基于“三个理解”的初中数学概念教学再思考

费云标

[摘  要] 文章以“定义与命题”为载体，以“理解数学、理解学生、理解教学”为主线来进行教学设计，并结合笔者自身教学活动经验归纳，提炼出了对概念教学的若干再思考.

[关键词] 三个理解;概念教学

案例背景

有幸参加区教学设计的比赛，笔者选择的是苏科版教材平面图形的认识（二）与证明的整合教材的一节概念课，并付诸教学，效果不错. 数学概念教学可以发展学生的概念思维、迁移能力. 概念教学不仅仅是传授知识与技能，更需要学生参与其中，感悟概念归纳的不易，进行思维的碰撞与思考，进而发展智力与培养能力，达到“数学育人”的目的. 下面，笔者以“理解数学、理解学生、理解教学”为主线，对概念教学进行再思考.

课前思考

1.理解数学是当好数学教师的前提

“定义与命题”是整合版教材七下7. 3. 1的内容，其内容贯穿初中数学教材体系. 通过本节课的学习，学生能感受到初中数学知识体系的完备性与严谨性. 这节课还是学习推理的起始章节，能为学生后续学习证明做必要的准备. 学完本节课之后，学生能掌握与命题相关的基础知识，能提高数学语言表达能力，并能进一步发展逻辑思维能力.

基于以上分析，笔者得出了这节课的教学重点：了解定义、命题、真命题、假命题的意义，会区分命题的条件和结论.

2.理解学生是开展高效教学的基础

本节课的授课对象是初一学生，他们具备初步感受数学概念的能力，故设计情境与问题串时，要设计在学生的最近發展区内. 本节课从情境入手处，就要考虑学情，贴生而行，让学生在交流与碰撞中不断生成数学知识，感受数学概念的生长;通过问题串的形式，不断追问，满足不同的学生对数学的需求，同时促进学生对数学的理解.

基于以上分析，笔者得出了这节课的教学难点：会判断一个命题的真假，在交流中发展有条理的思考和表达的能力.

3.理解教学是实施教学的关键

课堂教学就是要充分挖掘数学知识蕴含的价值资源，并在教学中将知识教学与教学价值融为一体，这样才能真正体现“数学育人”.

教学目标：（1）了解定义、命题、真命题、假命题的意义，会区分命题的条件和结论;（2）会判断一个命题的真假，在交流中发展有条理的思考和表达的能力.

达成目标（1）的标志是：通过具体实例，能够判断出定义、命题、真命题、假命题的意义，感受定义的规则，了解什么是命题;能够改写命题，并指出命题中的条件和结论.

达成目标（2）的标志是：会判断一个命题的真假——要说明假命题，只要举出一个反例即可;要说明真命题，需要说明题设成立时，结论总成立，需要证明. 至于在交流中发展有条理的思考和表达的能力，只要是学生合乎逻辑的思考与有条理的表达，教师都要积极地肯定与表扬.

教学过程

1.创设情境，初识概念

问题1：丰富的数学世界里有许多神奇的数. 我们把每个数位上的数字的立方和等于其本身的三位数称为“美丽的数”. 比如：因为43+03+73=64+0+343=407，所以407是“美丽的数”. 你们能从131，153，121这三个数中找出“美丽的数”吗？

设计意图 情境选取学生感兴趣的数学问题，能引发学生思考，感悟定义的必要性.

生1：只要分解一个三位数的每一位数字，并按照定义求出各个数位上数字的立方和，判断结果是否为原来的三位数即可.

2.活动探究，建构概念

问题2：（熟悉问题，感悟定义）

（1）怎样的两条直线叫“平行线”？

（2）怎样的两个数叫“互为相反数”？

设计意图 设计熟悉的小问题，让学生抢答，归纳定义的概念. （定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定）通过回忆这些概念，引导学生感受概念的定义生成过程以及知识的前后联系.

生2：“在同一平面内，不相交的两条直线”是“平行线”的定义;“符号不同，绝对值相同的两个数”是“互为相反数”的定义.

师：如何给概念下定义？定义的规则是：（1）应相称，即定义概念和定义概念的外延相等;（2）不应循环;（3）一般不是否定判断;（4）应清楚确切. 大家通过之前具体的例子进行感受即可.

问题3：下面每组的两句话一样吗？如果不一样，它们有什么不同？

（1）“等角的补角相等”与“等角的补角相等吗”;

（2）“相等的角是对顶角”与“相等的角一定是对顶角吗”;

（3）“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”与“过一点画已知直线的垂线”.

设计意图 分组讨论，归纳总结（每组的两句话，一类是对某件事做出判断，另一类没有对某件事做出判断），引出命题的概念（命题：判断一件事情的句子）. 引导学生通过对两类（命题与非命题）具体例子的辨析，了解什么是命题，什么不是命题. 即使是错误的判断，也是命题. 命题的特征：是句子、有判断、有对错.

生3：其中（1）（2）（3）前面的句子对某件事情做出了判断，而后面的句子没有对某件事情做出判断.

问题4：命题指判断一件事情的句子，请你举出一些命题.

设计意图 利用学生互相提问与矫正、教师引导的方式，让学生进一步理解命题的概念，初步验证命题的正确性.

生4：同位角相等吗？

生5：我认为生4给的例子并没有对事物的情况进行判断. 疑问句没有肯定与否定，所以我认为此句子不是命题.

生6：三角形的内角和是360°.

生7：从命题的定义来判断，生6的例子确实判断出了三角形的内角和的值，属于肯定判断. 我认为此句子是命题，但是此命题做出了错误的判断.

问题5：观察下列命题，你能发现它们有什么共同的结构特征吗？

（1）如果a=b，那么a=b;

（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等;

（3）如果两条直线平行，那么同位角相等;

（4）对顶角相等.

设计意图 让知识的生长存在梯度，让学生处于最近发展区，希望学生在相互交流学习中自我成长，让学生体会所有的命题都由两部分组成，即条件和结论，感受“如果……那么……”形式的简洁与优势.

生8：它们都由条件与结论两部分组成;我认为“对顶角相等”的条件是“对顶角”，结论是“相等”.

师（追问）：你能把“对顶角相等”的条件与结论表述得更清楚吗？

生9：生8表述的条件与结论不是完整的句子，不如这样来表述——条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”. 我参考了前面（1）（2）（3）三个命题的表述形式（如果……，那么……），先把命题改写为前面的形式，再写出条件与结论.

问题6：说一说下面各命题的条件与结论，并判断命题是否正确.

（1）如果a，b之和为0，那么a，b之积为0;

（2）两个角是同旁内角，这两个角的和为180°;

（3）两直线平行，内错角相等;

（4）两直线平行，它们没有交点.

设计意图 引导学生学会改写命题，了解真命题、假命题的意义，并且学会用举反例的方法来说明“命题”是错误的，即假命题.

生10：只要条件成立，结论也成立的命题就是真命题;如果条件成立，但是不能保证结论也成立的命题就是假命题.

生11：判斷假命题的方法就是能举出一个反例，判断真命题的方法需要推理说明.

3.匹配目标，巩固提升

（1）写一个句子，并让同桌来判断该句子是否是命题.

设计意图 考查学生对命题的概念的掌握情况.

（2）写一个命题，请其他同学指出该命题的条件和结论，并判断命题的真假，说一说理由.

设计意图 考查学生命题的组成理解情况以及判断命题真假的掌握情况，让学生利用举反例的方法来判断假命题，感受真命题需要用推理来证明.

4.归纳小结，展望后续

大家一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）谈谈你对命题的认识. 你认为命题还需要学习哪些内容？

（2）请你写1～2个命题，说出它们的条件与结论，并判断命题的真假.

设计意图 学生回顾与思考，并归纳总结，培养学生善于归纳和思考的能力，有利于他们对新知识加深理解.

5.分层作业，思维提高

必做作业：苏科版教材习题7. 3. 1第1、2、3题.

选做作业：小莉遇到了一道题——比较nn+1与（n+1）n的大小. 她通过计算发现：当n=2，3时，有nn+1<（n+1）n，于是得出结论nn+1<（n+1）n. 请你判断小莉的做法是否正确.

设计意图 及时了解学生的学习情况，调整教学安排;通过学生课后独立思考第1、2、3题，自我评价学习效果，加强学生对新知识的巩固，检查学生掌握知识的情况. 选做作业是课内知识的延伸，学生可以通过阅读教材、查找资料或与同学交流解决此题，培养学生的合作探究意识，并锻炼解决问题的能力.

概念教学的再思考

1.概念教学需要把“数学育人”作为核心目标

本节课是几何推理的章节起始课，对后续数学知识的学习有铺垫、启发、生长的作用. 从本质上讲，数学概念课的本质是数学育人. 我们从几何数学概念课开始渗透推理意识，对初中几何的学习大有裨益，同时能促进学生的有机生长. 本节课单看内容，只有几个概念，如果要渗透数学核心素养，内容可选择的角度就多了;如果是为学生的终身发展奠基，那可选择的素材就更丰富了. 本节课是几何基础概念课，可采用“交代情境，引入概念，探究概念”的概念教学一般模式，让学生感悟数学概念出来、生长的一般过程，体会到研究数学概念的套路，激发思维，提高素养. 这样做，才能真正挖掘概念教学的育人资源，彰显概念教学的价值.

2.概念教学需要学生积极概括概念的本质特征

大多数概念课的弊病是课堂沉闷，教师讲得枯燥乏味，学生学得无趣. 笔者认为，学生积极概括概念的本质特征会让概念课更加有效、活泼. 其一，可以在概念教学中充分把握认知冲突，激发学生思考;其二，可以在概念教学中积极利用问题串把不同思维含量的问题串联在一起，帮助学生更好地理解概念. 概念的建构需要概念思维，这也是促进学生不断成长的重要因素. 比如，寻找命题的条件与结论时，改写命题具有便捷性，这样对命题概念的理解就更加深刻. 概念抽象需要典型实例，那谁来找例子？本节课多处出现让学生自己举例，且要求举尽量不同的例子，逼学生思维动起来，这样的例子百花齐放，贴近生活，贴近学生，贴近创新. 这样的数学学习活动，自然形成，既有学生之间的互动交流，又有思维的生长，不仅促进了深度思考，更促进了思维深度的提高. 当一个学生举例后，其他同学也积极参与思辨，互动，互相促进思考，尽可能自主归纳概念，让概念的形成过程贴生而行. 当然，教师应贴生而行，提出高思维的问题串，引导学生积极概括概念的本质特征，真正参与到概念的建构活动中.

3.概念教学要让学生自然地实现“概念形成”

数学概念、数学方法、数学思想的起源与发展都是自然的. 概念教学就应该使概念出得自然，水到渠成. 本节课的教学，我们力求使学生感受定义的存在性，了解定义的必要性，从如何下定义，如何用定义，上升到继续研究命题.

从课堂的角度来看，概念教学主要有两点：其一，概念生成需要逻辑自然;其二，概念生成需要符合学生的心理特征. 在本节课中，教师先带领学生从数学问题中感受定义的存在，进而感受下定义的必要性，接着从典型例子中归纳定义的概念. 利用上述基本活动经验与探究概念的套路，通过具体例子归纳出命题的概念，探究命题的结构，判断命题的真假;归纳判断的经验;在引导学生概念形成的过程中，贴生而行，让学生主动参与概念归纳过程，用多层次、高思维的问题串来引导课堂节奏，逐步深度思考并理解数学概念，让学生自然地实现“概念形成”.