反思
——提高数学素质的有效途径

2020-04-18 06:32孙建荣
中学课程辅导·教学研究 2020年3期
关键词:乙地甲地证法

孙建荣

在数学教学过程中,想要尽快提高学生的数学素质,培养学生的学习能力,首先要有良好的学习习惯,听课时要处理好听、思、说、记的关系,及时复习,还有非常重要的一点,要注重解题反思。数学能力的提高离不开做题,但解题后的反思更重要,与其匆匆忙忙的抢做两张试卷,还不如深入透彻地掌握一张试卷,追求解题质量,好好反思每一道题。新课标明确要求引导学生积极探索经历反思过程,提高数学思维能力。解题后需要反思哪些问题呢?根据学生实际,主要有以下几个方面。

一、反思解题本身是否合理和正确

1.题目做好以后,反思结论是否符合实际,切忌结论荒谬,出现像这种卫星离地面的最远距离为3cm的情况。

2.检查是否笔误或概念不清。笔误在做几何证明题时经常会出现,在用三个字母表示角时,切记字母写错,因此在几何证明题做好以后,要从头到尾再检查一遍。还有一些中差学生概念不清,如:函数的自变量x的取值范围为_________。有很多学生答案为x≠0,把分母不为0,误认为x≠0。

3.是否审题不仔细或忽视了隐含条件。

例1.(1)Rt△ABC的两边分别为3和4,则斜边长为

(2)Rt△ABC的两边分别为3和4,则第三边长为

很多学生把这两题混淆起来,数学语言的表达是十分准确并具有特殊意义,对于题目中的每一个字,每一个符号,每一句话都要进行斟酌,把隐含在条件中的某种关系挖掘出来。

例2.在较长一段时间内,每天都有一艘轮船从甲地开往乙地,并且每天的同一时刻也有一艘轮船从乙地开往甲地。两地轮船在途中来去的时间都是七昼夜,而且都是匀速航行在同一航线上,则每一条从甲地出发的轮船直到抵达目的地,共将会遇到对面开来的轮船几艘?

分析:大多数学生考虑每天开出一艘轮船,7 昼夜开出7 艘轮船,故将遇到7 艘;也有的学生认为轮船到达乙地时恰逢第八天起航的轮船,故将遇到8 艘;从而忽略了“在较长的一段时间内”这个隐含条件。事实上,甲地开出的轮船最早遇到的不是当天同一时刻乙地开出的轮船,而是在这之前乙地开出的轮船(正确答案是15艘)。

4.运算是否正确

对于计算类型的题目,做完以后一般要再验算一遍。很多学生都会出现算了两遍,甚至3遍,出现同一个答案,以为正确。试卷一发下来,才恍然大悟,这是由于思维定式的影响,我们应从不同的角度进行验算。

5.以特殊代替一般

如在中学数学的几何证明题中,一些学生画特殊图形代替一般图形,造成证题推理无根据。

例3.在△ABC中,AB=AC,D是BC上的任意一点,E是AC上的任意一点,AD=AE,求证:∠BAD=2∠EDC。

错误证法:假设D是BC的中点,

∵AB=AC

∴AD⊥BC,AD平分∠BAC

(等腰三角形三线合一)

令∠BAD=α,则∠DAC=α

∵AD=AE(已知)∴∠ADE=∠AED

∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°

∴∠ADE=(180°-∠DAE)=(180°-α)=90°-α

∴∠EDC=90°-∠ADE=90°-(90°-∠BAD

上述5个方面是解题后该反思的基本问题,考试时如此,平时更应如此,学生应养成解题后反思的良好习惯。事实上,有不少学生只满足于一知半解,解完了事,不假探索回顾,任其漏洞百出。

二、反思一题多解和多题一解,提高综合解题能力

数学知识有机联系,解题思路灵活多变,解题方法途径繁多,通过探求一题多解,寻找最优的解题方法,拓宽学生的发散思维能力。

例4.求一次函数y=3x-1于y=-3x+5的交点坐标。

分析:可以利用图像法解,也可以利用求方程组的解得出。不同的解法既可以揭示出数与形的联系,又沟通了几类知识的横向联系。

例5.如图,∠1=∠5,∠3=∠4,

∠2=∠6,求证AD∥BC。

证法一:∵在△ABF中,

∠2+∠3+∠AFB=180°

在△AED中,

∠6+∠4+∠5=180°

∵∠2=∠6,∠3=∠4

∴∠AFB=∠5

又∵∠5=∠1,∴∠AFB=∠1

∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)。

证法二:∵∠2=∠6

∴AB∥CE(内错角相等,两直线平行)

∴∠EAB+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补)

即∠2+∠5+∠4=180°

∵∠5=∠1,∠4=∠3

∴∠2+∠1+∠3=180°,即∠2+∠ABC=180°

∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行)

上述两种方法,中差生普遍采用前一种证法,可见前一种证法较具体,学生易掌握。

多题一解可以培养学生化归思维,使学生觉得书“越读越薄”,学习能力越来越高,体验到学习的轻松愉快。

三、积极反思,系统小结

反思题目能否变换引申,改变题目的条件,会导出什么新结论;保留题目的条件,结论能否进一步加强;条件作类似的变换,结论能否扩大到一般;思维方法能否迁移。

例6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,

AB=DC,求证:∠B=∠C。

变形:已知梯形ABCD中,AD∥BC,

AB=DC,∠B=60°,AD=15,AB=45,

求BC的长。

分析:该题主要思路是平移腰将梯形分成等腰三角形和平行四边形。结合平行四边形及正三角形的边长特征来解决问题。通过变形,使学生进行全方位的思考,这常常是学生发现新知识、认识新知识的突破口。

例:求证顺次连接四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形。

分析:此题除了要反思一题多解,还可以将题设变换为特殊的“平行四边形”“矩形”“菱形”“正方形”等情况,以有助于开拓学生的解题思路,让学生思维插上想象的翅膀。

培养学生解题能力的途径和方法很多,但无论哪种途径和方法,最根本最相通的是离不开思维的训练。注重题后反思,在寻找错误原因中享受成功,力求相同的错误不犯第二次,优化解题过程,寻求最佳解答方法,举一反三,触类旁通,融会贯通,重视渗透和揭示基本的数学思想方法,使学生经历探索的过程,体验如何用数学思想方法分析和解决问题,培养学习的能力,在学生的心灵中撒播“善于思考”的种子,搭建可持续发展的平台。

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