基于Backstepping的改进等速趋近律AGV滑模轨迹跟踪控制方法

潘天宇,楼佩煌+,朱立群,钱晓明,武 星

(1.南京航空航天大学 机电学院,江苏 南京 210016； 2.南京航空航天大学 江苏省精密与微细制造技术重点实验室，江苏 南京 210016)

0 引言

自动导航车(Automated Guided Vehicles, AGV),又名无人搬运车，是一种自动化的无人驾驶的智能化搬运设备，属于移动式机器人系统[1]，能够沿预先设定的路径行驶，是现代工业自动化物流系统、计算机集成制造系统(Computer Integrated Manufacturing System, CIMS)和柔性制造系统(Flexible Manufacturing System, FMS)中的关键设备。

AGV进行自主移动的关键是精准的轨迹跟踪。针对轨迹跟踪问题，文献[2]提出了适用于自动导引车跟踪控制的最优策略，通过状态反馈控制方法，得到合适的控制律使连续系统的性能指标函数达到最小值，该方法无法避免加权矩阵Q、R选取难的问题，同时Riccati矩阵代数方程求解也比较复杂，随着差速驱动轮的中心速度的改变其鲁棒性也随之变化；文献[3]针对多输入输出的系统即在AGV路径跟踪时以位姿状态的距离偏差和角度偏差作为系统的输入以速度差做作为系统的控制输出，设计了AGV路径跟踪的PID控制器；为了改变单PID控制的自适应性能和动态性能，文献[4-6]在PID算法中融合了神经网络算法以及改进的模糊PID等控制算法等，实现PID参数的在线自适应整定和提高系统的动态性能；文献[7]通过基于位姿状态和有限步数的路径跟踪优化方法更有利于嵌入式系统的滚动控制实现。

反演(Backstepping)控制方法最早是由美国学者Ioannis Kanellakopoulos[8]等针对具有反馈结构的非线性系统提出的一种控制方法：通过引入虚拟控制，对系统进行降阶处理，将复杂的非线性系统分解成多个更简单和阶数更低的系统，然后选择适当的Lyapunov(李雅普诺夫)函数来保证系统的稳定性，并逐步导出最终的控制率及参数自适应律，从而实现对系统的有效控制和全局调节。文献[9]将自适应鲁棒控制与反演控制结合起来,设计了跟踪控制器,解决了控制输入受限和模型不确定性问题。文献[10-11]引入指令滤波器和自适应模糊逼近器构造误差滑模面，通过在线自适应调整控制率实现了系统具有较强的抗干扰性。滑模控制又称为变结构控制，根据系统的期望运动特征设计滑模切换面，并通过滑模控制器将系统从初始状态不断向滑模面收束。如何设计滑模面和使系统更好的达到滑模面成为了这些年学者的研究热点。文献[12]设计了基于干扰器的边界层自适应滑模控制器，以消除传统滑模控制的“抖振”现象。文献[13]在滑模面引入扰动观测器和反馈电流，用于不确定性和外部干扰的观测以及速度和电流的双重控制，从而提高了直线电机动态性能与稳态性能。滑模控制[14]可以在滑动模态下对于外界干扰仍然保持完全鲁棒性，但它要求不确定性满足匹配条件，而反演设计方法能够很好地解决非匹配条件的不确定问题。因此，针对非匹配不确定非线性问题时，经常将滑模控制和反演设计方法的优点结合使用[15-16]。

本文提出了基于Backstepping的改进等速趋近律离散滑模轨迹跟踪控制方法，并用于AGV的轨迹追踪与误差纠偏。在全局坐标下建立系统的运动学方程，利用滑模控制实现AGV的轨迹跟踪。差速驱动的AGV的运动学方程是强耦合、非线性的，针对MIMO(multiple-input multiple-output)的非线性系统，本文利用Backstepping方法设计了滑模控制切换函数，并在等速趋近律中将连续函数取代符号函数以降低系统的抖动。

1 全局坐标下AGV运动学模型

如图1所示为差速驱动AGV在笛卡尔坐标系中的运动状态。图中YoX为笛卡尔坐标系，x1oy1的原点中心和AGV几何中心重合，且随AGV一起运动的参考坐标系。假设AGV在当前的状态为K时的状态为p=(x,y,θ)，即AGV在坐标系中位姿坐标，其中x为在YoX中的横坐标，y为在YoX中的纵坐标，θ为AGV的朝向和X轴夹角，规定当AGV顺时针时针转向X轴时θ>0，反之，θ<0。下面分析AGV在当前状态k时到下一个目标点pr=(xr,yr,θr)时的运动学方程，其中：xr为目标点在YoX坐标系中的横坐标，yr为目标点在YoX坐标系中的纵坐标，θr为AGV的期望朝向和X轴的夹角。

显然，对于如图1所示的差速驱动AGV，其状态是由其几何中心点o1在坐标系YoX的位置以及AGV的位姿角θ来决定的。假设AGV在坐标系中的位置为p，AGV的控制输入为q=(v,ω)T，其中：v为AGV中心的速度，ω为AGV绕其几何中心转动的角速度。在差速动的AGV中通过两轮的速度差来保证AGV中心速度v和角速度ω。假设某一状态k时AGV的速度为v，角速度为ω，则不难得出其运动学方程为：

vX=vcosθ,

vY=vsinθ,

ω=ω。

(1)

将式(1)改写为位置矩阵方程为：

(2)

AGV在轨迹跟踪或路径跟踪的过程中，只有系统的运动学方程一般是难以建立系统的控制律的。当在轨迹跟踪时，一般对AGV的位姿有一定要求，即有期望的运动轨迹，在实际运行的过程中，需实时计算AGV当前的位姿状态并和当前的期望位置状态做比较，计算实际偏差并纠偏，下面讨论AGV在具有期望位姿或参考位姿pr=(xr,yr,θr)T和参考速度指令qr=(vr,ωr)T下的位姿误差方程。

在图1中，AGV从位姿p=(x,y,θ)T运动到期望位姿pr=(xr,yr,θr)T，在参考坐标系y1ox1中的坐标为：

pe=(xe,ye,θe)T。

(3)

式中θe=θr-θ。

由理论力学知识和图1可知，动系y1o1x1和定系YoX之间存在如下坐标变换关系：

(4)

由式(4)不难得到AGV运动的位姿误差方程为：

(5)

下面推导位姿误差微分方程，由图1和式(2)可得：

(6)

则由式(6)可得：

(7)

而由式(5)可得：

xe=(xr-x)cosθ+(yr-y)sinθ,

ye=(xr-x)sinθ+(yr-y)cosθ。

(8)

对式(8)求导可得:

=yeω-v+vrcosθe。

(9)

同理，可得

=vrsinθe-xeω；

(10)

同理，可得

(11)

由式(9)～式(11)可得到位姿误差微分方程的矩阵形式为：

(12)

式(12)是后续控制律设计的基础，在该位姿误差微分方程的基础上通过设计合适的控制律，从而使AGV在轨迹跟踪过程中按照预定的轨迹运行，或者在路径跟踪的过程中当误差出现时快速的消除偏差，使AGV始终向无偏差状态转换，这也是控制律设计时必须遵守的准则。

2 基于Backstepping改进等速趋近律AGV滑模轨迹跟踪控制

Backstepping方法运用于本文AGV的非线性运动系统中的思路为：根据AGV系统的运动学特征，应用李雅普诺夫函数[17-18]设计AGV滑模切换面，得到系统收敛的约束条件；为了更好的实现AGV由任意初始状态切换至滑模面，通过连续函数替换原有的符号函数，最终得到改进等速趋近律AGV系统的离散滑模控制器，使得AGV系统在轨迹跟踪过程中尽快达到滑模面同时减少高速状态下切换时所造成的系统抖动问题。

2.1 基于Backstepping的AGV滑模控制的切换函数的设计

如前所示，建立了AGV系统的运动学模型式(2)，而AGV进行路径跟踪或轨迹跟踪的实质是在有偏差产生时寻求合适的控制输入q=(v,ω)T，使对于给定的偏差或存在的偏差，系统位姿误差微分方程(12)在此控制输入的作用下，位姿误差方程(5)有界并且收敛。前面建立的AGV运动学模型(12)是一个MIMO的非线性系统，针对MIMO的非线性系统的滑模控制，切换函数的设计是核心、关键同时也是难点，本节利用Backstepping方法的进行切换函数的设计。

文献[19]中提出一个引理：对于任意的x∈R且x有界，有φ(x)=xsin(arctanx)≥0，当且仅当x=0式等号成立。根据此引理，基于Backstepping，设计AGV进行轨迹跟踪式的滑模切换函数。

当xe=0时，即AGV轨迹跟踪过程中x轴方向的偏差值为0，分析李雅普诺夫函数：

(13)

假设θe=-arctan(vrye)，则有

(14)

(15)

式(15)即为AGV轨迹跟踪过程中非线性系统的滑模控制的切换函数，对于AGV轨迹跟踪的滑模控制器设计是基于此切换函数的，下文通过设计适当的AGV滑模控制器使s1→0,s2→0，这样就实现了xe收敛到0且θe收敛到-arctan(vrye)，从而实现ye→0，θe→0，即使AGV在轨迹跟踪过程中距离偏差(包括X轴方向和Y轴方向)和角度偏差均收敛。

2.2 改进等速趋近律AGV系统的离散滑模控制器设计

AGV系统的趋近运动是指AGV在轨迹跟踪的过程中对随意给定的初始状态到滑模切换面的运动，而滑模控制的可达条件式[20]只是保证了AGV系统从初始的偏差状态能够到达滑模面，但是在AGV运动过程中即从初始偏差状态到达滑模面的过程中对运动轨迹即偏差状态的变化规律却未做任何限制，为了提高运动的性能，高为炳教授[21]提出了趋近律的概念，其数学表达式为：

(16)

当f(s)=0时，式(16)为

(17)

式中ε>0。

式(17)即为等速趋近律，显然对趋近运动加了趋近律的运动比未添加任何约束的运动的动态性能有显著改善。当AGV系统进行轨迹跟踪时的滑模控制采用式(17)的等速趋近，式中常数ε的物理意义表示趋近s=0的速率，ε越小，则趋近的速度越慢，即AGV系统在轨迹跟踪过程中偏差向0变化的速度越慢纠偏能力稍差，反之，ε越大，趋近速度越快即偏差状态向零变化越快，同时运动点到达切换面时也将具有较大的速度，引起的AGV系统的抖动也比较大。为了使趋近运动尽快到达趋近面，同时减小AGV系统稳定运行时的偏差抖动，本文采用了改进的等速趋近律，即将式(17)中的符号函数代替为连续的函数：

(18)

式中：δi为正小数，εi为趋近系数。

令α=arctan(vrye)，结合式(12)和式(15)可得：

=vrsinθe-xeω。

(19)

结合上述各式，可得系统的控制律为：

(20)

式(15)为采用Backstepping方法得到AGV轨迹跟踪的滑模控制的切换函数，在切换函数的基础上利用改进的等速趋近律得到AGV轨迹跟踪的滑模控制律即式(20)，此处的改进是指在传统的等速趋近律的基础上将连续的函数取代原趋近律中的符号函数，目的是为了加速使AGV系统在轨迹跟踪过程中偏差状态尽快趋于稳定同时减小因以较大速度达到滑模面时造成的AGV系统的抖动。

3 仿真与实验

为了验证第2章提出的采用Backstepping的改进等速趋近律的AGV轨迹跟踪的离散滑模控制算法的可行性和有效性，本章对上文中提出的算法进行圆弧路径下的计算机数值仿真以及不同转弯路径、不同速度下的实验。设被控对象为上文所建立的AGV运动学模型的位姿误差方程为式(12)，采用圆弧路径进行数字仿真和不同路径下的AGV轨迹跟踪实验。

3.1 圆弧路径的AGV轨迹跟踪仿真

xr=rcos(ωrt)=cost,

yr=rsin(ωrt)=sint,

θr=ωrt=t。

(21)

控制律中的各个参数取值为δ1=δ2=0.02，等速趋近律中趋近常数ε取值为ε1=ε2=6.0。

位置的初始位姿即AGV在系统中开始的位姿状态为[x(0),y(0),θ(0)]=[3,0,0]，采用式(20)控制律，进行仿真，其仿真结果如图2～图4所示。

如图2所示，AGV刚开始的位置即初始状态和初始期望位置存在较大差距，故产生较大的控制量，导致AGV小车的速度和角速度的控制输出曲线产生较大波动，后期逐渐趋于稳定。可以看出，相较于之前的符号函数算法，改进等速趋近律滑模控制的系统速度和角速度能够在更短时间内达到期望状态，由仿真图可知，系统控制量在5 s后基本保持不变，即控制输出更加稳定。

如图3所示为AGV的角度位姿的偏差情况，图3a为AGV实际的航向角和每个位置预期的航向角即理想航向角的偏差状态，图3b为AGV轨迹跟踪过程中实际的航向角和实际航向角的对比，此图为局部放大图。图4为AGV进行圆弧轨迹跟踪时的相对于绝对坐标系的x轴方向的偏和y轴方向的偏差，其中图4a为系统x轴方向的偏差，图4b为y轴方向的偏差，由图可知，改进等速趋近律滑模控制的系统在初始偏差相同的前提下，角度和距离偏差均能在更短的时间内收敛于0并保持稳定，由此仿真结果证明了改进后的滑模控制算法能够使AGV小车在轨迹跟踪过程中更快地减小偏差并趋于稳定。

如图5所示为AGV进行圆轨迹的位置跟踪图，由图可以很明显地看出，采用基于Backstepping的改进等速趋近律离散滑模轨迹跟踪控制取得了比较好的效果，路径跟踪过程系统稳定，且误差小，整个过程中没有出现系统失稳的现象。

3.2 AGV轨迹跟踪实验

为验证本算法的有效性和可行性，在上述仿真的基础上进行如下实验。在实验中分别针对不同的路径、不同的速度进行跟踪，通过不同路径和不同的速度来验证本文中提到的算法。图6为低速小转弯半径跟踪的路径几何尺寸图和实际的跟踪实验过程。

如表1所示，AGV运动的初始状态差速驱动单元的距离偏差为-20mm，角度偏差为30°，AGV的速度为400 mm/s。

表1 低速小转弯半径实验参数表

AGV在路径跟踪的过程中通过通信任务不断地将视觉传感器采集到的偏差数据传输到上位机，其路径跟踪过程中相关参数设置如表1所示。AGV相对于导引标线纠偏过程中的距离偏差和角度偏差的变化如图7与图8所示。

如图9所示为高速大转弯半径下的路径几何尺寸图和实际的跟踪实验过程。实验中的具体参数如表2所示，其初始状态时角度偏差为20°，距离偏差为30 mm，AGV的速度800 mm/s。

表2 高速大转弯半径实验参数表

参数v/(mm/s)eθ(0)/(°)ed(0)/mml1/mml2/mmr/mmθ/(°)数值80020301 5001 5001 20090

在高速大转弯半径的运行过程中，AGV相对于导引标线的距离偏差和角度偏差的变化如图10与图11所示。

由前述的两组对比实验，即低速小转弯半径、高速大转弯半径下，采用本文的控制算法与改进前的算法实验结果如图7、图9所示。在实验刚开始的阶段，由于初始状态与滑模理想位置存在较大偏差，AGV的角度偏差和距离偏差存在一定程度的超调，但很快偏差均趋于稳定。

在直线路径切换至圆弧路径和圆弧路径切换至直线路径时，改进后的滑模控制算法能够更快地调整AGV小车达到滑模面，没有产生明显的数值波动，因而减小了因较大速度达到滑模面所产生系统抖动问题，这与仿真结果基本一致；同时对比小车在同种路径下的运行结果，改进后的算法能够将距离偏差和角度偏差控制在较小的范围内，稳定运行时角度偏差eθ<5°，距离偏差ed<10 mm，从而提高了系统运动的鲁棒性。比较图7和图9，AGV小车在较大的转弯半径与较高速度的运行状态下，改进后的算法对于路径纠偏效果更加明显，这也体现了本文改进等速趋近律AGV滑模轨迹跟踪控制方法的优越性。

4 结束语

针对全局坐标下的轨迹轨迹跟踪问题，本文提出了基于Backstepping的改进等速趋近律离散滑模AGV轨迹跟踪控制。首先建立了AGV在全局坐标下的位姿误差方程式和位姿误差微分方程，为下面进行控制律设计奠定运动学基础。基于反演法设计出的AGV轨迹跟踪的滑模控制切换函数S，可以得出只要适当的设计滑模控制器使s1→0,s2→0即可实现AGV轨迹跟踪过程中X轴方向的距离偏差xe收敛于零，且AGV航向角偏差θe收敛于-arctan(vrye)，从而实现ye→0，θe→0。针对等速趋近律中ε常数对趋近过程的影响，将符号函数代替为连续函数即改进的等速趋近律，基于改进的等速趋近律设计了AGV滑模控制的切换函数式和AGV轨迹跟踪的控制律式,可以实现AGV更好地从任意初始的偏差状态达到滑模切换面，即偏差状态尽快趋于稳定同时减小因以较大速度达到滑模面时造成的AGV系统的抖动问题。最后，针对本节设计的基于Backstepping的改进等速趋近律AGV滑模轨迹跟踪控律分别进行了计算机仿真与轨迹跟踪实验。通过图2～图9可知，本文设计的控制律轨迹跟踪效果较好，在初始位置偏差较大时能很快实现系统的误差纠偏(5 s内)并最终使系统趋于稳定的轨迹跟踪，实验结果表明了本算法的可行性、稳定性和快速性。本文讨论了单AGV小车滑模运动的改进方式，随着物流运输的发展，双AGV小车或多AGV小车系统协同搬运的重要性逐渐显现，该算法也为协同过程可能出现的MIMO控制问题提供了思路。