连接弹簧的连接体分离问题的再剖析

刘大明 江秀梅

摘 要：连接弹簧的连接体分离问题是一个典型的物理问题，也是困扰师生的疑难问题.对分离条件、分离位置及其之间的关系进行深度剖析，有利于彰显这一问题的物理本质，有利于从根源上避免在这类试题命制和解答过程中犯科学性错误.

关键词：连接体;分离问题;分离条件;分离位置

1 提出问题

连接弹簧的连接体是高中物理试题中常见的情景模型.文献[1]指出“命制或解答此类试题要避免犯科学性错误，先根据临界条件确定分离位置，再由分离位置确证前提条件，是一条必经之路”（下文简称“必经之路”）.通过此思路确实能够很好地规避部分科学性错误.但是，此思路所揭示的物理本质还不够透彻，并且文献[1]还犯了另一个更隐蔽的科学性错误.为了从根源上彻底解决疑难，特撰此文把近期的深入反思与同仁分享交流，以期抛砖引玉，更上一层楼.为方便讨论，先把问题展示如下：

问题 如图1所示，质量分别为mA、mB的A、B两物体叠放在竖直轻质弹簧上并保持静止，A物体与弹簧焊接，弹簧下端固定.用竖直向上的恒力F拉B向上运动.恒力F多大时两物体会分离，分离位置在何处，分离位置和恒力F具有什么关系？

2 分离问题再剖析

文献[1]指出的“必经之路”思维程序是正确的，但其揭示的内涵尚有不足.再剖析时将弥补这一缺憾.

21 根据临界条件确定分离条件与分离位置的关系

分离时的两个临界条件是F弹=0，aA=aB.设两物体能够分离应提供的竖直向上恒力为F，分离时弹簧的压缩量为x，两物体共同加速度为a，弹簧的劲度系数为k.根据临界条件，有：

mAg-kx=mAa①

mBg-F=mBa②

联立两式，可得

F=mBmAkx③

另外，设初态静止时弹簧的压缩量为x0，则有：

mAg+mBg=kx0④

不难理解，③式中x

22 根据前提条件确定分离条件

分离时连接体应当具有向上的速度，即分离时连接体的动能应当大于0.否则两物体不分离，而是做简谐运动.这就是所谓的分离与否的前提条件，由此得

Ek=[F-（mAg+mBg）]（x0-x）+12k（x20-x2）>0.⑤

由于x0-x>0，⑤式可写为：

F-（mAg+mBg）+12k（x0+x）>0⑥

③、④式代入⑥式，可得

F>mB（mA+mB）2mB+mAg⑦

可见，只有所给恒力满足⑦式时，两物体才可能分离，这正是连接体的分离条件.注意到：临界分离条件F0=mB（mA+mB）2mB+mAg，仅与两物体的质量有关，而与弹簧的劲度系数无关.

23 分离条件与分离位置的函数图象

由③、④式反代入⑦式，还可以得到

x>mA2mB+mAx0⑧

根据分离条件与分离位置的函数关系，分离位置在一个特定的范围内，即mA2mB+mAx0

24 特殊情況讨论

（1）当mA≠0，mB→0时

在这种情况下，只要恒定拉力F>0，在初始位置x0处即可分离.

（2）当mB≠0，mA→0时

在这种情况下，当恒定拉力F>12mBg时，均会在弹簧恢复原长位置x=0处发生分离.

3 “必经之路”的误区分析

在文献[1]中，讨论的是mA=mB=m的情况.根据“必经之路”的指导，把条件F=12mg代入第③式，得到一个分离位置x=mg2k，然后再把F=12mg和x=mg2k代入⑤式得到Ek<0，从而指出在恒力F=12mg作用时，两物体不可能发生分离，因此纠正了一道模拟试题命制中所犯的科学性错误.很遗憾，文献[1]中又把x=mg2k代入⑤式得到“只有F>34mg时两物体才会分离”的错误结论.根据前文分析可知，F>23mg时，两物体就会发生分离，且分离位置的范围为2mg3k

综上反思可知：把一个恒力F代入临界条件去确定分离位置，再由此分离位置代入前提条件，可以成功确证该恒力F是否导致两物体分离，这正是“必经之路”的价值所在.但是，在运用“必经之路”时忽视了“分离条件”和“分离位置”之间的函数关系，又不可避免要陷入更加隐蔽的误区之中，也阻碍了对分离问题的本质理解.

4 小结

讨论连接体分离问题时， 应抓住分离时两物体之间的弹力为零这一关键点.并且，若两物体原来是共同运动的，在分离的瞬间两物体的加速度仍相同，这是分离的物理本质[2].文献[1]中突破了文献[2]的思维局限——重视分离临界条件的同时，不能忽视分离前提条件.本文进一步突破“必经之路”的局限性而指出：分离之“临界条件”和“前提条件”互相呼应，互相呼应的关键在于分离条件与分离位置存在“一一对应”的函数关系，这是分离问题的根源性物理本质.深刻理解这一根源性物理本质，在命制和解答此类试题时才能得心应手，不易犯科学性错误.

参考文献：

[1]江秀梅，刘大明.连接弹簧的连接体分离条件的深度剖析——以一道模拟试题剖析为例[J].中学物理教学参考，2006，45（23）：33-34.

[2]徐凌峰，胡生青.与弹簧相连的联接体的分离条件[J].中学物理，2009，27（11）：58-59.

（收稿日期：2020-01-02）