基于反应谱分析的高层结构伸臂桁架最优位置研究

周颖，邢丽丽

(同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海，200092)

近年来，随着经济和建造技术的发展，世界各地建起了越来越多的超高层建筑[1]。结构高度越高，其柔性和侧向位移就越大，为了加强超高层建筑的刚度和限制其侧向位移，在实际工程中越来越多地采用伸臂桁架系统[2-5]。在过去的40多年中，人们研究了伸臂桁架系统对高层建筑的作用效应[6-9]、最优伸臂桁架位置[10-12]以及新型伸臂桁架系统(阻尼器型伸臂桁架)[13-17]。SMITH等[2,18-20]采用简化模型并以顶部位移为目标来研究伸臂桁架的数量以及对应的最优伸臂桁架位置。MOUDARRES[21]采用连续方法研究了在结构顶部伸臂桁架加劲的双肢剪力墙的性能，并同时考虑了均布荷载、三角荷载和集中荷载的作用。ZEIDABADI等[22]根据传统的连续体方法研究了伸臂桁架加劲的双肢剪力墙和设置在高度方向任意位置的大梁。HOENDERKAMP等[23-26]提出了针对超高层支撑框架、设有伸臂桁架的剪力墙结构和设有表面桁架的支撑框架3种结构形式的初步设计方法。LEE等[27]通过静力荷载下的连续体方法推导了设有伸臂桁架的墙-框架结构的主控方程。JAHANSHAHI等[28]提出参数函数对在结构顶部承受3个独立集中荷载并由伸臂-条带桁架系统加强的高层建筑进行静力分析。LEE等[29]提出了一个简单的分析方法，研究设有伸臂桁架结构的几何非线性行为。上述文献都是基于结构顶部位移来研究最优伸臂桁架位置的，而在工程实践中，对高层建筑的抗震设计来说层间位移是更重要的因素。ZHOU等[30]基于结构的层间位移理论研究了伸臂桁架最优位置。XING等[31]以层间位移为目标研究了混合控制消能减震伸臂桁架最优布置形式。然而，早先对于简化模型的研究大多数采用静力水平分布荷载来模拟地震动。而地震动是随时间变化的荷载，采用静力荷载对其进行模拟是比较粗糙的。目前模拟地震动的方法广泛为学者们所接受的是地震反应谱分析法和地震时程分析法。考虑到时程分析的不确定性、随机性以及计算耗时较长，本文选择中国规范反应谱[31]作为地震激励，基于平面层简化模型，通过改变伸臂桁架的刚度、核心筒的刚度、外柱刚度等参数及组合，采用振型分解反应谱法对该模型进行参数分析。不同于前人以结构顶部位移为研究目标，本文所有参数分析都以层间位移为目标。在每种方案下，将伸臂桁架依次布置于竖向各个楼层，通过使结构最大层间位移最小来确定每个工况的最优伸臂桁架位置。最后，以1个量纲一的参数(包含本文所考虑的所有变化因素)为自变量，以所有参数分析的最优伸臂桁架位置作为因变量进行曲线拟合，并通过真实域方法拟合获得这2个变量的关系表达式。

1 伸臂桁架最优位置变参数分析

伸臂桁架最优位置的研究涉及不同类型的模型，包括简化理论模型和精细的有限元模型，然而，这些模型都存在一些问题：1)简化理论模型虽然考虑了核心筒、柱和伸臂桁架的相互作用，却忽略了其他不设伸臂桁架楼层的相互作用；2)采用精细的超高层结构的有限元模型研究最优伸臂桁架位置是不实际的，也极其耗费时间。本文针对上述2个方面的问题，采用平面层简化模型研究超高层结构的最优伸臂桁架位置。相比较而言，平面层简化模型采用总框架加总核心筒的方法，不仅较准确地考虑了主要构件之间的相互作用，而且计算量也较少。平面层简化模型采用有限元软件ANSYS建模，超高层结构的层简化模型示意图如图1所示。

图1 超高层结构的层简化模型Fig.1 Story-simplified model of high-rise buildings

基于图1所示的层简化模型，通过改变不同结构参数，对最优伸臂桁架位置进行研究。分析的结构参数包括：单独考虑伸臂桁架的刚度、核心筒的刚度以及外柱的刚度；同时考虑伸臂桁架以及核心筒的刚度；同时考虑伸臂桁架以及外柱的刚度。基本原则为：当1个参数作为目标变量时，其余参数保持不变，且每个目标变量的变化范围都是在结果因素(最优伸臂桁架位置以及其所对应的最大层间位移)变化明显的区间内；当所有变量都确定后，伸臂桁架依次布置在竖向每个楼层。考虑到这种变化的丰富性，首先应确定不同结构因素的基础值，其详细数据如表1所示。泊松比为0.3，材料密度为7.85 t/m3。

相比于时程分析的不确定性和任意性，反应谱分析具有更好的适用性和稳定性，计算更简便。由于中国规范反应谱与场地条件有关，因此，本文的平面层简化模型是基于甘肃兰州的1个实际高层结构，其中建筑场地类别为Ⅱ类，设计地震分组为第3组，场地特征周期为0.45 s，抗震设防烈度为8度(0.2g)，水平地震影响系数最大值为0.16，阻尼比ξ取0.02。

本文将层间位移作为获得最优伸臂桁架位置的控制因素，即当一道伸臂桁架布置在第i层和i-1层时(伸臂桁架在超高层结构中一般占有2个楼层的空间)，结构的最大层间位移是所有布置方案中的最小值时，这2层即为此种参数条件下的最优伸臂桁架位置。

1.1 以伸臂桁架刚度为变化参数

为了增加结果的丰富性以便于曲线拟合，这里除了将伸臂桁架刚度作为变化参数外，同时考虑结构总层数和结构层间高度。改变伸臂桁架刚度时的所有方案如表2所示，且表2中数值皆为表1中基础值的倍数，例如实验伸臂桁架刚度与基础伸臂桁架刚度之比的变化范围为1～3 000，表明伸臂桁架的刚度变化范围为3×109～9×1012N/m；伸臂桁架布置在每2个楼层间，即50，60和70层结构分别共有49，59和69种布置方案。图2所示为表2中所有方案的最大层间位移，图2中1条线代表伸臂桁架刚度的1种情况，每个点代表伸臂桁架布置在纵坐标所示位置时整个结构最大层间位移，因此，纵坐标表示伸臂桁架的布置位置，每条线包括N-1个方案(N为结构的总层数)。

由图2可见：当伸臂桁架刚度为基础值的1.0倍时，每张图中最右边1条线接近于与横坐标垂直，伸臂桁架布置在不同楼层时的最大层间位移差别不大；同时，当伸臂桁架刚度为基础值的3 000倍时，同一张图中不同曲线间差距微小，继续增大伸臂桁架刚度已没有意义。因此，伸臂桁架刚度的变化范围1～3 000倍满足本文基本原则中的要求，且下文中其他结构参数的变化区间也依据此原则确定。

为了更好地观察和寻找规律，将最优伸臂桁架位置和相应的最大层间位移从图2中提取出来，结果如图3所示。

由图3可见：随着伸臂桁架刚度增大，最优伸臂桁架位置以及其所对应的最大层间位移都在逐渐下降。此外，层间高度(或总高度)越大，最优伸臂桁架位置越低。

1.2 以核心筒刚度为变化参数

表3所示为改变核心筒刚度时的所有方案，核心筒刚度(实际为核心筒的横截面积)的变化范围为基础值的0.3～1.6倍。改变核心筒刚度时所有方案的最大层间位移如图4所示，最优伸臂桁架位置以及其所对应的最大层间位移如图5所示。为了更加集中研究目标变量的影响，后面部分的参数分析将层间高度固定为5 m，同时考虑到曲线拟合方法要求目标变量变化丰富，3种结构的伸臂桁架刚度分别固定为基础值的300，500以及1 100倍。

表1 不同结构变量的基础值Table 1 Basic value of different structural factors

表2 改变伸臂桁架刚度时的所有方案Table 2 All schemes when changing the stiffness of outrigger

图2 改变伸臂桁架刚度时的不同方案的最大层间位移Fig.2 The maximum inter-story drift under different stiffnesses of outrigger

由图5可知：随着核心筒刚度增加，最优伸臂桁架位置逐渐升高，而最优位置所对应的最大层间位移逐渐减小。

图3 改变伸臂桁架刚度时的不同方案最优位置以及其所对应的最大层间位移Fig.3 Optimal outrigger location and the corresponding maximum inter-story drift under different stiffnesses of outrigger

表3 改变核心筒架刚度时的所有方案Table 3 All schemes when changing stiffness of core

图4 改变核心筒刚度时不同方案的最大层间位移Fig.4 The maximum inter-story drift under different stiffnesses of core

1.3 以外柱刚度为变化参数

改变外柱刚度(实际为外柱的横截面积)时所有方案的参数如表4所示，外柱横截面积变化范围为基础值的0.3～1.6倍，3种结构的层间高度和伸臂桁架刚度与1.2节中的一致。图6所示为改变外柱刚度时所有方案的最大层间位移，图7所示为最优伸臂桁架位置以及其所对应的最大层间位移。

图5 改变核心筒刚度时不同方案的最优伸臂桁架位置以及其所对应的最大层间位移Fig.5 Optimal outrigger location and its own maximum inter-story drift under different stiffness of the core

表4 改变外柱刚度时的所有方案Table 4 All schemes when changing stiffness of column

图6 改变外柱刚度时不同方案的最大层间位移Fig.6 The maximum inter-story drift under different stiffnesses of column

由图7可见：当改变外柱刚度时，最优伸臂桁架位置先下降再上升，但总体而言变化比较缓和，而最优位置所对应的最大层间位移随外柱刚度的增大而减小。

1.4 同时改变2个结构因素

同时改变2个结构因素时所有方案的参数分别如表5和表6所示。伸臂桁架刚度变化范围为基础值的1～3 000倍，核心筒横截面长×宽×壁厚和外柱横截面筒长×筒宽×壁厚都分别为相应基础值的0.8，1.0和1.2倍。为使表述简洁，此处略去了不同方案下的最大层间位移和最优位置所对应的最大层间位移，只显示最终的最优位置。同时改变伸臂桁架刚度和核心筒刚度时的最优伸臂桁架位置见图8，同时改变伸臂桁架刚度和外柱刚度时的最优伸臂桁架位置见图9。

图7 改变外柱刚度时的最优位置以及其所对应的最大层间位移Fig.7 Optimal outrigger location and the maximum inter-story drift under different stiffnesses of column

表5 同时改变伸臂桁架和核心筒刚度时的所有方案Table 5 All schemes when changing stiffness of outrigger and core

表6 同时改变伸臂桁架和外柱刚度时的所有方案Table 6 All schemes when changing stiffness of outrigger and column

图8 同时改变伸臂桁架和核心筒刚度时的最优位置Fig.8 Optimal outrigger location when changing stiffness of outrigger and core

图9 同时改变伸臂桁架和外柱刚度时的最优位置Fig.9 Optimal outrigger location when changing stiffness of outrigger and column

由图8和图9可见：伸臂桁架最优位置随伸臂桁架刚度增加而下降，随着核心筒刚度增加而上升，随着外柱刚度增大而变化平缓，其变化趋势与1.1，1.2和1.3节中的结论一致。

2 最优伸臂桁架位置拟合

2.1 量纲一参数推导

根据文献[2]，伸臂桁架设置处核心筒的转角θcore可以表示为

式中：E为材料弹性模量；I为核心筒横截面的转动惯量；w为均匀分布荷载；M为约束弯矩，是由于柱和伸臂桁架相互作用在核心筒上产生的反向弯矩；x为结构顶部至伸臂桁架设置处的距离；H为核心筒的总高度。

由于外柱的伸长和缩短，在伸臂桁架设置处核心筒的转角θout1可以表示为

式中：d为两外柱之间的距离；Ac为外柱轴向横截面积。

由于伸臂桁架弯矩而引起的核心筒的转角θout2可以表示为

式中：I0为伸臂桁架的等效转动惯量。

伸臂桁架与核心筒在其中心线的相交处的转角相容方程可以表示为

将式(1)～(3)代入式(4)，可获得

式中：

将参数S1和S2组合表示成1个量纲一参数ω：

求解等式(5)，约束弯矩M可以表示为

在水平均布荷载和抗倾覆弯矩共同作用下的结构顶部水平位移计算为

通过对顶部位移求导来获得最优伸臂桁架位置(即等式(10)对x求导，并令其求导结果为0，最终表达式为

将等式(8)和等式(9)代入式(11)，得

求解等式(12)，最终得

最优位置和参数ω的关系曲线如图10所示。

图10 最优位置和参数ω的的关系曲线Fig.10 Relation curve between optimal location and dimensionless parameterω

上述对最优伸臂桁架位置的研究是在静力均布荷载作用下进行的，虽然公式推导了最优伸臂桁架位置，但并没能给出最优伸臂桁架位置的直接表达式，而是以一个折中的最优伸臂桁架位置-刚度参数的关系曲线来呈现。此外，既有最优伸臂桁架位置的研究仅提供了1个类似于图10的静力荷载下的关系曲线[18-20,23-26]，或者仅提供了1个具体的最优位置而没有考虑相应结构因素[30]，但其实际应用性都相对较差。因此，本文对多个结构因素进行大量参数分析，采用曲线拟合方法，最终获得最优伸臂桁架位置的计算表达式。

2.2 曲线拟合

2.1节中最优伸臂桁架位置是在静力均布荷载作用下推导出来的。采用静力荷载模拟地震动是非常粗糙的。由于2.1节中的量纲一参数ω包括了提到的所有结构参数，因此，在曲线拟合中仍将其作为自变量。首先应求解2.1中每种方案的ω作为自变量，然后，将每种方案的最优伸臂桁架位置作为因变量绘制散点图，最终通过曲线拟合方法来获得上述散点的拟合公式。散点图和拟合的曲线如图11所示，最终拟合公式可以表示为

拟合公式的误差平方和为1.068，确定系数为0.886，均方根为0.024，这表明拟合结果比较好。

图11 散点图以及相应的拟合曲线Fig.11 Scatter diagram and corresponding fitting curve

将图10中静力均布荷载下的最优伸臂桁架位置曲线与图11中地震反应谱分析下的拟合曲线进行对比，对比结果如图12所示。由图12可见：反应谱分析下的最优伸臂桁架位置明显高于静力均匀分布载荷作用获得的最优臂桁位置，但二者的变化趋势一致。这说明采用静力均布荷载模拟地震作用可以很好地显示结构响应的变化趋势，但很难满足准确性要求。

图12 最优伸臂桁架位置对比Fig.12 Comparison of optimal outrigger location

3 结论

1)随着伸臂桁架刚度的增大，最优伸臂桁架位置逐渐降低；随着核心筒刚度增大，最优伸臂桁架位置逐渐升高；随着外柱刚度增大，最优伸臂桁架位置先下降再上升，但变化相当缓和。

2)层间高度或结构总高度越大，最优伸臂桁架位置就越低。

3)由地震反应谱分析获得的最优伸臂桁架位置高于静力均布荷载作用下的最优位置，但二者的变化趋势一致。