广义勾股定理

周仲旺 孙建安

【摘要】众所周知，勾股定理是针对直角三角形而言的，本文把勾股定理推广到除等边三角形以外的任意三角形，引入广义勾股定理，使勾股数成为历史，用它可以非常简单地判断一个三角形是钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形.根据广义勾股定理，引入三角形的秩、新正弦和新余弦，从而已知三角形的秩时，任意三角形都可以当作直角三角形来解;不知三角形的秩时，也得到了解三角形的简捷方法，此时没有必要像通常那样使用正弦定理和余弦定理.最后，本文给出三角形的秩的几何意义.

【关键词】广义勾股定理;三角形的秩;新正弦;新余弦

一、广义勾股定理

定理1 对正实数a，b，c，若满足a≤b2时，a，b，c构成锐角三角形.

该定理可以看成广义勾股定理，这样，不光直角三角形才有勾股定理，除底边小于等于腰的等腰三角形外，每个三角形都有一个勾股定理， 也就是说，除底边小于等于腰的等腰三角形外， 每个三角形都对应着唯一一个大于等于 1的实数n，我们把这个实数n称为三角形的秩.对于任意给定的大于1的实数n，秩为n的三角形有一族，像秩为2的（直角）三角形可以看成一族那样，底边小于腰的等腰三角形的秩是正无穷大，这样的三角形显然是锐角三角形（可以认为它的秩大于2），它也构成一族三角形，底边等于腰的等腰三角形即等边三角形，是唯一没有秩的三角形，显然，等边三角形也可以看成一族，这一族含的三角形最少.任意三角形的秩都可以用Matlab算出来.根据这个定理，以a，b，（a3+b3） 1 3 为边的三角形一定是锐角三角形，据此，对任意给定的实数n≥1，能很容易地构造出一个秩为n的三角形，反之，任意给定一个秩为n的三角形，都可以用这个方法构造出来.

二、新正弦，新余弦

定义 对于秩为r的任意三角形ABC，设它的最大角为∠C，AB=c，BC=a，CA=b，定义较小锐角∠A的新正弦sin（r，A）= a c 、新余弦cos（r，A）= b c .注意，只有较小锐角才有新正弦、新余弦，显然sinr（r，A）+cosr（r，A）=1.

定理2 对任意秩r>1和任意锐角α，它们的新正弦sin（r，α）、新余弦cos（r，α）存在且唯一.

证明 设△ABC的秩为r，AB=c，BC=a，CA=b，较小锐角∠A=α，最长边是c.根据余弦定理，得a=（b2+c2-2bccos α） 1 2 ，因为△ABC的秩是r，所以br+（b2+c2-2bccos α） r 2 -cr=0.令函数f（x）=xr+（x2-2xcos α+1） r 2 -1，只要证明这个函数在（0，1）中有唯一零点，那么定理成立.可知f（0）=0，f（1）=2sin α 2 r>0，经过简单的计算，可得f′（x）=rxr-1+r（x-cos α）（x2-2xcos α+1） r-2 2 ， 当x≥cos α时，f′（x）>0.令g（x）=xr-1+（x-cos α）（x2-2xcos α+1） r-2 2 ，则g（0）=-cos α<0，g（cos α）=（cos α）r-1>0，令h（x）=（x-cos α）（x2-2xcos α+1） r-2 2 ，则h′（x）=（x2-2xcos α+1） r-2 2 -1（x2-2xcos α+1+（r-2）（x-cos α）2），容易算出k（x）=x2-2xcos α+1+（r-2）（x-cos α）2在[0，cos α]上的最小值是sin2α，所以在（0，cos α）上，k（x）>0，h′（x）>0，g′（x）>0，所以在（0，cos α）上g（x） 必有唯一零点x0，这样，在（0，x0） 上f′（x）<0，在 （x0，1）上f′（x）>0，所以f（x0）<0，且在（0，1）上函数f（x）有唯一零点，定理证毕.

根据这个定理可知，方程xr+（x2-2xcos α+1） r 2 -1=0在（0，1）上的唯一解就是cos（r，α），所以cos（r，α）由r，α唯一确定，显然cos（r，α）可以用Matlab算出来.又cos（2，α）=cos α，sin（2，α）=sin α，于是新余弦、新正弦是余弦、正弦的推广.对给定的秩r>1，cos（r，α）是α的一元函数，这是一个新函数.

在经典理论中，锐角α的余弦表面上是直角三角形的锐角α的邻边与最长边（斜边）之比，实质上，这个余弦cos（2，α）被直角三角形的秩2和这个锐角α唯一确定.同样的，表面上新余弦是三角形的较小锐角的邻边与最长边之比，实质上，这个新余弦cos（r，α）被三角形的秩r和这个较小锐角α唯一确定，这样，引进三角形的秩后，新余弦就有意义了，新正弦自然也就有意义了.

三、解三角形的简捷方法

根据定理1和定理2，三角形的秩和它的较小角唯一确定较小角的新余弦，反过来，三角形的较小角和较小角的新余弦唯一确定它的秩.这样我们可以提出一个新的数学用表，这个表表示的是秩、角、新余（正）弦及其关系（已知这三者中的两者能用计算机通过已写好的表而不是通过方程xr+（x2-2xcos α+1） r 2 -1=0查出第三者，当然，这个表是根据方程xr+（x2-2xcos α+1） r 2 -1=0提出的），已知秩可以查出较小角的新余弦，已知较小角的新余弦可以查出秩，已知秩和新余弦又可以查出较小角，而较小角的新余弦是较小角相邻的短边与长边之比，所以很好求，这样求三角形的秩就不难了，一旦求出三角形的秩，解三角形就可以像解直角三角形那样.现举例说明如下.

例1 设△ABC的秩是3，AC=3，BC=4，试求它的最长边AB.

解 AB3=AC3+BC3=33+43=91，所以最长边AB≈4.498.显然4.498<5，故这个三角形是锐角三角形.

假如要求这个三角形的三个角，只要有个新数学用表，求出新余弦后查表就行了.

例2 设△ABC的秩是4，∠A= π 6 ≈0.52，最长边AB=6，试求这个三角形的另外两边AC，BC，另外两角∠B，∠C和这个三角形的面积.

sin B= AC BC sin A≈ 5.8932 2×3.078 ≈0.9573，∠B≈1.28.

事实上，这里cos（4，B）= BC AB ≈0.513.

如果有新数学用表，就可以直接查出∠B，不必用正弦定理，这样多简单！

∠C=π-∠A-∠B≈3.14-0.52-1.28=1.34.

例3 设△ABC的秩是4，∠A= π 6 ≈0.52 ，试求这个三角形的另外两个角∠B，∠C.

当已知两边一夹角且夹角小于60°时，基本上查表就能解三角形.当夹角大于60°时，若这个夹角的余弦大于这两边中的短边与长边的2倍之比，也可直接查表解决;若这个夹角的余弦小于这两边中的短边与长边的2倍之比，就不能直接使用查表的方法，因为这时这个夹角是三角形的最大角，它没有新余弦.只要已知三角形的最大边和另一边及较小角，就可直接使用查表的方法解三角形，但已知两边一角的其他情况就不能使用本方法，因为只有较小角才有新余弦.当已知三角形三边时，可以先用Matlab求出它的秩，然后查表得它的两个较小角，不必用余弦定理.

综上所述，引进三角形的秩后，若已知三角形的两角一边、两边一角或者三边，解三角形多数情况下查表就行，这比用正弦定理、余弦定理简便得多.通常的直角三角形很好解，只不过这是三角形的秩等于2这一特殊情况，已知三角形的秩，解三角形就和解直角三角形一样.由此可见三角形秩的重要作用.事实上，在方程ax+bx=cx中，指数x无论取何值，其作用当然一样，经典理论只是研究了x=2这一特殊情况，而本文发起并初步研究了一般情况.

本文提出的解三角形的方法，复杂的地方就是在方程xr+（x2-2xcos α+1） r 2 -1=0上，其他地方都非常简单，把这个比较复杂的方程交给计算机来处理后，就凸现出本文方法的优越性了，这也是計算机的用途之一.其实，混合使用三角形的秩、正弦定理、余弦定理研究三角形更好.

四、三角形秩的几何意义

已知秩为r的三角形最大角∠C的两邻边为a，b（a>b），∠C的余弦cos C= a2+b2-（ar+br） 2 r  2ab =f（r），f′（r）= （ar+br） 2 r -1 abr2 arln ar+br ar +brln  ar+br br>0，所以r越大，cos C越大，∠C越小.三角形秩的几何意义是：当秩等于1时，三角形的两边a，b的夹角最大，是180°，随着秩的增大，三角形的两边a，b夹的三角形的最大角逐渐变小，当秩趋向于正无穷大时，三角形趋向于一个以a为腰、以b为底的等腰三角形，这时三角形的两边a，b夹的三角形的最大角达到最小，若底边再等于腰，三角形的最大角达到最小值60°.也就是说：以三角形最大角对应的顶点为圆心、以最小边为半径画个圆，当最小边的另一端点在这个圆上移动且三角形的其他两顶点固定时，这样得到的钝角三角形占这个圆的 1[]4 ，而锐角三角形至多占这个圆的 1[]12 .从这个意义上说，钝角三角形比锐角三角形多，尽管钝角三角形比锐角三角形多，可钝角三角形的秩在区间（1，2）上，而锐角三角形的秩在区间（2，+∞）上.

根据上面的分析，我们可以用三角形的秩判断三角形的形状，即三角形的秩越小越接近于平角三角形，秩越大越接近于等腰三角形.例如：秩为1.01的三角形非常细长，基本上是平角三角形，直角三角形的秩为2，秩比较大，它就比较接近等腰三角形，秩为9的三角形基本上是等腰三角形.三角形的秩反映的三角形的这一特性从例1、例2、例4也能看出来，因为这三个例题中的三角形的秩都比较大.

五、结束语

勾股定理被推广后，任意三个不全相等的正数，只要能构成三角形就是勾股数，所以所谓的勾股数将成为历史.勾股定理太狭窄了，广义勾股定理把勾股定理扩大化了.勾股定理主要研究直的、研究距离，广义勾股定理能研究斜的，其应用请大家研究思考.

【参考文献】

[1]同济大学数学教研室.高等数学（上册）：第4版[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]刘玉琏，等.数学分析讲义（上册）：第5版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]华东师范大学数学科学学院.数学分析（上册）：第5版[M].北京：高等教育出版社，2019.