关于耦合电感电路的教学研究

摘  要：从同名端的定义出发，理清了耦合电感电路的概念、给出了判断互感电压极性的简单方法。采用戴维宁定理，推导确定了空心变压器的去耦等效电路;同时给出了空心变压器的二端口等效电路及参数，指出在等效過程中无须考虑同名端和互感电压极性的问题。由理想变压器的等效电路模型，推导确定了实际铁心变压器的等效电路，进一步说明铁心变压器不能变换直流的原因。文章最后给出了全耦合变压器的等效电路。

关键词：耦合电感;空心变压器;理想变压器;全耦合变压器;等效电路

中图分类号：TM13      文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2020）17-0044-04

Abstract：This paper begins with the definition of dot，makes the concept of coupling circuit clearly，gives the simple method of how to decide the polarity of mutual voltage. Based on Thevenins theorem，the decoupling equivalent circuit of the hollow transformer is deduced and determined，and the two port equivalent circuit and parameters of the hollow transformer are given. It is pointed out that the problems of homonymous terminal and mutual inductance voltage polarity need not be considered in the equivalence process. Based on the equivalent circuit model of the ideal transformer，the equivalent circuit of the actual core transformer is deduced and determined，which further explains the reason why the core transformer can not convert DC. Finally，the equivalent circuit of the perfect coupling transformer is given.

Keywords：coupling inductance;air-core transformer;ideal transformer;perfect coupling transformer;equivalent circuit

0  引  言

含有耦合电感元件电路的分析和计算是电路课程中的一个难点。多年的教学实践表明，多数学生对耦合电感电路、空心变压器和理想变压器的知识掌握较差。笔者分析，原因有二，一是耦合电感电路分析涉及同名端和互感电压，学生往往对同名端的概念以及同名端与互感电压极性间的关系没有透彻理解;二是耦合电感电路和理想变压器是不同的电路元件，在教材编排上又往往放在同一章节，这容易引起学生电路概念上的混淆。

关于耦合电感电路的教学，笔者认为首先要理清耦合电感电路的概念，耦合电感、空心变压器、全耦合变压器都属于耦合电感电路的范畴，既可以采用计及互感电压的方法，也可以采用等效电路的方法。理想变压器是只有一个参数的特殊器件，采用变比描述初级、次级关系，分析理想变压器只能使用变比公式。

1  耦合电感的模型和参数

耦合电感是双口元件，是一对可以产生磁场交链的电感线圈的理想化模型。耦合电感的电路模型如图1所示。除了初级电感L1、次级电感L2和互感M等参数外，同名端也是耦合电感所特有的重要概念。

同名端定义为：若有可以产生磁场交链的两个电感线圈，当电流i1和i2分别流入N1和N2的两个端钮时，使N1和N2中的自磁通和互磁通同向加强，则称这两个端钮为同名端，否则称为异名端[1-4]。

同名端的定义反映了同名端最本质的物理属性，也给出了同名端的最基本的判断方法。除此之外，还有以下两点需要注意：

（1）N1和N2的四个端钮中，必两两为同名端，两两为异名端;

（2）当N1和N2的绕向和相对位置确定以后，二者同名端及异名端的对应关系也就客观的确定了，和通电流与否及电流的方向无关。通电流只是判断同名端和异名端的一种方法[5]。

耦合电感中感应电压的方向，只与产生该互感电压的电流ik的流向和同名端标记有关，线圈1中电流ik在哪个端钮流入，线圈2所产生的感应电压在相应的端钮就为正极性，与线圈2已经给定的端口电压的参考极性无关。同理，线圈2在线圈1上产生的互感电压，极性判断方法相同。掌握了这点，在列写耦合电感电路回路电压方程的时候就不易出错。

分析耦合电感电路，先考虑没有互感情况的电压电流关系，再添加互感电压，就可以求解电路。

2  空心变压器

变压器是电工、电子技术中经常用到的器件，它通常有一个初级线圈和一个次级线圈。初级线圈接电源，次级线圈接负载，能量可以通过磁场的耦合由电源传递给负载。变压器的心子是线性磁性（或工作在线性段）材料制成的，称为空心变压器，其电路的相量模型如图2所示，其中R1、R2分别为变压器初级、次级线圈的电阻，L1、L2分别为变压器初级、次级线圈的电感，ZL为负载。教材[6]只给出了图2所示的空心变压器电路模型，学生在学习过程中会提问：如果改变同名端标记，改变电流参考方向，结果会怎样，现详细加以说明。改变同名端标记后的空心变压器的相量模型如图3所示。

空心变压器是耦合电感电路的一个具体应用，其分析方法与耦合电感电路没有区别。分析空心变压器，既可以采用把互感电压当受控源的分析方法，也可以采用等效电路的方法。采用前者进行分析，只要按照第1节所述方法正确计及互感电压即可，在此不赘述，下文着重讨论采用等效电路的方法。

2.1  采用戴维宁定理进行等效

采用戴维宁定理，既可以将空心变压器的次级等效到初级，也可以将初级等效到次级。定义初级回路阻抗Z11=R1+jωL1，次级回路阻抗Z22=R2+jωL2+ZL，互阻抗ZM= jωM。如图2所示同名端标记， 的参考方向可以改变，经过证明，无论  的参考方向如何，次级等效到初级的反映阻抗都为Zref=-/Z22=（ωM）2/Z22[6]。而如图3所示同名端标记，无论  参考方向如何，次级等效到初级的反映阻抗也为Zref=-/Z22=（ωM）2/Z22。由此可知，在 和 参考方向给定的情况下，空心变压器的次级等效到初级后的反映阻抗必为Zref=（ωM）2/Z22，与空心变压器同名端和  的参考方向都无关，等效电路如图4所示。当次级回路开路即Z22=∞时，反映阻抗Zref等于零，说明次级回路对初级回路没有影响。

采用戴维宁定理也可以将空心变压器的初级等效到次级，等效电路如图5所示。类似的可以证明，在  参考方向给定的情况下，图5中初级等效后的反映阻抗为Zref=（ωM）2/Z11，等效电压源 =jωM/Z11[6]，同理这些等效参数与空心变压器同名端和  的参考方向也无关。

有了等效电路，就可以方便的求解电路的响应。

2.2   采用二端口进行等效

从二端口和网络的概念看，空心变压器作为一个整体，可以得到其二端口等效电路及参数，采用这种方法进行等效，也无须考虑同名端和互感电压极性的问题。空心变压器的∏型和T型等效电路及参数分别如图6和图7所示。

图6和图7等效电路中的参数分别为：

从等效参数上看，T型等效电路更简洁。而实际应采用哪种等效电路，要视具体情况而定[7]。

3  理想变压器

理想变压器是一种特殊的二端口网络，是空心变压器在三个极限条件下得到的特殊器件，即假设：（1）初级、次级线圈的电阻均为零，变压器无能量损耗;（2）初级、次级线圈间的耦合系數是1，即漏磁通φ1s=φ2s=0;（3）铁心导磁率μ=∞，即假设两个线圈的自感L1、L2和互感M为无穷大，但保持有 ，其中n为初级、次级线圈的匝数比即变比。其电路模型如图8所示。

对应的电压电流关系为：

由上述关系式无法直接得到初级、次级各自的电压电流关系，只能通过外电路列写，这点和耦合电感电路是不同的。

根据理想变压器的定义，它只有一个参数变比n，由此可以认为理想变压器在电路中仅为改变电流电压大小的中间元件，因此不少人认为为理想变压器可以传输直流变量。那么理想变压器可以传输直流吗？应用带铁心的耦合线圈是工程上实现理想变压器特性的方法之一，设铁心变压器初级线圈电阻R1，匝数N1，漏电感L2s，次级线圈电阻R2，匝数N2，漏电感L2s，可以得到铁心变压器的等效电路如图9所示，其中 ， ，i10为变压器的空载电流。从等效电路可知，实际铁心变压器在初级为直流电路激励时，次级没有输出。同时，次级空载时变压器也有损耗即空载损耗，它是由空载电流与初级绕组电阻引起的[8]。

4  全耦合变压器

全耦合变压器也称为全耦合电感，它是只满足理想变压器的假设条件（1）和（2），不满足条件（3）的一种耦合电感电路。全耦合变压器可用一个电感和一个理想变压器的并联来等效[9]，如图10所示。

全耦合变压器仍然属于耦合电感的范畴，分析方法如上文所述，如果采用等效电路进行分析，就需用到理想变压器的分析方法。

5  结  论

耦合电感电路及理想变压器章节所含内容较多，授课过程中明显感到学生学习压力较大。笔者认为，在教学过程中首先要解释清楚同名端的概念以及同名端与互感电压极性间的关系，空心变压器、全耦合变压器都属于耦合电感电路的范围，只要正确计及互感电压都可以顺利求解电路，但是利用已经得到的各种去耦等效电路可以大大简化电路分析求解的过程。

耦合电感具有的是电感的属性，而理想变压器是属性与耦合电感完全不同的另一种基本电路元件。理想变压器只有一个参数n，理想变压器除了同名端的定义和耦合电感相同外，在分析方法上不能再沿用耦合电感电路的方法。

本文讨论的内容可以帮助学生更好地理解和掌握耦合电感电路、理想变压器电路，为后续课程的学习打好基础。

参考文献：

[1] 亚历山大，萨迪库.电路基础：第3版 [M].于歆杰，译.北京：清华大学出版社，2008.

[2] 李瀚荪.简明电路分析基础 [M].北京：高等教育出版社，2002.

[3] 陈洪亮，张峰，田社平.电路基础 [M].北京：高等教育出版社，2007.

[4] 李瀚荪，吴锡龙.简明电路分析基础教学指导书 [M].北京：高等教育出版社，2003.

[5] 何俊鱼.关于耦合电感的一种讲授方法 [J].中国传媒大学学报（自然科学版），1997（4）：78-82.

[6] 邱关源.电路：第5版 [M].北京：高等教育出版社，2006.

[7] 罗飞.对空芯变压器二端口等效电路的分析 [J].株洲工学院学报，1997（1）：47-50.

[8] 刘良成.电路教学中实际变压器的等效电路 [J].电气电子教学学报，2001（5）：33-39.

[9] 田社平，陈洪亮，赵艾萍.含全耦合电感电路的求解 [J].电气电子教学学报，2008（1）：27-28+51.

作者简介：易宏（1977—），女，汉族，江西南昌人，讲师，工学硕士，研究方向：电路基础、模拟电路。