素养导向下一道中考试题的解法探究

朱绍永

[摘  要] 中考试题是命题组成员集体智慧的结晶，既要考虑到对数学人才的选拔，也要考虑到让绝大多数学生能顺利通过毕业考试，所以每道试题都是精心打造的，值得一线教师深入研究、审视和评价，一题多解就是在实现从能力立意向素养导向转变的一个方面的体现. 文章基于2019年安徽中考数学第20题第（1）问为例，在对全等三角形每种解法进行探索的基础上，就如何培养核心素养，发展学生多角度思维做一些理性的思考.

[关键词] 三线八角;建模;全等三角形;核心素养

试题及出处

（2019年安徽中考第20题）如图1，点E在平行四边形ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.

（1）求证：△BCE≌△ADF.

（2）设平行四边形ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值.

试题评价

本题图形简洁，背景熟悉，设计巧妙，难易适中，面向全体学生，属于中档题.

所含基本知识点：三角形内角和定理的推论，平行线的性质，三线八角，全等三角形ASA或AAS定理，平行四边形的性质.

所含思维方法：建模，转化.

总体解题思路：由平行四边形ABCD一组对边AD与BC相等，再通过ASA或AAS来证明两个三角形全等.

试题解法探究

（略去标准答案之外的解法，仅对第（1）问解法做探讨）

四边形ABCD是平行四边形，所以AD =BC，以下各种证法都用到此结论，不再一一证明.

方法一：延长BE交AD于点G，如图2.

因为AD∥BC，所以∠GBC =∠AGB，因为AF∥BG，所以∠FAD =∠AGB，所以∠FAG =∠GBC，同理可得∠FDA =∠ECB. 又AD =BC，所以△ADF≌△BCE.

本题的思路来源于一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角必然相等或互补.

由于∠FAD与∠EBC没有截线，所以必须通过第三个角作为“红媒”牵线搭桥，这样延长BE与AD相交这种辅助线的作法也就自然而然地形成了.

方法二：连接FE并延长交AD于点G，交BC于点H，如图3.

因为AF∥BE，所以∠AFG =∠BEH，因为AD∥BC，所以∠AGE =∠EHC，所以∠AGE -∠AFG =∠EHC -∠BEH，即∠FAD =∠EBC. 同理可得∠FDA =∠ECB，又AD=BC，所以△ADF≌△BCE.

本題证法思路源于FA∥EB，AD∥BC，能否通过平移的方法来比较两角的大小，于是想到作射线FH，利用平行线的性质和三角形内角和定理的推论来证明.

方法三：延长BA，如图4.

因为AD∥BC，所以∠GAD =∠ABC，因为AF∥BE，所以∠GAF =∠ABE，所以∠GAD -∠GAF =∠ABC -∠ABE，即∠FAD =∠EBC. 同理可得∠FDA =∠ECB，又AD =BC，所以△ADF≌△BCE.

本题证法思路源于∠FDA =∠EBC，缺少截线证明同位角相等，于是作射线BA，构造出三线八角，利用同位角相等及等式性质证明之.

方法四：如图1，因为AF∥BE，所以∠FAB +∠ABE =180°，因为AD∥BC，所以∠DAB +∠ABC =180°，所以∠FAB +∠ABE =∠DAB +∠ABC，所以∠FAB -∠DAB =∠ABC -∠ABE，即∠FAD =∠EBC. 同理可证∠FDA =∠ECB，又AD =BC，所以△ADF≌△BCE.

本题证法思路源于不少同学一遇到作辅助线就有恐惧感，尽管是一些常规的辅助线，鉴于此，思考能否不通过作辅助线证明∠FAD =∠EBC呢？所以利用两直线平行，同旁内角互补的性质证之.

方法五：过点E作直线GH∥BC，交AB于点G，交CD于点H，则AD∥GH，如图5.

因为AF∥BE，所以∠FAE =∠AEB，因为AD∥GH，所以∠DAE =∠AEG，所以∠FAE -∠DAE =∠AEB -∠AEG，即∠FAD =∠BEG. 因为GH∥BC，所以∠EBC =∠BEG，所以∠FAD =∠EBC，同理可证∠FDA =∠ECB，又AD =BC，所以△ADF≌△BCE.

本题证法思路源于构造一组平行线，通过内错角相等、等量代换来证明∠FAD =∠EBC.

方法六：延长BE交AD于点G，交DF于点H，如图6.

因为CE∥DF，所以∠BEC =∠EHD. 因为BE∥AF，所以∠AFD =∠EHD. 所以∠BEC =∠AFD. 因为AD∥BC，所以∠EBC =∠AGB. 因为AF∥BE，所以∠FAD =∠AGB. 所以∠EBC =∠FAD. 又AD =BC，所以△ADF≌△BCE.

本题证法源于AF∥BE，CE∥DF，能否通过一条截线引用平行线性质证明两个角相等来个一箭双雕呢？之后通过AAS证之.

教学导向

1. 注重模型的讲解

每一个数学知识和方法的教学都可以是一种基本的“数学模型”的教学，但在具体教学中教师还需要加强学生对“析模”能力的培养.

本题中如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补就是一种“模型”套用的成功案例，但是图中没有明显的截线，那么可以通过添加适当的辅助线来“牵线搭桥”，起着“红媒月老”成人之美的作用. 否则，机械地“套模”会造成学生强记硬背，食而不化，造成思维僵化就得不偿失了. 在本题中除第四种解法没有添加辅助线外，其余各种解法的前提都是构造第二个模型“三线八角”，将∠FAD与∠EBC联系起来.

2. 加强建模训练 ，培养建立数学模型的能力

建立适当的数学模型是利用数学解决实际问题的前提，建立数学模型是运用数学能力的关键一步.解应用题，特别是解综合性较强的应用题的过程，实际上就是构造一个数学模型的过程.在教学中，我们可根据教学内容选编一些学生熟知的问题对学生进行建模训练，也可结合学生熟悉的生活、生产、科技和当前商品经济中的一些实际问题，引导学生观察、 分析、抽象、概括为数学模型来培养学生的建模能力. 并尽可能地创造条件，让学生运用数学解决实际问题. 在教学中可根据教学内容，组织学生参加社会实践活动，为学生营造运用数学的环境，引导学生亲手操作，如测量、市场调查和分析、企业成本和利润的核算、春运客流量统计购票问题等，把学数学和用数学结合起来，使学生在实践中体验用数学的快乐，学会用数学解决问题. 所以，在以后的教学中，要以基础知识和基本方法为重点，以理解为核心，以知识生长为目的，使学生思维得到发展，智慧得以生成，综合素质得以提升，数学素养得以培养.

3. 注重数学思想，凸显核心素养

数学思想是数学学习中最核心的内容，是数学学习中最有生命力的存在，是当我们把其他数学知识或方法遗忘之后还依然保留的数学思维方式. 数学思想方法是数学的灵魂，需要教师在教学中不断渗透，加强对数学思想方法的培养，将其深入到学生的灵魂深处，这样才能让学生学好数学，用好数学，从而提升其数学核心素养. 本题的第（1）问，在多种解法的前提下，不外乎三线八角、一题多解、多解归一. 所以，我们作为一线教师在平时的教学中就要养成研究中考试题、学教解题的习惯，要让学生明白为什么这样去思考，在做这道题时怎样想的，有没有走岔了、想歪了，在“走投无路”的情况下是否知道改变思路.

中考结束后就有学生问：能否连接EF，证四边形ABEF为平行四边形？当然证不出来，好在他及时改变思维方法用全等证明. 这就不仅仅是要求毕业班教师要注重从不同方向培养学生的数学解题能力，每个年级的教师在平时的教学时都要做到这一点. 就好比有人总抱怨小学教不好怪学前班老师，初中教不好责怪小学底子没打好，高中老师抱怨初中老师没有输送好生源. 其实，若每个阶段在教学数学知识的同时，侧重对学生解题能力的培养，何愁没有好生源，何愁学生的素养得不到提高？