初中数学数形结合解题思想方法探究

张建南

摘要： 乔治·波利亚作为著名的数学家，他曾经提出过：对数学思想方法的完善，就好比天上的北极星，人们可以通过他找到正确的发展道路。数形结合思想在应用过程中可以帮助学生掌握更多的数据支持，并且更好地理解数学知识，对解决实际问题具有指导性作用，有利于培养学生具备创新能力，并且使得学生数学认知结构更加完善。采用数形结合思想是当前数学思想最为典型的一种方法，也是最能体现数学美的方式，数与形是教学过程中能够客观描述物体的两个方面，“数”主要侧重于对体外“形”的研究，具有一定的直观性，并且数与形有着密切的联系，不仅可以用数来反映相应的空间与形式，同时也能用形来对数的数量进行说明。华罗庚是我国著名数学家，他曾经说过：数缺形时少直观，而形缺数则难以解决问题。在数的问题上，如果利用纯计算方法进行解决问题，可能会比较困难;而如果对于形的问题，只用数的方法解决也十分困难，因此需要将两者进行有效结合。在几何与代数中不断发挥自身优势，以此可以促进数学更好发展，同时又能够用于解决各种实际问题。因此，把数形结合的思想作为当前教育的重要思想之一。本文主要是探讨如何利用数形思想解决抛物线问题。

关键词： 数形结合;解题方法;有效措施;解题思路

在初中数学学习过程中，会涉及不同数学思想的学习，而数形结合是一种十分常见且实用的教学方式，可以帮助学生正确地掌握数与形之间所存在的内在联系，因此实现形与数更好转化，帮助学生解决多种数学问题。利用数形结合思想，可以将无形内容化成有形内容，使学生能够形成一个定向思维与形象思维，以此对问题有着更直观的理解与更透彻的分析，提高学生对数学的学习能力，并且帮助学生提高他们的观察能力与逻辑思维能力。在初中数学学习过程中，采用数形结合思想具有十分重要的价值，如果能够对其合理应用，必然会对于提高学生数学学习积极性与兴趣有着难以替代的作用。

一、 數形结合方法概述

在初中数学研究过程中，主要对象是空间形式与现实数量关系，数值主要是数量体现的一种形式，形则是体现空间的一种形式。数与形可以根据一定的规则存在相互联系与相互作用，抽象数量关系中常有直观与形象等多个几何意义。直观图形性质可以用数量关系对其进行更加精准的描述，数与形在一定条件下可以实现相互转化，并且互相沟通。我们在对数量关系进行研究过程中，需要借助图形更加直观地去研究，而在对图形进行研究时，则需要根据数量关系去得到最终结果。数与形作为研究数学教学内容的两个方面，需要将数与形有效结合起来，以此使得问题更加简单，开阔学生的思维。华罗庚教授曾经说过“数无行少直观形，形无数难入微”，这也间接地说明了数与形之间所存在的关系。在数学中，数与形也是一种表现形式，更是一种思想方式，它作为初中教学过程中一个十分重要的思想，在解题过程中能够发挥更大的作用，并且也提高学生对数学的兴趣与理解程度，形的直观能够与数的精准更好地结合起来，解决各种问题，以此化解难点知识，最终将知识变成学生能够接受的方面。关于数形结合思想方法，可以在多个数学杂志上可以见到有很多研究，但是关于其思想方法，却没有深刻的完整的认识。

随着我国社会的不断发展，数形结合方式在不同领域被得到广泛应用，人们不仅需要在数学中淋漓尽致地发挥它的作用，并且还会不断地创新与挖掘新的作用与方向。不仅如此数形结合方式也逐渐被其他学科所运用，根据运用过程会总结出相应规律，最终探索在实际生活中数形结合的相关应用。因此这就说明数学结合运用范围不再局限于数学科目，也不仅仅局限于其他科目，它有着更加广泛的使用空间。数形结合为什么能够被如此广泛地运用呢？这值得我们深入思考。可以肯定的一点就是数形结合方式自身具有一定的教育价值与教育意义，因此可以根据问题的需要将数量关系转化成与图形相关的问题进行解决，或者将图形性质问题转化成数量关系的问题进行解决，只有这样才能真正发挥数形结合的作用。我们在日后教学中，希望利用数形结合的教育价值与教育意义，解决数学问题，并且提高学生解题能力。所以在初中教学中，结合教学方式可以提高学生解决问题的能力，这也作为日后主要研究对象。笔者认为，作为教师应当从教育价值视角出发，对其进行深入研究，以此提高学生数学能力。

二、 利用数形结合方法解决抛物线问题

（一）变化教学片断与分析内容

给出二次函数，y=-x 2+4x-2

（1）求此二次函数的最大值;

（2）若 5 2 ≤x≤3，求二次函数的最大值和最小值;

（3）若0≤x≤1，求二次函数的最大值和最小值;

（4）若0≤x≤3，求二次函数的最大值和最小值;

设计意图：1. 解题方法：讨论开口方向、对称轴在区间左边、右边，对称轴在区间内靠左或靠右。2. 采用数形结合方法。

（二）教学过程

将最值设定在 5 2 ≤x≤3。教师在呈现出例题1后需要学生自主解决问题，在经过五分钟讨论以后，学生需要给予教师相应的回答。其次改变最值范围，教师可以利用投影方式将整个改变区间方位演示给学生，学生可以先进行自主解答，随后与班级其他同学讨论。其次演示旋转，教师可以利用投屏方式演示0≤x≤3该最值情况，学生自主解答后，班级同学相互讨论。最后归纳方法，教师利用y=-x 2+4x-2这道题，通过数形结合方法为学生讲解最值范围多个变化过程，并且将其呈现给学生后，可以引导学生自主思考。

（三）片段解析

在该问题的引导下利用信息技术能够对几道问题的变化过程进行全面展示，为学生提供最值变化等多个过程，同时也为学生提供动态学习的资源，使学生在抛物线变化过程中能够感受出形结合思想所表达的含义，有效提高解决问题的能力。在学习过程中，学生具有充分的感知能力，对于方法的理解与知识的掌握是十分到位的。在课件演示过程中，可以将教学过程中的不可能问题化成可能问题，提高教学效率，同时也体现出信息技术作为学生开展数学活动与教师教学实践的主要工具的作用。学生作为课堂的主体，经历了联想、观察、归纳、分析等多个过程后，形成了更加广阔的思维与丰富的知识，为日后学习积累宝贵经验。

三、 教学感悟

（一）直观演示

在教学过程中关于抛物线的翻折、旋转、平移等多个运动，如果按照传统的教学方法，只是在学生的脑海中不断变化与运行，因此笔者认为可以充分发挥信息技术的作用，使得图形变化过程更加直观地呈现在学生的眼前，为学生提供与教学内容相互符合的学习资源。在课堂过程中，可以利用白板技术对整个变化过程进行直观演示，将抽象变化过程展现在学生面前呈现出直观变化过程，利用这种方法不仅在信息技术的演示下能让学生感知到数学结合思想在学习过程的重要性，也为学生日后学习积累更加丰富的经验，同时也为他们日后探究提供更加有效的路径。

（二）事实归纳

信息技术的出现，可以帮助学生在解决数学问题时更加简便与直观，它作为一种辅助性工具，可以对学生整个过程起到引导性作用。但是学生作为获得知识的主体，需要学生能够积极参与其中，才能更大地发挥信息技术的作用。在必要过程中需要学生对所学知识进行交流与总结，在大容量、快节奏的教学中，学生能够清楚地知道自己是课堂的主体，不管使用多么先进的技术支持，都难以替代学生自己的思维，所以在教学方法、解题方法、教学思维等多个方面，学生都要对所学内容进行相應归纳。在进行大量复习之后，这个环节显得十分重要。随着高密度动态演示过程不断进行，教师应当引导学生对所学内容进行发现与归纳，抓住学习重点，并且能够及时抓住稍纵即逝的机遇，通过辨别、追问、交流等多种方法，让结论逐渐浮现在学生的心头。

（三）适度延伸

在复习过程中，我们不仅需要关注解题方法、生成过程、数学思想，同时还要对这些方法进行适当的拓展。开展有效的拓展训练，能够将所获得的知识与学生的认知网络更好地结合起来，最终使得他们的认识结构更加完善。所以为了不断提高数学思想在学生认知中的作用，我们应当逐渐提高例题难度，并且使得其层次更加丰富。随后引导学生的思维更加的深入，在片段中可以帮助学生突破学习中的难点与重点，对学生的思维进行有效引领，使他们能够归纳出解题方法，这对日后拓展应用具有难以替代的作用，在学生的归纳过程中可以找到一般方法，同时在相对应的巩固训练中提高自身的数学能力。

四、 结束语

综上所述，通过本次课题的深入研究，我们能够发现在数学思想中跟生活实际进行联系，好比种下一步棋子，他能够将知识转化成学生自己的能力。数学思想与数学方法存在着相互联系的作用，他们都必须建立在相应的知识基础上。如果缺乏相应的基础，即使有再高的转化能力与学习能力，也难以提高自身的数学成绩，有人将数学比作成一个成年人，问题是心脏部分，知识是其躯体，行为思想是其灵魂。不管如何对其进行对比都可以清楚地了解到，在初中解题过程中渗透数学思想方法的重要性。作为一名教师，笔者认为应当树立终身学习的想法，不断提高自身的教学能力，认真地备教材、备方法、备课，从学生角度出发，一切为学生着想，一切为学生做准备，并且不断提高自身的数学素养。在本次研究中仍存在不足之处，希望能够利用终身学习方法来要求自己。不仅如此，从教师角度来说，教师可以在学生身上使得自身的思想得到延续，因此将数学思想方法渗透到教学过程中，可以使自身在教育过程中得到更好的锻炼。

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