数学模型在体育运动中的运用

李红

摘要：学习中的数学理论只是基础，要真正掌握数学，还是要将数学运用到实际生活和工作当中。数学理论和实际问题之间的桥梁就是数学建模，数学中常见的模型之一就是运动轨迹模型。足球是日常生活中深受人们喜爱的一项运动，采用运动轨迹模型研究足球射门模型，极大地提高了学生对于数学模型学习的积极性。

关键词：数学模型;最佳射门点;入射范围角;进球概率

足球是一项风靡全球的运动，其影响力十分强大和广泛，甚至被称为“世界第一运动”，越来越多的中学生喜欢上这项运动，研究足球射门模型一方面可以提高学习的趣味性，另一方面还加深了相关知识的理解，比如高中数学和物理学中的运动问题。射门进球是足球比赛攻守矛盾的焦点，是取胜的关键所在，因此本文的核心就是寻找最佳射门点。

一、问题的提出与假设模型

在足球比赛当中，最为关键的就是是否进球，要想在比赛中获胜，就必须要提高进球率。那么问题就来了，更容易进球的射门位置在哪呢？在国际标准的足球比赛中，足球场长110m，宽90m，球门宽7.32m，高2.44m，为了方便讨论，我们将足球看作一个质点，足球的运动轨迹为与地面平行的直线，只考虑左右张角，不考虑空气阻力、地面摩擦力以及其他球员的干扰的外来因素的影响。

二、建立模型并分析问题

将足球的运动近似看作质点的直线运动，分析射门时没有守门员防守并且队员技术水平一定的情况下不同位置所对应的进球概率。因为足球在做直线运动，因此射门点与球门两端的连线当中的区域内就是能够成功射门的区域，因此只要考虑射门点与球门两端连线夹角的大小，夹角越大则说明进球的概率越大，夾角越小，进球的概率也越小。

以球门 AB 所在的底线为 y 轴，以该底线的中点 o 为原点建立直角坐标系

则 |AB|=2a，2a=7.32 m，P（x，y），x ∈（0，55]，y ∈[-45，45]

由几何关系，我们有直线 AP、PB 的斜率为：

KPA=（y-a）/x; KPB=（y+a）/x

（一）射门点位于过两边球门边缘且平行于边线的两条线的范围外

此时射门点（P）和球门线上跟球门相交的两点（C、D）形成的射门角CPD（∠CPD）越大，则进球的概率越大，因此需要使∠CPD最大的点P，该点P即为最佳的射门点。足球比赛时，队员能在两条边线到过两边球门边缘且平行于边线的两条线范围内因地制宜地寻找合适的射门点，使射门角最大化而提高进球的概率。

（二）射门点位于过两边球门边缘且平行于边线的两条线的范围内

从边线视角看，以左侧球门线为y轴，过球门线中点做垂直于球门线的直线为x轴，球门在球门线上的两点设为C和D。此时通过控制变量的方法可以有两种情况，第一，控制y坐标值不变，当x坐标值改变时射门角大小也随之改变，即对于三角形Cx_iD有固定的一边CD，以其为底边要使三角形的顶角最大则所需的x的值越小，即x值越小射门角越大进球概率也越大，通俗来说就是离球门越近进球概率越大;第二，控制x轴坐标值不变，对于以边CD为底边的三角形Cx_iD来说，相同的x值能有无数个各不相同的三角形，其中除底边外其余两边相等时为三角形顶角最大的时候，即x值确定时射门点接近球场中轴线的位置射门角最大，进球概率也最大。

（三）射门点位于球场边线附近时

在足球比赛时，一方的边锋带球越人向另一方所守球门直线前进，此时在球员运球过程中有一个合适的射门范围。对此，我们可通过数学分析来加以解释，过球门线与球门重合的两点（C点和D点）结合球门线与边线的交点（O点）和球员运球所在的P点，可有两个直角三角形，其直角对边和球员射门点P点构成三角形DCP，在△DCP中即存在射门角∠CPD。当∠OCP最大，∠ODP最小时，在三角形DCP中有∠DCP最小∠CPD即射门角最大。

三、结束语

在我们的实际生活中通过建立模型来解决问题是一个非常有效的途径，尤其在运动中的学习，建立数学模型来教会学生如何发力、运动、方向的判定、身体姿势的摆动等等有很大的帮助。采用数学模型的建立来解释运动中的常见问题、学习新动作、新技能时很重要，比如：学习射门时采用数学模型来解释很有必要，它联系了数学中的几何问题、零点射门、物理学中的抛物线的运动、起跑的重要性、脚的发力部位等等都有了新的认识和巩固。在射门的同时要考虑的因素有很多包括射门的角度、草坪与鞋的摩擦力、脚的发力部位、起跑助力的大小与距离都是要经过实际考察加实践出来的，这些都能用数学模型来解释说明。所以老师要将数学模型运用到体育的教学中来，加深学生对运动的理解有助于后续的学习与掌握。能够加深学生对运动的理解，提高学生的兴趣，提高老师的教学效率。

参考文献

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