基于非线性规划方法对结构抗震性能的研究

福州英华职业学院，福建 福州 350101

1 非线性规划

非线性规划是主要研究一个n 元函数在等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知变量的非线性实函数。虽然大量的实际问题可以简化为线性规划、整数规划、目标规划等模型求解，但事实上，客观世界中的许多问题都是非线性的，之所以用线性函数来刻画多是出于简化的目的。可是有些问题是不能够进行线性简化处理的，此时就需要建立非线性规划模型。目标函数或者是约束条件只要不全是线性的，这类问题的研究就是非线性规划方法的研究［1］。

然而对于非线性规划问题的求解方法到现在为止仍没有一种普遍、通用的方法，即适用于一般情况的方法。解决非线性规划的最优化问题并不容易，因为它没有像线性规划那样的通用算法，要针对实际问题的特点，建立相应的数学模型，结合非线性规划中各种方法的使用范围进行求解。目前在运筹学领域各种方法都有其特殊的使用范围，这正是非线性规划方法需要更深一步研究与发展的领域。

对于静态的最优化问题，当目标函数或约束条件出现未知量的非线性函数，且不便于线性化，或勉强线性化后会招致较大误差时，就可应用非线性规划的方法去处理［2］。

2 建立非线性规划模型

由于建筑结构的倒塌过程就是一个非线性过程，结构的建模、结构材料和构件之间的连接方式等都会对结构整体的非线性分析计算结果产生较大的影响。针对不同滞回特征参数对单自由度体系结构抗震性能的影响，确定结构抗震性能的主要因素主要有延性系数，次要因素有强化系数，而软化系数以及刚度退化对单自由度体系的结构抗震性能几乎无显著影响，因此本文忽略软化系数及刚度退化这两个因素对结构抗震性能的影响，主要建立与单自由度体系结构抗震性能两个主要因素的非线性规划模型。

求解约束最优化问题的方法有无数多种，而惩罚函数只是其中一种较为简便的方法。惩罚函数是将带有约束的最优化问题转换为无约束极小化问题来进行求解，通过一系列的惩罚因子求解目标函数的极小点用以逼近原问题的最优解，这样便可以求解得出满足所有约束条件的可行最优解［3］。

惩罚函数求解MP 问题是利用问题中的约束函数做出适当的带有参数的惩罚函数，然后在原来的目标函数上加上惩罚函数构造出带参数的增广目标函数，把MP 问题的求解转换为求解一系列无约束非线性规划问题。

在求解无约束的优化问题的时候，对试图要违反给定的约束条件的所有解给出相应的额外惩罚约束使得一系列的无约束优化问题的极小值点向给定的可行域不断逼近，或在给定的可行域内摇摆移动，即极小点可能在可行域外部，也有可能在可行域内部，直至收敛到目标函数的最优解为止。

以采集的地震波记录数据为基础，利用惩罚函数法建立非线性规划模型，并进行求解和分析延性系数、强化系数两个因素对结构抗震性能的影响程度。利用惩罚函数方法，对结构抗震性能的主要因素进行分析，主要是确定罚因子，罚因子的大小直接导致问题的求解结果发生很大的变化。由于大的惩罚参数带来的困难，因此应用惩罚函数的大部分算法都使用一系列逐渐增大的惩罚参数值，对于惩罚函数的每一个新值，以前一个选取的参数值相应的最优解为开始点［4］。如何确定罚因子，对利用罚函数法求解任何非线性规划问题都至关重要。

3 数据分析

本文通过翻阅建筑结构抗倒塌学术研讨会统计的数据，以采集的地震波记录数据为基础，主要是基于Imperial Valley-06及Nahanni 的地震波数据，得到地震波记录及条幅系数统计表、简化模型参数表，见表1、表2。本文着重分析延性系数及强化系数对单自由度体系结构抗震性能的影响程度。

表1 地震动记录以及调幅系数统计表

表2 简化模型参数表

骨架曲线中包含以下参数：强化系数α，软化系数β，屈服刚度KS，延性系数μ，屈服承载力Fy，屈服位移Dy，由相关研究数据得到延性系数μ=4.0 的单自由度体系结构，其骨架曲线如图1、图2 所示。

图1 不同强化系数的骨架曲线

图2 不同延性系数的骨架曲线

由地震动记录以及调幅系数统计表可以发现：在同一地震中峰值加速度与调幅系数相乘之后存在一个相近的数值，此数值越接近则记录的数据越准确，可作为实验数据进行研究分析。

依据简化模型参数表，结合图1、图2 的骨架曲线可以看出当强化系数α 固定时，延性系数μ 越大，屈服承载力Fy最大值也越大；当延性系数 μ 固定时，强化系数α 越大，屈服承载力Fy最大值也越大，但是二者的增加幅度却有大不同。

决策变量X=（x1，x2）T，其中x1为延性系数，x2为强化系数，y 为屈服承载力。根据表2、图1、图2 数据可以发现决策变量与屈服承载力的关系，得到的方程如下：

利用惩罚函数继续对单自由度体系结构抗震性能进行进一步的验算分析，使得理论数据在结构抗震中能得到实际的应用。结构抗震性能可以通过屈服承载力及屈服位移来确定，惩罚函数是求解目标函数的最小值，即可选取目标函数为屈服位移最小，则表示结构抗震性能优良。屈服位移主要由延性系数、强化系数、屈服承载力决定，经过行业专业人员的预测，其中延性系数对屈服位移的影响程度为4x12，强化系数对屈服位移的影响程度为（30x2）2，屈服承载力对屈服位移的影响程度为-17y。

由此建立了如下的数学规划模型：

对目标函数进行相应的变换，则简化后的数学模型如下：

利用惩罚函数求解数学模型，当k 无限增大的时候yk是从问题可行域外部趋于它的最优解y*=9.25。而后根据y*计算出延性系数x1=5.125，强化系数x2=0.0083。

4 结论

由计算结果可以看出当延性系数为5.125，强化系数为0.0083，屈服承载力为9.25，此刻屈服位移最小，表示结构抗震性能达到最优状态。在本文假定的各个约束条件下，延性系数与强化系数是同等考虑的，但是延性系数对结构抗震性能的影响最为显著。

通过分析相关数据指标，对Imperial Valley-06 及Nahanni的地震波数据进行合理的分析，利用惩罚函数建立相应的数学模型并进行求解分析。探析结构抗震性能后，发现应尽可能的考虑在一定范围内增大延性系数，减小强化系数，这样才可以很好的保证结构的抗震性能。