基于循环码和信息压缩融合的量子保密通信算法

马鸿洋，张鑫，徐鹏翱，刘芬2,，范兴奎

（1.青岛理工大学理学院，山东 青岛 266520；2.青岛理工大学量子光学与量子通信研究中心，山东 青岛 266520；3.青岛理工大学信息与控制工程学院，山东 青岛 266520）

1 引言

信息安全[1]是政府企业和个人隐私等领域发展的必要保障，而量子保密通信[2-10]是解决信息安全的有效手段之一，是一种与经典保密通信相互补充的通信方式。量子保密通信在理论上具有经典通信所不具备的绝对安全性，在政府机构、企业金融、个人信息等领域有重大的应用价值和发展前景。

1984 年，Bennett 等[11]提出了第一个量子密码分发协议，即BB84 编码协议；1991 年，Ekert[12]提出了EPR 编码协议；1992 年，Bennett[13]提出了E92 编码协议；2002 年，Long 等[14]提出了基于纠缠光子对的量子保密通信方案；2004 年，Deng 等[15]借鉴经典密码的一次一密的思想提出基于单光子的一次一密量子安全直接通信方案，简称DL04 方案；2007 年，Wen 等[16]提出了基于EPR 对的量子签名协议的方案，并证明采用该方案即使通信被窃听也不会泄露机密信息；同年，Li 等[17]提出了基于纠缠态的秘密信息共享方案；2008 年，杨宇光等[18]参考经典Shamir 秘密共享方案提出没有纠缠的门限量子保密通信协议，对相应的幺正算符操作从而获取秘密信息。2009 年，秦素娟等[19]提出集体幅值阻尼信道上的量子保密通信，且能克服量子信道中集体噪声；2014 年，郭大波[20]对高斯量子密钥分发数据提出性能优化方案；2014 年，吴贵铜等[21]提出双向的带身份认证的无信息泄露的量子保密通信协议，能够解决信道噪声问题；2015 年，常利伟等[22]提出利用最大纠缠信道和部分纠缠信道，构造了2 个多方控制量子通信协议。随着量子通信的发展[23-26]，2019 年，王华等[27]提出了基于量子密钥分发的城域光通信网络架构方案；同年，Qian 等[28]提出一种有效抵御量子密钥分发系统探测器控制攻击的方案；2020 年，Guo 等[29]提出基于量子信道的因果序的相干叠加的量子通信方案，并通过实验验证了该方案能够超越标准量子香农理论的限制。

本文提出了一种循环码和信息压缩混合使用的量子保密通信算法。首先发送端对传输的信息进行预处理，分割为长度不等的2 组数据，其中一组数据用于循环编码，另一组数据用于压缩编码，提高通信效率；其次，发送端添加一串量子态传输给接收端，根据接收端宣布的误码数作为信道安全检测的依据，若信道安全，则对预处理好的数据量子态处理，利用量子稳定子码编码分段并传输，依据稳定字码的特性克服环境引起的误码，提高准确率；最后，接收端依据校验矩阵获得正确传输的量子信息，并解循环和解压缩，从而获得数据。该算法在考虑环境噪声的前提下，利用量子稳定字码对传输的量子态进行编码优化，保证了传输量子态的准确性。

2 基础知识

2.1 信息压缩与循环

信息压缩是指按照一定的算法对数据重新进行组织排列，减少冗余数据。设数据表示为G，依次按照m bit 划分，记为：m 比特｜m bit｜…｜m bit。如果临近的比特串按位相同，例如0111100101… ｜0111100101…，则被压缩为0111100101… 0｜；如果临近的比特串按位相反，如0111100101… ｜1000011010…，则被压缩为0111100101… 1｜。

循环码是线性分组码中的一个重要子类，由于其具有循环特性，因此其编码和伴随式较容易实现。假设 g(x)需要生成[n,k]循环码，u(x)为要编码的信息，的余式为 b(x)，则v(x)=b(x)+u(x)xn-k，可推算出相应的码字，其中最右边的k bit 为信息位，最左边的(n-k)bit 为校验位，用其相对应的校验函数进行校验。

2.2 稳定子码

量子稳定子码[n,k,d ]称为量子加性量子码，是一类结构丰富的量子纠错码，记为 C(W)，其中，n是编码后的比特数，k 是原始的比特数。其特点是Abel 子群W 隶属n 量子位Pauli 算子群，该子群内元素本征值为 +1，所构造的本征值空间为Hs，则当⊂Hs时，对于任意的 M(M∈W)，存在。Hs所对应的量子码为稳定子码，M为W 的生成元，子群W 为稳定子码 C(W)的稳定子，表示为

3 算法描述

3.1 数据分割操作

将比特串P={ P1,P2,…,PK}分割为长度不等的比特串，分别表示为a={P1,P2,…,PC} 和b={PC+1,PC+2,…,PK}，且a＞＞ b，K=a+b。对比特串a 进行压缩操作，对比特串b 进行循环操作。数据分段以及数据循环和数据压缩如图 1所示。

图1 数据分段及数据压缩和数据循环

3.2 压缩操作和循环操作

对a={P1,P2,…,PC}进行压缩操作，对b={PC+1,PC+2,…,PK}按照g(x)=1+x+x3和 u(x)=1 +x3进行循环操作，压缩后的比特串为c={P1,P2,…,PC-X}，X 是可压缩的长度。循环后的比特串为d={PC+1,…,PK,…,PY}，选择的循环码为(7,4)，因此d=1.75b 。

循环部分采用(7,4)循环码，将比特数据按4 分段，然后将4 位数据循环成7 位的数据，可以纠正单个比特错误，并且能够检测任意2 个比特错误的组合。利用(7,4)循环码能将易出错区域的准确率从0.062 5 提升到0.312 5。为了尽可能降低复杂度，本文选用(7,4)循环码对易出错字段进行有效纠正。

将2 个比特串c 和d 重新组合为Q=c +b，c={ P1,P2,…,PC-X}中发生压缩的位置记录标记为Sign-A，通过经典信道传给接收端，Sign-A 信息作为解压缩操作的起始比特位；循环操作对应的校验矩阵也通过经典信道传给接收端，用来进行解循环操作。

3.3 信道安全检测

对于信道安全检测信息，为了保证不丢失有效数据Q。本文没有采用Q 中的信息作为信道检测，而是添加一组长度为n bit 的量子态来检测信道安全。

3.4 编码纠错的过程

把比特串Q 按块传输，每块为k bit，共m 块，即Q=mk，其量子串表示为

其中，第j 块量子比特串表示为

生成元Mi作用于，其正常本征值应为+1；如果本征值变为-1，则说明比特传输中出现错误，该错误用算子Ei表示。因为，Mi与Ei之间存在相互对易和相互反对易这2 种关系，分别记为[Ei,Mi]=EiMi-MiEi=0，[Ei,Mi]=EiMi+MiEi=0。利用稳定子W 的(n-k)个生成元测量，可得到本征值，其中Wi∈{0,1}。

携带有效信息的第j 块包含k bit 的比特串，经过稳定子纠错编码后以此扩展。对于每个量子比特，编码前确定稳定子纠错编码的子群W 总个数为。对于任意的Mi(Mi∈W)，存在。Mi为稳定子W 群内n-k 个生成元中的任意一个，由以下4 个酉正算子组合而成。

其生成元的编码信息为

依次对所有的 Ei(φic)进行测量，判断这个k 数据块中出现的所有错误信息以及纠错位。生成元M用矢量偶表示，M1,…,Mn-k为(n-k)× 2n阶的校验矩阵。

其中，HX是生成元M1,…,Mn-k的比特翻转X 组成的矩阵。本文协议中量子比特只存在比特翻转，不存在相位翻转错误。H 作用于接收到的量子态，得到所有Mi的本征值矩阵 H ′，根据 H ′判断出现比特翻转错误的所有量子位。

接收端根据测量结果和量子伴随式比对，可判断X 翻转的出错量子位。X 翻转错误对应酉正算子xσ 。针对出错量子位进行对应的酉正门操作，将纠正后的码字反向编码，获得的正确量子信息。因为单光子作为信息的载体，容易受到环境噪声的影响，所以利用量子稳定子码能较好地克服环境噪声的影响。

3.5 接收到信息的解循环和解压缩过程

发送端可以将相应校验函数等信息通过经典信道传输给接收端，字符串分割点位置Sign-A 用BB84 协议通信。

接收端通过校验函数和Sign-A 解循环，解压缩0111100101… ｜0｜ 0111100101… ｜1 →10111100101…｜0111100101… 0111100101… 1000011010…的相关内容进行相应的还原操作。

4 安全性分析

本文协议可能会受到来自协议本身和第三方的攻击，下面对这2 种情况的安全性进行分析。

4.1 量子态发生窃听情况的安全性分析

假设在通信过程中发生窃听时，对量子态的攻击实行操作E。

设m2=a，n2=b，得到a+b=1。因为窃听后基态变化的随机性，4 个基态是出现的最大量，可能被选择其中的2 个，即出现的组合是=6种，且出现的概率相同。所以得到窃听概率为

对于每个基态所包含的最大信息量为

4.2 第三方窃听信道安全检测光子携带的信息

第三方窃听到3.3 节所述检测光子携带的信息时，不会导致信息泄露，因为检测光子携带的信息只是用于检测误码，而不是要传输的有效信息。此时，只需再次传输检测信息即可。

4.3 第三方窃听编码后的信息

第三方窃听到3.1 节所述循环操作和压缩操作后的信息，即 c={P1,P2,…,PC-X}，d={PC+1,…,PK,…,PY}，由于Sign-A 的标记信息由BB84 协议保障，第三方不知道Sign-A 的标记信息，对窃取的信息无法解压缩和解循环，因此不会导致泄露信息，仍可保障安全性。

5 仿真实验

本文利用Python 语言生成3.1 节所述数据，对其压缩部分进行仿真实验，利用Mathematica 计算最终的压缩率。在数据压缩中，本文主要考虑数据分段情况和数据长度情况，分别按5、10、20 分段。所有仿真均是对105～109bit 数据进行模拟，仿真结果如图2 所示，其中，图2(a)是按5、10、20 分段压缩的仿真汇总，图2(b)～图2(d)分别为按5、10、20 分段压缩的仿真。

图2 压缩仿真结果

从图2 可以看出，当分段情况确定时，数据串长度的变化对压缩比率的影响很小；对应位相同或相反的概率均为0.5，假设按P 长度进行分段，压缩成功的可能性为0.5P，在长度一定的情况下，分段数越小，压缩率越高；按20 分段的压缩率非常小，几乎可以忽略。由仿真结果可知，按5 分段压缩率最高。

6 结束语

本文提出了一种循环码和信息压缩混合使用的量子保密通信算法，对经典信息进行操作，利用循环码提升传输准确率，利用信息压缩提升传输效率；利用稳定子码对量子信息进行操作，对出现的比特翻转进行纠错；此外，对协议的安全性进行了分析。仿真结果表明，所提算法在保障安全性的前提下，有效地克服了环境噪声，并且传输效率和传输准确率都达到了较好的效果。