液压马达的公差分析研究

夏天，周燕飞，张翔，王立超

(南京航空航天大学 机电学院，江苏 南京 210016)

0 引言

液压马达的装配过程是其生命周期中极其重要的一个阶段。装配质量的好坏可以影响着液压马达的性能与效率，而在整个阶段中，装配公差又直接决定着液压马达的装配成功率以及经济性[1]。因此，为了获得理想的结果，设计者必须深入研究液压马达装配阶段的公差问题，从而提高液压马达性能，降低成本。

一般的装配就是指将实际零件进行组装安排的过程，装配结束后，可以利用真实的液压马达来实现产品的检验和评价。在此之后，任何对于液压马达的改动，都需要重新对零部件进行设计与制造。因此，如果液压马达装配公差设计得不合理，不仅不能满足装配准确度的要求，而且也会导致返工或修改，使得装配成功率降低，浪费大量人力、时间等，甚至会影响液压马达的安全使用与使用寿命，所以要对液压马达进行公差分析。

公差分析，不仅可以用于分析装配尺寸链的公差，同时也可称为公差累积分析，是在装配体零部件的结构和尺寸变动范围都已明晰的情况下，计算封闭环的尺寸范围，它初始以二维图样为基础，利用尺寸链和公差带进行计算。这种传统的计算手段与方法，不仅工作量庞大、效率低，而且校核起来也十分困难，因此需要对计算方法进行优化。

公差分析有极值法和统计法。统计法以概率论为计算的数学理论依据，针对组成环的分布特征，进行计算分析封闭环尺寸，与极值法相比，更具有实际性。

国内外学者做了大量的研究，SALOMON参与研发的FROOM系统被用于二维尺寸链的公差分析[2]。TAGUCHI通过“三种水平析因试验”计算出变量对应的函数以及各阶中心距，确定封闭环尺寸公差[3]。陈飞、徐学林对尺寸链中形位公差的应用有着大量的贡献[4]，张炜在此基础之上对其进行了更为深入的研究[5]。

本文研究的是有关形位公差的具体公差分析，利用公差原则来处理形位公差和尺寸公差之间的关系[6-7]，通过使用极值法、蒙特卡洛法进行分析比较，在此过程中对于结果采用“3σ”原则。

1 理论分析

装配公差分析时，如果是想要将形位公差作为组成环的一部分，就需要学会处理形位公差与尺寸公差的关系。

公差原则主要是用来分析形位、尺寸在尺寸链中的关系，准确地说，是利用相关原则来解决二者之间的关系。公差原则包含独立原则、包容原则、最大实体原则和最小实体原则。它们利用被测要素所要按照的界限不一样而进行辨别[8]。

包容原则用于确保孔、轴之间的相互配合，它对于公差配合的要求是很高的。包容原则利用最大实体界限来分析孔、轴的配合所要的间隙或者过盈情况。形位公差不会对封闭环有着影响，在尺寸链的建立过程中，只需知道装配零部件的尺寸及公差，其对应的形位公差不需要放入尺寸链中。

独立原则是指图样上的相关公差都是各自独立的，它们之间没有相互关系，只要实现规定的要求即可。由于没有其特有的符号，一般情况如果没有标注其他原则，就可以认为是根据独立原则。尺寸公差只影响实际尺寸的改变，它将尺寸限定在确定的极限范围内，影响不到形状和位置公差。形位公差可以影响到零件的形状和位置，但和尺寸公差没有关系。在进行尺寸链的计算分析中，不仅要将尺寸公差放入其中，还需要将形位公差也作为尺寸链的一部分进行计算。

当零部件按独立原则进行设计分析时，形位公差上、下偏差如果是对称的，那么就可以将它作为增环或者说是减环，它们对封闭环的影响水平是一样的，它们的尺寸表示为 0±T(其中T为封闭环公差 )。

2 计算方法

对于公差分析来说，可以选择两种方法来进行计算，第一种是极值法。极值法以零部件的完全互换性为出发点来进行分析计算，是利用各个组成环尺寸的最大值、最小值来求解封闭环的计算方式，即只分析组成环都是极限偏差值的情况。只要组成环的公差在允许的尺寸范围里，那么产品就是符合规范的。

极值法计算公式：

式中：Mi为増环尺寸；Ni为减环尺寸；m为增环数；n为总环数，由上式得封闭环的极值公式如下：

极值法，是一种比较直接的计算方法，是指组成环尺寸都是处于最大或者最小极限值的情况。在尺寸链计算中，极限法能够完全保证产品的使用要求与规范。极值法考虑的极端情况，在试验中出现的概率几近为0。使用极值法进行公差分析，会使零部件加工成本变大，经济性和实用性不是很好。极值法虽然简单准确，但也需要分析其适用范围和利害关系，因此极值法不是最优的方法。它可以应用于那些加工公差等级要求高、生产经济性差的重要产品中。

蒙特卡洛法[9]是以概率论为数学理论基础，通过对随机变量进行大量的统计实验，模拟随机数据来求解问题的数值方法。在机械加工中，生产加工出来的液压马达零件尺寸公差都根据正态分布。正态分布N(μ,σ) 的随机数与[0,1] 均匀分布的随机数可以相互转换，假定在[0,1]上，有2个组成环尺寸(公差)的随机数R1、R2，它们相互独立，则满足N(0,1) 的组成环尺寸的随机数R1、R2为：

相对应的正态分布N(μ,σ)上的随机数T1、T2为：

当组成环的尺寸出现极值时，所求的封闭环尺寸也是极值。想要避免小概率事件的出现，就要对封闭环尺寸进行处理，选择采用“3σ”原则，即对于随机数不在(μ-3σ，μ+3σ)区间的值进行舍去。封闭环公差为：

式中A0max、A0min为封闭环极限值。

3 计算过程

本文以摆线液压马达摆线轮(图1)为实例，进行实际数据计算与分析，采用独立原则来分析尺寸公差与形位公差之间的关系。

图1 摆线液压马达结构图

不考虑几何公差的设计函数是：

A0=A1+A2-A3-A4

考虑几何公差后的设计函数是：

A0=A1+A2-A3-A4-f1-f2

图2 尺寸链

批量加工零部件的尺寸公差呈正态分布，某些几何误差的分布属于偏心分布，即形位公差按照瑞丽分布。

在 MATLAB中编制简单的程序来实现公差分析的蒙特卡洛模拟。分别进行1000次、10000次以及50000次抽样，其结果分别见图3、图4、图5。数据整理以后的结果见表1。

表1 基于蒙特卡洛的公差计算结果

图3 抽样1000次的公差随机分布图

图4 抽样10000次的公差随机分布图

图5 抽样50000次的公差随机分布图

考虑几何公差以及未考虑几何公差的封闭环计算结果都需要遵循“3σ”原则。

从上述表格可以看出，进行公差分析时，考虑到形位公差计算出来的公差范围比没有考虑到的时候更大，如图6、图7所示，这是由于形位误差表现为配合表面形状上的变化。在线性尺寸链计算时考虑理想表面的接触方式，忽略了几何变动对接触点的影响。

图6 未考虑形位公差的封闭环公差

图7 考虑形位公差的封闭环公差

4 结语

对于液压马达装配进行公差分析时，使用极值法、蒙特卡洛法进行理论计算和仿真分析后，可以看出，液压马达中的形位公差对其封闭环公差影响较大，在实际液压马达装配中，如果需要精确地进行分析计算，考虑形位公差的影响是很有必要的。如果没有将形位公差放入尺寸链的计算当中，求得结果也只是估算值，只有考虑分析了形位公差后，计算结果才会更加接近实际。同时引入了“3σ”原则，使得到的公差精度更高。