例谈初中生分类讨论思想的培养

陈丽莉

[摘  要] 分类讨论思想是一种极其重要的数学思想. 文章试图以教材为媒介，以实例探究为手段，以素养的养成为终极目标，在培养学生的分类意识和分类讨论思想方面做些尝试阐释.

[关键词] 初中数学;分类;合作讨论;分类讨论思想

在初中数学教学中，我们不仅需要重视数学知识的应用，更需要注重形成阶段的教学，将数学思想方法的有效训练贯穿于整个教学的始终，引领学生理清问题的本源，恢复问题的本质，实现数学教学的终极目标[1]. 分类讨论作为一种应用于问题解决时的重要思想方法，是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的. 不过初中生缺乏分类讨论的意识，无法理清哪些问题需要分类，更不要谈合理分类了. 这时，数学教师需以具体教学内容为载体，创设合理的教学情境，并予以启发、诱导和强化，逐步揭示分类讨论的本质，进一步培养学生自觉应用分类讨论的意识. 教师有意识培养学生的分类意识，能促使他们积极思考，从而有效提升学生的数学素养. 下面笔者以两个教学尝试为例，谈谈如何培养学生的分类讨论思想，希望能引发大家更多的思考.

教学简录

1. 创设情境，感受分类

案例1  以“有理数的分类”为例.

师：下面我们一起来探讨一个有趣的问题，请听好问题，看看哪位同学的方法更多一些？

（学生们顿时兴趣盎然，积极投入课堂）

师：若是现在老师想将你们所有学生进行分类，你可有好的方法？

生1：这个简单，可以按性别进行分类啊！

生2：按照出生的年份也是一个不错的选择.

生3：还可以按照体重进行分类.

生4：我觉得也可以按照身高进行分类.

师：真是众说纷纭，大家都有各自的分类方法呢！下面你们再分析一下，若想分类正确必须提出哪些与之对应的问题呢？

生5：自然需要知道分类的依据是什么了.

生6：准确地说是必须有分类的标准.

……

分析  分类思想在小学阶段已初步涉及，教师从学生的现实生活出发，设计分类问题情境，让他们以讲述的方式阐述自己的分类思想，从而感受分类思想在生活中的重要作用. 结合学生的数学现实和已有经验，设计了与学生生活紧密相连的数学实例，一方面活跃了课堂氛围，激发了学生的学习欲望;另一方面唤醒了学生的思维，使之在轻松愉悦的环境中理清了正确分类的前提.？摇

师：接下来，我们来做一个游戏，一起尝试将全班学生以性别的方式进行分类. 请听好，女生举起你的左手，男生举起你的右手.

（学生兴趣高涨，踊跃参与）

师：大家一起来检查一下，是不是每个学生都列入分类之中？有没有遗漏的呢？你们都清楚自己的类别吗？下面再思考，若是老师想要按照身高分类，该如何操作呢？

生7：可按5 cm为一档，确认身高组别，然后再将每个学生分别列入组别中.

师：讲解得很清晰，此处提及的分组在下学期会进行学习. 下面哪位学生能总结分类的基本步骤呢？

生8：首先确定一个分类的标准，然后根据这一标准正确分类.

生9：分类时不能重复也不可遗漏.

师：很好，那么现在我们回忆一下学过哪些数呢？请列举.

生10：5，4，3，，，，…

生11：3，-2，-1，-，-，-，…

生12：0.1，0.2，0.3，…

师：列举得很好，那么能否根据以上列举的数分类呢？

生13：我认为可以分为整数与分数.

生14：不对，那小数呢？小数还有无限循环小数和无限不循环小数呢.

生15：小数和无限循环小数不是可以化为分数吗？

生14：那无限不循环小数呢？比如π.

师：刚才生13的分类可以统称为“有理数”;而生14所指的无限不循环小数则不属于此处我们探究的“有理数”，而是之后我们即将会探究到的“无理数”范畴. 请大家再次思考，我们还能以什么标准分类呢？

生16：可以按照正负数分类，分为正数、负数和零.

生17：我认为更严谨一些可以分为正有理数和负有理数，这样就不会涉及无理数了.

师：研究得很好……

分析  学生的学习活动必定是一个主动的、富有个性的过程. 在此案例的设计上，笔者采用了情境式教学，借助问题串引导学生层层深入进行分类，让学生根据自身的思维方式，勇于说出不同分类方法，发展了学生的个性，领悟了分类的本质，引领了学生的思维，使不同的学生在学习中获得了不同的发展[2]. 在教学的过程中，笔者指导学生明确分类的动机，并引导学生做到不漏不重、不乱不掺，并保证同一标准下的各类项目之间是并列关系，这是初中数学中分类的基本方法.

2. 探究路径，体验思想

案例2  以“圆周角定理的证明”为例.

师：请在图1中画出弧AB所对的圆周角∠ACB，并猜想∠ACB和∠AOB的数量关系.

生：∠ACB=∠AOB.

師：下面你们观察一下身边同学所作出的图形，看看是否有收获？

生1：我发现我们每个人所作出的图形都各不相同.

师：不同之处在哪里呢？

生2：图形的位置不一样.

生3：准确地说应该是圆心相对与圆周角的位置不一样.

师：那么有多少种圆周角的画法呢？

生4：无数种.

师：能否说明一下理由呢？

生5：我们只需在优弧AB上取任意一点C，并连接AC，BC，即为所需的圆周角.

师：下面交给大家一个任务，请小组合作讨论，看看是否可以将你们所说的无数种情况进行分类呢？

经过片刻的探讨之后，学生们展示了以下三种分类方法：

师：你们展示了三种图形，而猜想的结论却仅有一种，那猜想正确吗？如何证明呢？

生6：我认为应当分3种情况进行证明……

分析  此案例中，学生通过质疑问难、小组合作和教师的适时点拨，并结合猜想进行建构，从而有效突破本节课教学的难点. 首先，学生借助画图试验这一过程，让大脑始终处于亢奋的思考状态，使之行走在主动建构的道路上，并在不知不觉中渐入佳境;然后，通过小组合作探究将无数种图形位置关系进行总结归纳，并将其归结为三种类型，从而确定分类讨论的应用价值.

教学反思

就上述案例而言，案例1所涉及内容是整个初中教学中与分类讨论的初次邂逅;而案例2则是九年级（上）与分类讨论思想相关的教学内容，具有较强的渗透性. 笔者理解的分类意识的建立需做到：使学生理清分类的原因是什么？该如何进行分类？分类的标准该如何确定？在分类时，如何认识事物的性质呢？在分类时如何区分不同对象的不同性质呢？学生在考虑问题时需做到多思考、多尝试、多探究，使思考越来越全面，形成分类思想的主动应用.

对学生进行分类讨论思想的培养任重道远. 据初中生的特点，教学需遵循循序渐进的原则，并借助多样化的教学手段，给予学生思考、探索、实践、验证的机会，有条不紊地实施分类讨论教学，有利于学生综合分析能力的发展，并提升他们的思维条理性、完整性和严谨性. 在具体实践中，需要学生在解决问题的过程中结合亲身体验引发内心的感悟，通过实践配合大脑同步思考，进一步拓宽学生的思维宽度，深化他们的思维深度，从而对学生的未来产生深远的影响.

总之，分类讨论思想应用广泛，在初中数学的每个阶段都有所涉及，而它与数学知识的传授不同，需要通过长期的逐步渗透，才能让学生不断完善数学方法，从而为学生的长期发展奠定良好的基础[3].

参考文献：

[1]陈罗九. 深挖教材 提炼方法 培养思维——浅谈初中数学中的分类讨论思想[J]. 中国数学教育，2011（23）.

[2]饒志煌. 在初一数学教学中分类讨论思想的渗透[J]. 新课程，2015（29）.

[3]刘廷超. 刍议在初中数学教学中数学思想和方法的渗透[J]. 科学咨询，2015（51）.