一道赛题引出的一个有趣结论

杨云奎

我们知道，过中心对称图形对称中心有无数条直线将其面积等分，如圆是一个中心对称图形，过圆心的每一条直线都将其面积等分，对于非中心对称图形，是否也存在过某个点也有无数条直线将其面积等分呢？本文以一道全国初中数学竞赛试题为例进行探究，并给出了肯定的回答。

1 试题及参考解答

题目（“《数学周报》杯”2010全国初中数学竞赛）如图l，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（O，O），A（O，6），B（4.6），C（4.4），D（6.4），E（6.0），若直线J经过点M（2.3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线J的函数表达式是____，

解如图2.延长BC交x轴于点F：连接OB，AF，连接CE，DF，且相交于点N

由已知得：点M（2.3）是OB，AF的交点，即点M为矩形ABFO的中心。所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分，又因为点N（5.2）是矩形CDEF的中心，所以，過点N（5.2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分，

于是，直线MN即为所求的直线l，

参考解答是基于对图形的观察，发现了多边形OABCDE的边BC延长后，可以把原多边形分成两个矩形，即矩形CDEF和矩形ABFO，

我们知道，矩形是中心对称图形，过其对称中心的任一直线把它的面积平分，而题中要求的直线J经过的定点M恰是矩形ABFO的对称中心，因此只要写出另一矩形CDEF的对称中心坐标，便能求得直线l的函数表达式，参考解答，确是按照这一思路求出了直线l函数表达式的，

2赛题的一般性解法

解设过点M（2.3）直线l的函数表达式为y=kx+b，所以有3：2k+b，即b=-2k+3.此时直线l可表示为r=kx-2k+3.

5 结论

我们知道，过中心对称图形对称中心的任一条直线都将其面积等分，对于非中心对称图形，通过上述讨论可以得出以下论断：对于某些非中心对称图形，存在两个点，经过每一个点都有无数条直线等分其面积。