图解不等式思路的运用

段雄东

【摘要】图解不等式融合了方程、不等式和函数三个重点知识，体现了几何直观这一数学课程的核心概念，而且它展现出来的思路“要解不等关系先解相等关系”更是解题常用的思路.这也就要求我们教师在教学过程中既要注重知识点的教学，也要重视知识点运用过程的教学，并把运用过程中产生的思路或者思想方法迁移到其他问题中去.

【关键词】不等式;函数;图像

在初中阶段，只有一元一次不等式才能根据不等式的性质直接求解，其他的不等式都要利用函数图像求解，例如解一元二次不等式、解形如kx+b< m x （k，b，m是常数）的不等式.虽然图解不等式只在人教2013版九年级上册的数学教材第47页的“拓广探索”有一题，其他地方没有涉及，但是它把方程、不等式以及函数知识融合在一起，学习起来能很好地提升学生的空间观念、几何直观，符合义务教育阶段的课程内容.不仅如此，图解不等式体现出来的思路“要解不等关系先解相等关系”是我们解决不等关系常用的思路，也是广州数学中考的考点.

一、图解不等式

例1 如图1所示，一次函数y1=kx+b的图像与反比例函数y2= m x 的图像相交于A，B两点，观察图像，不等式kx+b< m x 的解是.

分析 根据上面的思路，要解kx+b< m x ，先解kx+b= m x ，然后根据图像得出结果.

找方程kx+b= m x 的解就要找一次函数y1=kx+b和反比例函数y2= m x 的图像交点的横坐标，即 x=3和x=-2，然后在图中找出不等式kx+b< m x 的解：x<-2或0

这是典型的图解不等式题目，所有的数据都在图中，不用任何计算，只要掌握了思路，就可以直接写出答案.

这里的关键就是要有数形转换的能力.可能有一部分学生不能将不等式kx+b< m x 与图形联系起来，我们可以从特殊情况着手：从上往下画一条竖线，若竖线先穿过y1=kx+b，则表示此时kx+b> m x ;若竖线后穿过y1=kx+b，则表示此时kx+b< m x .这样就把代数中的大小关系转化成图形中的上下关系.反过来，通过图形中的上下关系也能转化成代数中的大小关系.

二、图解不等式思路的运用

图解不等式这个知识点在人教2013版数学教材中出现的比较少，但是在这个知识点形成的过程中产生的解题思路却在数学解题中经常出现.

（一）通过方程找相等关系

例2 一次函数y=kx+b（k≠0）的图像经过点A（2，-6），且与反比例函数y=- 12 x 的图像交于点B（a，4）.

（1）求一次函数的解析式;

（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1=k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2= 6 x 的图像相交，求使y1

分析 很容易得到第（1）问的答案是y=-2x-2.

第（2）问求使y13.

如果函数图像不明确，就要注意分类讨论.

例3 已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）.若函数y2的图像过y1的顶点.

（1）求证：2a+b=0;

（2）当1

分析 第（1）问只要把y1的顶点坐标代入y2，再化简就可以得到2a+b=0.

我们重点来看第（2）问，根据上面的思路，要“比较y1，y2的大小”，先找出“y1=y2时，x的取值”，然后通过图像找出当1

解 （1）略.

（2）由（1）知，2a+b=0，即b=-2a，

∴y1=ax2-2ax，y2=ax-2a.

令y1=y2，则有ax2-2ax=ax-2a，解得x1=1，x2=2.

当a>0时，如图2所示，当1

当a<0时，如图3所示，当1y2.

综上所述，当a>0时，y1y2.

当然，本题也可以用作差法，但是相比之下，上面的思路不仅更简单，也更容易想到.很多同学感到数学难学，很大程度上是因为数学的解题思路太多，就像走路一样，自古华山一条路，好办，沿着路走就行啦，只不过难走一点而已，换作是茫茫草原，看起來哪个方向都能走，反而不知道要往哪里走，对于中下水平的同学来说，更是如此.所以，类似的题目我们尽量用同一种方法去解，这样可以让学生有方向感，遇到这种题知道往哪个方向走，能走起来后，再考虑还有没有好走一点的路，从而满足不同层次、不同知识结构的学生的需求.

（二）通过隐性圆找相等关系

例4 如图4，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（-1，0），B（0，- 3 ），C （2，0），其对称轴与x轴交于点D.

（1）求二次函数的解析式;

（2）若M（x，t）为抛物线对称轴上一动点，连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围.

分析 第（1）题非常简单，求出二次函数的解析式是y=  3  2 （x+1）（x-2）.第（2）问要求“∠AMB不小于60°时t的取值范围”，我们先找出“∠AMB=60°时t的取值”.AB是定线段，在对称轴找点M使得∠AMB=60°，符合“隐形圆”的条件，也就是当∠AMB=60°时，点M在“隐形圆”与抛物线对称轴的交点上，通过合情推理，当∠AMB不小于60°时，点M在“隐形圆”内，这个题目就迎刃而解了.

解 （2）∵在Rt△ABO中，tan∠ABO= AO BO = 1  3  ，∴∠ABO=30°.

作线段AB的垂直平分线，交y轴于点Q，以点Q为圆心、QB为半径画圆，交抛物线的对称轴于点E，F，如图5.

∴∠QAB=∠ABO=30°，

∴∠AQO=∠QAB+∠ABO=60°，

∠AQB=180°-∠AQO=120°，

∴∠AEB=∠AFB= 1 2 ∠AQB=60°.

∵在Rt△AQO中，tan∠AQO= AO QO .

∴OQ= AO tan∠AQO =  3  3 ，即Q的坐标为0，-  3  3 ，

QB=OB-OQ= 2 3  3 =QE.

过Q作QH垂直抛物线对称轴于点H.由抛物线的对称性可知其对称轴为直线x= -1+2 2 = 1 2 ，

∴EH= QE2-QH2 =  39  6 =FH，

∴E，F的坐标为 1 2 ，-  3  3 +  39  6 ， 1 2 ，-  3  3 -  39  6 .

所以，若∠AMB不小于60°，则t的取值范围是-  3  3 -  39  6 ≤t≤-  3  3 +  39  6 .

虽然这题比较难，但是我们利用“要解不等关系先解相等关系”的思路成功找到了“隐形圆”，解决了关键问题.

三、图解不等式在广州中考题中的呈现

（一）图解不等式的直接呈现

例5 将直线y=3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y=3x+m，若反比例函数y= k[]x 的图像与直线y=3x+m相交于点A，且点A的纵坐标是3.（1）求m和k的值;（2）结合图像求不等式3x+m> k[]x 的解集.

这是2017年广州市中考数学卷的第22题，其中第（2）问直接要求“结合图像” 求不等式，是对图解不等式方法的直接考查.

（二）图解不等式思路的呈现

例6 已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx-2（a≠0） 过点A，B，顶点为C.点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标;（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围.

分析 本题是节选2014年广州中考数学卷第24题的前两问.作为中考卷的倒数第2题，是有相当大的难度的.第（1）问相对比较简单，很容易得到抛物线的解析式为y= 1 2 x2- 3 2 x-2，顶点坐标为 3 2 ，- 25 8 .第（2）问是当∠APB为钝角时， 求m的取值范围.我们知道钝角、锐角是以直角为分界线的，大于直角小于平角的角是钝角，那我们就先找到当∠APB为直角时 m的取值情况.由于本题的抛物线上刚好存在一个特殊点D，又∠ADB为直角，这个题目的难度就降低了很多，然后利用“隐形圆”就可以轻松解决问题.

解 （2）由（1）知抛物线为y= 1 2 x2- 3 2 x-2，顶点坐标为 3 2 ，- 25 8 ，所以其对称轴为直线x= 3 2 ，交y轴于点D（0，-2）.

∵AD2=OA2+OD2=5，BD2=OB2+OD2=20，AB2=25，

∴AD2+BD2=AB2，即∠ADB=90°.

設△ABD的外接圆交抛物线于另一点E，则AB是外接圆的直径，∠AEB=90°.由抛物线和圆的对称性，可知点E的坐标为（3，-2）.

当∠APB为钝角时，点P在外接圆的圆内，所以m的取值范围为-1

四、总结

我们在图解不等式的教学过程中不仅要让学生学会直接利用图像去解不等式，更重要的是让学生掌握图解不等式的思路，并把它作为我们处理类似问题的一般方法.数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法.数学课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系.