整体法，想说少你不可以

韩光东

整体法广泛应用于初中数学中，对于因式分解，更是不可或缺。简单来说，其就是把问题或某些条件当成一个整体来处理，在解题时，不是着眼于问题的局部，而是有意识地放大考虑问题的“视角”。下面，我们主要从利用平方差公式分解因式方面，让同学们体会如何使用整体法。

我们都知道，因式分解中的平方差公式是：a²-b²=（a+b）（a-b）。为了让同学们更深刻地认识这个公式，明确公式中a、b可以代表的具体内容，我们换一种形式表达：A²-B²=（A+B）（A-B）。这里的A、B既可以指一个数字或字母，也可以指一个复杂单项式或多项式。当A、B指代的是一个复杂单项式或多项式时，我们就需要把这个单项式或多项式当作一个整体来看待，即公式中的A或B，这就应用了整体法的思想。

一、体会整体法

例1 因式分解：16a²-9b²。

【分析】运用整体法不能脱离公式，所以同学们在解决问题前要对所学公式熟练记忆，认清公式的结构特点;要去思考，问题是不是符合公式使用的结构特点，或能不能轻松转化成对应的结构。平方差公式的结构特点：有两项，且是“平方”减去“平方”。对于本题，我们发现16a²能够转化为（4a）²，9b²可以转化为（3b）²，这里的4a、3b就相当于公式中的A、B，这样我们就可以应用公式来处理了。

【分析】观察式子，若把（2a+b）和（a-2b）看作一个整体，即公式中的A，B，则（2a+b）²-（a-2b）²可看作两项，符合平方差公式的条件，故可以用整体思想来因式分解。同学们要注意分解以后对式子的化简与分解彻底。

【分析】对于部分同学来说，这道因式分解题有一点难度。主要是因为他们没有整体意识，拿到问题就想着展开，殊不知这是“南辕北辙”。因式分解是把多项式化成几个整式积的形式，而不是把它计算、化简出来。只要掌握了整体法的处理方式，再复杂的因式分解也不再困难。本题在结构上有两个部分，能看出来是“平方”减“平方”的形式。我们考虑用平方差公式进行解决，接下来，要找的就是公式中的A，Bo9（a+b ）2可以化成[3（a+b）]²，4（a-b）²可以化成[2（a-b）]

二、整体法的灵活运用

例4 已知4m+n=90，2m-3n=10。求（m+2n）²-（3m-n）²的值。

【分析】本题看上去像是代人求值的问题，但一看条件，并不能直接代人。再观察要求的式子的结构特点，把m+2n、3m-n当成整体，看作A、B，符合平方差公式，因此考虑先因式分解。至此，问题得到解决。

【分析】若把a^z+b^z-c^z和2ab看作整体，当成公式中的A、B，则（a^z+b^z-c^z）²-4a²b²可以看作兩项，符合平方差公式的结构。由此，可想到利用平方差公式因式分解，然后利用三角形的三边关系，从而解决问题。

【总结】运用整体法进行因式分解，关键是能够把要分解的多项式与公式对应起来，找准公式中的A、B，再套用公式就可以了。这里，同学们对公式的结构特点要认识透彻，如果对应不准确，到头来就是竹篮打水—一场空。

（作者单位：苏州工业园区独墅湖学校）