巧借动态圆突破粒子源遇上有界磁场问题

康利军

带电粒子（不计重力）在匀强磁场中的运动问题，因涉及洛伦兹力、圆周运动和数学中的几何知识的综合而成为同学们学习磁场这部分知识时的一个难点。尤其是当粒子源遇上有界磁场时，还要涉及临界状态，更使得同学们感到束手无策。下面以两类常见的粒子源问题为例进行剖析，以期能够帮助同学们发现规律，找出求解技巧，实现对此类问题的突破。

一、模型特点及解题方法

1.第一类粒子源问题：在垂直于磁场方向的同一平面内，沿各个方向发射相同速率的同种带电粒子（速度大小确定而方向不确定）。求解此类粒子源问题的方法是旋转动态圆法。

如图1所示，在垂直于纸面向里的无限大匀强磁场中，有一粒子源O，它能在垂直于磁场方向的同一平面内沿各个方向发射质量为m、電荷量为+q、速率为u的同种带电粒子，这些带电粒子将做匀速圆周运动。带电粒子的运动轨迹（细实线所示）有下列特点：各带电粒子的圆形运动轨迹半径（R=mv/qB）相等，运动周期（T= 2πm/qB）相等;各带电粒子圆形运动轨迹的圆心分布在以粒子源o为圆心，半径为R的一个圆周上（虚线所示）。带电粒子在磁场中可能经过的区域是以粒子源o为圆心，半径为2R的大圆（粗实线所示）所围区域。

如图2所示，当同种带电粒子从P点在纸面内沿不同方向射人圆形有界匀强磁场时，若带电粒子在磁场中的运动轨迹半径恰好等于圆形磁场的半径，即r=mv/qB=R，则由几何关系易证，它们离开磁场时的方向是平行的。根据带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹特点，可以把这种问题总结为“等半径平行”模型。

如图3所示，当一束水平向右发射的平行带正电粒子束射向圆形匀强磁场区域时，若带电粒子在磁场中的运动轨迹半径恰好等于圆形磁场的半径，即r=mv/qB=R，则由几何关系易证，所有进入磁场的带电粒子将从同一点射出圆形磁场区域。这个过程是“等半径平行”模型的逆过程，可以称之为“磁汇聚”模型。

2.第二类粒子源问题：在垂直于磁场方向的同一平面内沿某一方向发射速率不同的同种带电粒子（速度方向确定而大小不确定）。求解此类粒子源问题的方法是缩放动态圆法。

如图4所示，在垂直于纸面向外的无限大匀强磁场中，有一粒子源O，它能在垂直于磁场方向的同一平面内沿固定方向发射质量为m、电荷量为+q、速率不同的同种带电粒子，这些带电粒子将做匀速圆周运动。带电粒子的运动轨迹有下列特点：各带电粒子的圆形运动轨迹有一个公共切点，组成一组动态内切圆，且各轨迹圆的圆心分布在过入射点且与初速度方向垂直的同一条直线上;各带电粒子做匀速圆周运动的半径不同，但运动周期（T= 2πm/qB）相等;速率较大的带电粒子所经过的路程较长，对应较大的轨迹圆。

如果粒子源发射的是质量不同，但速度大小和方向，以及带电荷量均相同的同种带电粒子，那么这些粒子的运动轨迹也会组成一组动态内切圆，只是各轨迹圆的半径不同，粒子的运动周期也不相同。

二、典型例题剖析

1.粒子源遇上直线有界磁场。

例1 如图5所示，s为一离子源，MN为足够长荧光屏，离子源S到荧光屏MN的距离为L，整个装置处在范围足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B。某时刻离子源S一次性沿平行纸面的各个方向均匀地射出大量的正离子，各离子的质量m、电荷量q、速率u均相同，不计离子的重力及离子间的相互作用力，则（

）。

答案：AC

点评：本题为第一类粒子源遇上直线边界磁场的综合问题，解题时要注意粒子源在磁场中的位置。（l）若粒子源位于与直线边界相距为L的磁场中（本题中情境），则确定粒子打在荧光屏上的范围，需要确定粒子能到达区域的“最远点”。“最远点”由两个特殊位置决定，一个是粒子的圆形运动轨迹恰好与边界相切的位置（如M'点），另一个是边界上与粒子源距离为粒子的圆形运动轨迹直径2R的点（如N'点）。（2）若粒子源位于磁场边界上，则粒子只能在存在磁场的边界一侧运动，不可能到达边界另一侧。确定粒子运动的轨迹区域时，就需要判定轨迹区域的“最远点”。“最远点”由从粒子源射出的粒子的特殊速度（如与边界平行的速度，与边界垂直的速度）决定。

2.粒子源遇上矩形有界磁场。

例2 如图7所示，一束电子以不同的速率沿图示方向飞入一正方形有界匀强磁场，下列说法中正确的是（ ）。

A.电子在磁场中运动时向上偏转

B.电子在磁场中的运动时间若相同，则其运动轨迹一定重合

C.电子在磁场中运动的时间越长，其运动轨迹所对的圆心角越大

D.电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同

解析：电子带负电，根据左手定则可知，其在磁场中受到的洛伦兹力向下，故向下偏转，选项A错误。由周期公式T=2πm/qB可知，电子在磁场中做圆周运动的周期与电子的速率无关，故电子在磁场中的运动周期相同。若电子在磁场中的运动时间相同，则其轨迹不一定重合，比如图8中的轨迹3、4、5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，没有重合，选项B错误。由t=θ/2π可知，电子在磁场中的运动时间与轨迹所对的圆心角成正比，故电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹所对的圆心角越大，选项C正确。电子飞入匀强磁场中做匀速圆周运动，由半径公式r=mv/qB可知，轨迹半径与速率成正比，电子的速率不同，但轨迹所对的圆心角θ可能相同，时间可能相同，比如图8中的轨迹3、4、5，选项D错误。

答案：C

点评：本题是第二类粒子源遇上矩形边界磁场的综合问题。解决此类问题需要注意以下两点：（1）当粒子运动轨迹与边界相切时，要考虑可能出现的隐含临界条件;（2）因各粒子的速率不同，速率大的粒子轨迹半径大，在磁场中运动的路程可能较长，但时间却不一定长，故在解决时间问题时，要选轨迹对应的圆心角为切入点。

3.粒子源遇上三角形有界磁场。

例3 如图9所示，边长为L的正三角形ABC区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0，BC边的中点O处有一粒子源，可以在ABC平面内沿任意方向发射速率均为v的相同的正粒子。若从AB边中点D射出磁场的粒子，在从O点运动到D点的过程中，速度方向偏转了60°，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，则下列说法中正确的是（ ）。

A.从AB边中点D射出磁场的粒子的运动轨迹半径为L

B.粒子不可能从A点射出磁场

c.粒子的比荷q/m=2v/B0L

D.从B点射出的粒子在磁场中的运动时间为πL/3v

解析：因为从BC边的中点O射人并从AB边中点D射出磁场的粒子在从O点运动到D点的过程中，速度方向偏转了60°，所以其运动轨迹如图10中圆O1在磁场区域中的圆弧所示。由几何知识知R=1/2，由洛伦兹力提供其做圆周运动所需的向心力得qvB0=mv2R，解得q/m=2v/B0L，选项A错误，c正确。当粒子的轨迹圆以0点为中心旋转时，将与磁场边界AC相切于某点，故粒子不可能从A点射出磁场，选项B正确。当粒子从B点射出时，其在磁场中的运动轨迹如图10中圆02在磁场区域中的圆弧所示，对应的圆心角θ=60°，运动时间t=60°/360°·2πR/v=πL/6v，选项D错误。

答案：BC

点评：求解本题时，根据粒子源特点画出可能出现的动态圆，可以很便捷地找到隐含条件，即其中一条粒子运动轨迹与AC边界相切，一条粒子运动轨迹经过B点。

4.粒子源遇上圆形有界磁场。

例4 如图11所示，一个半径为R的竖直平面内的圆形区域中分布着匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向内，有一粒子源在圆周上的A点不停地发射速率相同的带正电的粒子。带电粒子的质量均为m，在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为a，以下说法中正确的是（ ）。

答案：BD

点评：当粒子源遇上圆形有界磁场时，从数学角度看，是两个圆相交的几何问题。当r=2R时，粒子运动轨迹半径大于磁场半径，当圆形磁场的直径是粒子运动轨迹的一条弦时，粒子在磁场中的运动时间最长;当r=R时，可用“等半径平行”模型的规律解决。

方法与总结

当粒子源遇上有界匀强磁场时，先根据入射粒子的速度大小、方向的特征确定粒子源的类型，再结合入射粒子的受力情况，准确画出粒子对应情境的动态圆，尤其是对应边界问题的临界状态，找出轨迹圆半径满足的几何关系，便可使相关问题迎刃而解。

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1.如图13所示，在z轴上方空间内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。在原点O处有一粒子源，沿纸面各个方向不断地放出同种粒子，粒子以相同的速率v射人磁场。粒子重力及粒子间的相互作用力均不计。图中的阴影部分表示粒子在磁场中能经过的区域，其边界与y轴交点为M，与x轴交点为N，已知ON=L。下列说法中正确的是（ ）。

A.能经过M点的粒子必能经过N点

B.粒子的比荷为v/LB

C.从ON的中点离开磁场的粒子在磁场中运动的时间可能为πL/6v

D.从N点离开磁场的粒子在磁场中运动的时间为3πL/4v

2.如图14所示，在矩形区域abcd中分布着垂直于纸面向外的匀强磁场，ab边长为L，在ab边的中点P处有一电子发射源，出射电子的速率取一切可能值，所有电子出射的速度方向均与ab边成30°角斜向下，下列说法中正确的是（ ）。

A.只要初速度大小取合适的值，电子就可以在磁场中做完整的圆周运动

B.电子入射速度越大，在磁场中运动的时间一定越短

C.从ad边出射的电子一定比从be边出射的电子运动时间短

D.当be边长大于（√3/2+1）L时，cd边无电子射出

3.如图15所示，在三角形区域abc内有一垂直于纸面向里的匀强磁场。在纸面内一束电子以不同大小的速度從a点沿同一方向射人磁场。不计电子的重力和电子间的相互作用力，关于电子在磁场中运动的情况，下列说法中正确的是（ ）。

A.从be边出射的电子在磁场中的运动时间都相等

B.从ab边出射的电子在磁场中的运动时间都相等

C.从ab边出射的电子距b点越近，其轨道半径越小

D.从be边出射的电子距b点越近，其轨道半径越大

4.如图16所示，圆形磁场区域中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，PQ为圆形磁场的竖直直径，O为圆形磁场的圆心，OA为圆形磁场的水平半径，圆形磁场的半径为R，处于磁场边界P点的粒子源不断沿各个方向将速率均为v0的同种带电粒子垂直于磁场方向射人磁场。当磁感应强度为B0时，直径PQ左侧圆弧恰全部有带电粒子射出，下列说法中正确的是（ ）。

A.粒子一定带负电

B.粒子射出磁场时的速度方向一定垂直于直径PQ

C.粒子的比荷为RB0/v0、

D.若磁感应强度为2B0，则PA上均有粒子射出

参考答案：1.C 2，D 3.B 4.B

（责任编辑 张巧）