角坐标系，通过直角坐标系分析已知条件之间的关系，然后在直角坐标系中通过各种条件来绘制函数图像，因此函数问题中经常能用到数形结合思想，这不仅是解题的关键步骤，通过图像将比较抽象的函数关系呈现出来，能够帮助学生提高解题效率.例如，“已知方程|x2-4x+3|-a=0有三个不相等的实数根，求a的值.”针对这道函数题，教师应该引导学生利用数形结合思想来解题，通过图像分析方程根的不同情况.教师要先要求学生绘制出y=|x2-4x+3|的图像，通过图像来观察交点，其交点就是方程的解，也是函数的值，这样会大大降低学生的解题难度，同时可以增强学生的自信心.

（五）数形结合在提高算理能力中的应用

在高中数学解题中，学生一定要对每一种算法的由来及原理的推理过程有一个初步的认识和掌握，这样才能改变死记硬背的记忆方式，加深学生对于数学算法及数学原理的理解和记忆.学生如果真正掌握了一个数学算法的原理及推理过程，在应用的过程中也能够更加得心应手，从而有效减少计算中因计算原理出现的错误.教师不能只关注学生最后的计算结果，而应该深入了解学生的计算过程，帮助学生在计算的过程中掌握良好的计算技巧，缩短学生的计算时间，提高计算的准确率.为了达到这一教学目标，教师就可以充分借助数形结合思想的优势.

四、应用数形结合思想解题的注意事项

对于数形结合在高中数学解题中的应用，教师要将教材作为基本点进行研究，深入挖掘教材，从而适当融入数形结合思想.对于数形结合思想在高中数学解题中的应用，教师要将所有的应用形式都立足于教材之上，且要对教材内容进行深入的研究和分析，寻找教材中能够应用数形结合思想的契机.并不是每一个数学知识都能够应用到数形结合思想进行教学，如果教师强硬地将数形结合思想融入不适当的地方，很容易造成相反的效果，影响高中数学教学的质量.因此，教师要对教材内容进行全面研究，多思考，多实践，将理论与实践相结合，在教学中总结经验，吸取教训，引导学生正确使用数形结合思想.

另一方面，教师针对数形结合思想的应用要选择合适的方式进行渗透，也就是说，要针对学生的接受能力、数学基础等多方面进行综合性考虑，当学生对于数形结合思想产生一些不理解的问题时，教师要将教学节奏放慢，采取灵活的教学形式让学生理解数形结合思想的应用方式，从而真正发挥数形结合思想的教育价值，提高学生的解题能力.

综上所述，我们可以看出，在高中数学解题教学中应用数形结合思想，能够显著提升教师的教学质量与效果.然而，在实际应用这种思想的过程中，因为一些人为以及理解上的不足等原因，导致该种思想的真正价值并没有得以真正体现.因此，作为一名教师，要肩负起重任，对学生加以引导与激励，发现学生解题中的错误要及时予以纠正，保证学生在解答相关数学问题时能够良好地应用数形结合思想，从而达到提升他们数学能力的重要目标.

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