借助几何直观认识圆锥曲线本质的途径与方法

岳儒芳 张强

摘   要：解析几何问题研究基本思路是，从几何直观分析研究对象，再从代数与几何两个角度认识、分析问题，寻求解决问题的途径与方法，为此，充分发挥几何直观在解析几何学习过程中的作用，对提升学生认识解析几何本质、培养学生几何直观核心素养具有重要作用.本文试图在解析几何教学中，寻求培养学生几何直观核心素养的途径与方法，让学生从整体上提升对圆锥曲线本质认识，把握解析几何基本方法，让学生获得能力，提升数学素养。

关键词：高中数学;几何直观;圆锥曲线

中图分类号：G633.4    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2020）02-0025-05

数学教育家徐利治认为：直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知，解析几何是利用解析式来研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支。圆锥曲线作为解析几何的经典内容，在高中数学中占有重要地位。它是培养学生“几何直观”核心素养的重要载体。同时，由于解析几何综合性比较强，对学生的逻辑推理能力、数学运算能力、数学抽象等也都要求比较高，因此，圆锥曲线的学习非常有利于培养学生的数学学科核心素养，

通过直观与想象的有机结合，提升学生对圆锥曲线本质认识，把握解析几何基本方法。很多圆锥曲线的问题都是以平面上的点、直线、曲线这三大类几何元素为基础构成的图形问题。 为此，从几何直观出发，利用解析法研究圆锥曲线问题，是解析几何问题解决的基本思路。下面，笔者将通过对几个典型的解析几何问题的分析，探究借助几何直观认识圆锥曲线本质的途径与方法。

一、建立起数与形的联系，借助空间形式认识位置关系

解析几何问题解决过程中，需要充分挖掘并利用研究对象的几何特性，并结合其代数特点，从而简化思维过程和运算量。例如，在涉及圆锥曲线与直线或三角形组成的复杂图形问题中，可以利用圆锥曲线几何图形的对称特性，使问题化难为易，事半功倍。

【反思】几何直观的本质是将相对复杂、抽象的问题“图形化”，利用图像描述问题，进而借助图形分析、解决问题。解析几何的任务之一是研究图形的特点，而圆锥曲线本身都具有很好的对称性。通过例1使学生体会并感受图形对称性的本质就是点的对称性，抓住了点的对称性就可以抓住图形的对称性。在实际解题过程中，如果这种对称性能被巧妙地利用，那么就可以简化解题步骤，找到解决问题的捷径。因此，在用代数方法研究圆锥曲线问题的同时，充分利用好图形本身所具有的平面几何性质，常可得到简捷而优美的解法。

在思考數学问题，尤其是圆锥曲线问题时，要有画图、识图以及用图的意识与习惯。第一，问题解决过程中，要想到画图（即代数问题图形化），即能画图则首先画图，目的是把抽象的东西直观地表示出来，把本质的东西显现出来。当然，在平时学习中，要熟练掌握一些基本图形的画法是非常有必要的。在弄清题意后，先画图，然后再梳理解题思路。画图其实就是把题中文字语言转化为图形语言的过程。第二，要学会观察图形，在观察时，要结合图形自身的几何特征，以及题中条件与图形的有机结合，去寻求问题解决的思路。第三，“用图形说话”。利用图形生动形象地描述数学问题，直观地反映和揭示思考、寻求解决问题的思路，有利于发现和提出问题。

在数学学习时， 要“心中有图”，图形可以画出，也可以根据“心中的图形”，利用直观的图形语言，刻画、思考问题。同时，几何直观更有助于学生理解数学，常常成为分析和解决问题的重要手段。这是一种基本的数学素质，也是新教材中对提高学生数学素质提出的要求。

二、借助基本几何图形特征，凸显研究对象的关系与结构

把研究对象图形化，通过对研究对象的观察，可以发现许多隐含条件。例如，直线与圆锥曲线是最重要的位置关系。这也构成了解析几何的核心部分。直线与圆锥曲线的位置关系问题，反映在代数上就是它们的方程组成的方程组有无实数解的问题。方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个公共点;方程组没有实数解，直线与圆锥曲线就没有公共点。

直线与曲线位置关系有相切、相交及相离，要从运动变化观点认识三种位置关系。相交关系中重点关注特殊点和特殊线，如交点、弦长、中点弦等，同时会从复杂图形中分离出基本的、简单的图形，例如，很多解析几何问题，涉及到以弦为其中一边的三角形，需要将三角形中各元素之间的几何关系代数化，再对代数结果做出几何解释。

解法2：如图3所示，在同一坐标系下分别作出直线l与曲线C的图象。直线l是过定点（0，1）的一条动直线，曲线C是等轴双曲线。观察图形可知：当直线l从与曲线C相切①开始（此时有一个交点），绕着定点（0，1）顺时针旋转（此时有两个交点），当旋转到与曲线C的一条渐近线平行时②（此时又变成只有一个交点），直线继续绕定点旋转（此时仍然只有一个交点），当旋转到③时（此时没有交点），直线l与曲线C相离。再结合选项与图形可排除A、B、D.故选C.

【反思】本题蕴藏着非常丰富的信息，并由此可以演变出许多不同的问题。如，可把题中的条件“左支”改为“右支”或“两支”，交点个数也可改为“零个”“一个”“两个”;当然，在求直线与双曲线两支公共点个数时，还可以利用图形的对称性来考虑。

解法1主要是从“数”的角度，把问题转化为由它们的方程组成的方程组的解的问题，而解法2关键是从“形”的角度，通过观察直线与曲线位置关系，再将几何关系代数化，充分应用数形结合的思想方法解决问题，体现了几何直观与代数运算之间的融合。

三、代数问题图形化、模型化，简化思维过程

由于几何研究的对象是图形，而图形的直观性会帮助我们发现问题，启发思路，找出解决问题的有效方法，所以在解决圆锥曲线问题时，应做到“心中有图”，分析图形中几何元素的位置关系，寻求解题思路。例如，三角形是最基本的几何图形，充分挖掘三角形中蕴藏的信息，有利于问题解决。

【反思】在解析几何中，运动是曲线的灵魂，运动是无条件的、绝对的，静止是有条件的、相对的。例如，解析几何中点或线的运动过程中，会产生几何元素位置关系的变化，同时形成对应的变量关系，而变量的变化过程中，又有不变量，圆锥曲线中的定点、定值问题就体现了从几何变化到代数变化，而代数变化中的定值就是几何关系中的定点。直线过定点问题，需要借助几何直观并产生联想，做出猜想，进而发现结论。这类问题一般计算量较大，关键是利用基本量思想，找出与问题有关的关键点或关键直线，充分利用解析几何的思想，设出直线方程，最终解决问题。数学思维不是总在抽象层面展开，往往需要借助几何直观。

总之，几何直观的本质就是将相对复杂、抽象的问题“图形化”，利用图像描述问题，进而借助图形分析、解决问题。借助几何直观进行思考，是一种很重要的研究策略。几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，有助于形成科学正确的世界观和方法论。借助几何直观，依托情境去感悟事物的本质，揭示研究对象的性质和关系，使思维更容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。

参考文献：

[1]秦德生，孔凡哲.关于几何直观的思考[J].中学数学教学参考，2005，10.

[2]徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J].数学通报，2000，5.

[3]普通高中数学课程标准（2017年版）.

[4]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准（实验稿）解读[M].江苏教育出版社，2004.