固定支承式悬浮隧道在列车荷载下的竖向动力响应研究

何任飞，袁勇，贺维国，张金伟

固定支承式悬浮隧道在列车荷载下的竖向动力响应研究

何任飞1，袁勇1，贺维国2，张金伟2

(1. 同济大学 土木工程学院，上海 200092；2. 中铁第六勘察设计院集团有限公司，天津 300308)

为了研究列车荷载下固定支撑式悬浮隧道的动力响应问题，以一拟建铁路隧道工程为背景，将水中隧道简化为两端简支的欧拉-伯努利梁，列车荷载简化为一系列移动集中力，建立列车荷载下隧道管体振动微分方程，并通过振型叠加法和隐式数值积分方法求解。以模态分析和时程分析为基础，探讨荷载列速度、水体对动力响应的影响。研究结果表明：移动荷载列通过悬浮隧道时，管体跨中位移放大系数在共振速度处出现了极大值。数据对比表明，水体惯性力相当于增加了隧道管体的附加质量，使其自振频率有所减小，进而减小了荷载列的共振速度，但水体会放大隧道管体共振时的位移响应。

悬浮隧道；固定支承式；列车荷载；动力响应；振型叠加法

悬浮隧道，又称“阿基米德桥”，是一种用于跨越海峡、海湾、湖泊以及其他水体较深、跨度较大的水域的新型隧道结构形式。相较于传统桥梁和沉管隧道，悬浮隧道坡度小，建造成本低，受天气和海底环境影响小，不影响水面通航，并能保留水域自然景观[1-3]，因此，近20年来，学术界和工业界对其给予了广泛的关注。悬浮隧道主要由浮于水中的隧道管体和锚固系统组成。根据锚固方式的不同分为锚索式悬浮隧道、浮筒式悬浮隧道和固定支撑式悬浮隧道[3]。锚索式悬浮隧道结构形式灵活，即使在水深变化大的水域依然施工方便，因此成为目前国内外学者研究悬浮隧道的重点。而相比于锚索式悬浮隧道，固定支撑式悬浮隧道以桥墩作为管体的锚固系统。这种悬浮隧道结构类似“水下桥梁”，其桥墩能够为管体提供刚度较大的约束，从而增大了隧道的稳定性，使得结构更加安全适用。因此，在浙江舟山桃花岛-鲁家峙拟建隧道工程中，便拟采用固定支撑式悬浮隧道的结构形式。根据设计，隧道内将通行轮轨列车，并将预留远期磁悬浮列车的试验条件。在运营过程中，悬浮隧道受到的静力荷载有：自重、静水压力、浮力和附属设备自重等；动力荷载则包括水动力、车辆荷载、地震荷载和沉船荷载等[2, 4]。分析时，应当将各荷载进行解耦逐一研究。其中车辆荷载将持续地引起隧道结构的振动，是最为重要的动力荷载之一，因此本文着重对列车荷载引起的悬浮隧道动力响应进行研究。悬浮隧道的环境介质为水体，既非桥梁所处的空气，也非传统隧道所处的岩土体，这势必对结构的力学性态产生影响。对于悬浮隧道在车辆荷载下的动力响应，国内外的研究并不多。项贻强等[5]将汽车荷载简化为移动集中力，将悬浮隧道等效为弹性地基梁结构，对悬浮隧道在移动荷载作用下的振动微分控制方程进行数值求解。Tariverdilo等[6]利用二维和三维结构模型，对悬浮隧道在移动荷载下的振动问题进行分析，发现流体与结构的相互作用放大了隧道的挠度。ZHANG等[7]研究了悬浮隧道在单个移动载荷下的运动学问题，并讨论锚索刚度、移动荷载和移动速度的影响。然而这些模型忽略了悬浮隧道和移动车辆的耦合作用，并且只讨论了静水环境下的动力响应问题。LIN等[8]利用振型叠加法和有限单元法，考虑流体经过隧道时引起的涡激升力，对流体-车辆-隧道耦合系统中隧道管体的位移和内力响应进行计算。本文以舟山拟建悬浮隧道工程为背景，基于一系列合理假定建立了计算简图和悬浮隧道管体振动微分方程，通过振型叠加法和隐式数值积分方法求解得到固定支撑式悬浮隧道在列车荷载下的动力响应，在模态分析和时程分析的基础上，研究荷载列速度和水体对动力响应的影响规律。

1 计算模型

1.1 模型假定

固定支撑式悬浮隧道及其上方由列车车辆轴重组成的荷载排列如图1所示，为便于探索一般性原理且便于推导，可以做如下合理假定与简化：

1) 由于隧道管体跨径较长，远大于其截面直径，且其两端搁置在桥墩上，可以将隧道管体简化为两端简支的欧拉-伯努利梁，两端的桥墩简化为简支支座；

2) 假定列车荷载为大小、间距相同、速度不变的一系列移动集中力。荷载列间距为每节车辆的长度，每个荷载的大小为每节车辆的重量[9]；

3) 假定隧道管体材料、截面等参数处处相同。

据此可以建立如图2所示的计算简图。

图1 列车编组示意图

图2 悬浮隧道计算简图

1.2 基本运动方程

根据结构动力学理论中直梁弯曲有阻尼受迫振动的基本微分方程，可以给出在该力学模型中的悬浮隧道管体振动微分方程：

式中()为管体在静力平衡基础上的竖向动力位移，，和分别是管体的线密度，阻尼系数和抗弯刚度。f是列车荷载，f是流体荷载。

f可以表达为：

管体在静水中振动时所受到的流体荷载f可以采用Morison公式进行计算：

式中：ρ为水体密度；为管体直径；C为拖曳力系数，取为0.7；C为拖曳力系数，取为1.0[4]。式(3)的Morison公式是以绕流理论为基础的半理论半经验公式，其将流体荷载分成两项，第1项为流体拖曳力，第2项为流体惯性力。其中流体拖曳力是按照真实黏性流体的定常均匀水流绕过某柱体时对柱体的作用力分析得到的，与结构和流体的相对速度的平方成正比，而惯性力是根据理想流体有势非定常流理论分析得到的，与结构和流体的相对加速度成正比[9]。目前，Morison公式在海洋工程中已被广泛采用。

在该计算模型中，隧道管体两端简支，其振动响应可以用振型叠加法来表示，即：

将式(2)~式(4)代入式(1)中，再根据Galerkin法，可以将微分方程转化为线性方程组。可以得到：

(=1, 2, 3，…) (5)

其中：

2 数值算例

到目前为止，世界上还没有一座已经建成的悬浮隧道，因此在本研究中，根据浙江舟山拟建悬浮隧道段的初步设计方案，确定对式(5)，(6)中所涉及到的相关参数，如表1所示。悬浮隧道截面如图3所示。

表1 悬浮隧道基本参数

图3 悬浮隧道截面示意图

另外，式(4)中用振型叠加法将管体振动响应表达为各阶振动的叠加，但简支梁在实际受迫振动的分析中，往往只需取前几阶就可以达到较高的精度要求。计算结果表明用前3阶计算得到的结果和用前5阶基本相同，即取前5阶振动已经可以满足精度的要求。因此在后续分析中取管体前5阶振动进行计算。

3 计算结果与分析

3.1 模态分析

对于简支梁的无阻尼自由振动的自振频率，结构动力学中已有明确的计算公式，即：

对于表1中设计参数，用上述公式计算得到的管体前5阶自振频率为：2.59，10.38，23.35，41.52和64.87 Hz。然而，悬浮隧道所处的环境介质是水体，其在水中自振频率相较于无水的情形将发生变化。令式(5)中=0，得到管体在水中自由振动方 程为：

(a)1时程曲线；(b)2时程曲线；(c)3时程曲线；(d)4时程曲线；(e)5时程曲线

图4y(=1, 2, 3, 4, 5)时程曲线

Fig. 4 Time history curves ofy(=1, 2, 3, 4, 5)

表2 yn时程曲线拟合结果

由表2可以看出，拟合结果的残差平方和都很小，因此拟合效果很好。和无水情形下的无阻尼自振频率计算结果相比，可以发现：由于管体在水中振动时受到水体惯性力作用，相当于增加了一部分附加质量，因此自振频率有所减小。另外，管体自身阻尼和水体阻尼力作用也使得自振频率略微减小，但阻尼比对频率的影响相比于附加质量的影响很小，可以忽略不计。

3.2 时程响应分析

按照我国规范和习惯，铁路可以根据设计时速分为普速铁路(低于160 km/h)，快速铁路(160~ 250 km/h)和高速铁路(250~350 km/h)。以这3种铁路速度等级和上海磁悬浮列车时速为依据，分别取荷载列速度为100，200，300和431 km/h进行管体跨中位移和加速度时程响应的计算，计算结果如图5和图6所示。由图5得，随着荷载依次进入管体，形成一种周期性的激励，跨中位移先由0向下增大，后在负方向的某一位置附近往复振动，当荷载离开管体，跨中位移逐步回到0位置，并出现了正方向的位移。因此在隧道运营使用的过程中，应当考虑到列车荷载下管体往复振动所导致的混凝土开裂、钢壳疲劳等问题。由于结构和水体阻尼的存在，后续自由振动的振幅随着时间而逐渐衰减。而跨中加速度在振动过程中始终在0附近上下波动，当荷载列离开管体时加速度逐渐衰减。

3.3 荷载列速度的影响

计算结果表明，不同移动速度下管体位移响应显然将有所不同。为了研究管体位移响应与荷载列速度的关系，定义管体上跨中位移放大系数(DAF)如下：

式中：Rmax为当荷载列以一定速度通过管体时，管体跨中位移时程响应最大值，Rmax为荷载列以静载作用于管体不同位置时，管体跨中挠度的最大值。位移放大系数可以直观反映移动荷载列的动力效应。图7给出了管体跨中位移放大系数和荷载列速度的关系。

(a)=100 km/h；(b)=200 km/h；

(c)=300 km/h；(d)=431 km/h

图5 不同荷载列速度下管体跨中位移响应

Fig. 5 Displacement response at the mid-span of the tunnel tube with different load velocities

可以看出，当荷载列速度很小时，跨中位移放大系数接近于1，动力效应不明显。随着速度的增大，隧道跨中位移放大系数并非单调增大，而是出现上下波动，在一些速度点出现了极大值。在本算例中，极大值点是32，38，56，78和174 km/h。简支梁在等间距移动荷载列作用下的动力响应包含2类共振[10]：第1类是由移动荷载列的周期性加载引起的共振，第2类是移动荷载列的加载速率引起的共振。本算例中，发生第2类共振所需的列车速度很大，远高于目前列车的运行速度，因此不进行讨论。而根据荷载列经过简支梁的第1类共振速度的表达式br=3.6bnv/(式中：bn为桥梁第阶自振频率；v为荷载列间距；为正整数乘子)，代入前文中管体自振频率计算结果，所求得的第1类共振速度为31.9，39.8，53.1，79.7和159.3 km/h。数值计算和公式计算得到的结果基本一致。在悬浮隧道设计中，应考虑使得列车车速避开此类共振速度，从而减小隧道管体的位移响应。另外在本算例中，当荷载列速度260 km/h时，跨中位移放大系数随着荷载列速度的增大而增大，因此还应当避免列车速度过大导致位移响应过大。

(a) v=100 km/h；(b) v=200 km/h；

3.4 水体的影响

悬浮隧道和传统桥梁及海底隧道的不同便在于其所处环境介质为水体。水体对隧道在列车荷载下的动力响应必将产生影响。图8给出了水中和无水情形下跨中位移放大系数与荷载列速度的关系。由图8可知，当荷载列速度较小时，水体对跨中位移响应的影响也较小，无论是水中还是无水情形跨中位移放大系数都接近1.0。随着荷载列速度的增大，由于水体减小了管体的自振频率，根据荷载列经过简支梁的第1类共振速度的表达式，荷载列的共振速度将有所减小。但水体会放大管体共振时的位移响应。

图7 跨中位移放大系数和荷载列速度的关系

图8 水中和无水情形下跨中位移放大系数与荷载列速度的关系

4 结论

1) 在荷载列的周期性激励下，跨中位移时程曲线开始先由0向下增大，后在负方向的某一位置附近往复振动，当荷载离开管体，跨中位移逐步回到0位置，并出现正方向位移。由于阻尼的存在，后续自由振动的振幅随着时间而逐渐衰减。

2) 荷载列速度很小时，跨中位移放大系数接近于1，动力效应不明显。随着速度的增大，隧道跨中最大位移响应在共振速度处出现了极大值。在悬浮隧道设计中，应考虑使得列车车速避开共振速度且避免车速过大，从而减小隧道管体的动力响应。

3) 由于管体在水中振动时受到水体惯性力作用，相当于增加了一部分附加质量，因此自振频率有所减小，进而使得荷载列共振速度减小。但水体将会放大管体共振时的位移响应。

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Dynamic response analysis of submerged floating tunnel supported on columns under train load

HE Renfei1, YUAN Yong1, HE Weiguo2, ZHANG Jinwei2

(1. College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. China Railway Liuyuan Group Co., Ltd, Tianjin 300308, China)

In order to study the dynamic response of submerged floating tunnel (SFT) supported on columns under train load, in the context of a planned tunnel project, the tunnel tube was simplified as a simply supported Euler-Bernoulli beam, and the train load was simplified as a series of moving concentrated forces. The differential equation for the vibration of the tunnel tube under train load was deduced. Mode superposition method and implicit numerical integration method were adopted to solve the equations. Based on modal analysis and time-history analysis, the effects of load velocity and water body on dynamic response were discussed. The results show that the maximum of displacement amplification factor at the mid-span appears at the resonance velocity when moving loads pass through the SFT. Data comparison indicates that the inertial force of water body provides the additional mass for the tunnel tube. So the natural frequency of the tube decreases and the resonance speed of the moving loads is reduced. However, the displacement response when resonance occurs will be amplified by the water body.

submerged floating tunnel; supported on columns; train load; dynamic response; mode superposition method

10.19713/j.cnki.43-1423/u. T20190225

U451.3

A

1672 - 7029(2020)01 - 0167 - 07

2019-03-26

国家自然科学基金资助项目(51478343)

袁勇(1963-)，男，云南景东人，教授，博士，从事地下结构动力问题研究；E-mail：yuany@tongji.edu.com

(编辑 阳丽霞)