关注图形规律，分类探究思考

邓雪晓

[摘  要] 图形规律探究题涉及几何分析、猜想推理和规律总结等过程，由于题型变化多样、知识点综合性强等特点，学生在解题突破时很容易遇到思维障碍，文章将对该类问题进行简要分析，结合实例讲解其中四种类型题的解题思路及策略，并提出几点教学建议.

[关键词] 图形;规律;函数;递变;相似;学科

问题综述

图形规律探究题是中学数学的经典问题之一，解析时需要利用已知条件及其中的特例，通过观察、类比、归纳来发现图形特征或者隐含规律. 该类问题一般设计较为新颖、信息含量大、变化性强，能够充分考查学生的图形分析、信息提取、规律总结能力，在近几年的中考中出现的频次很高，因此需要学生重点掌握. 图形规律探究题中图形衍生的方式是多样的，在实际探究时需要明晰其中的衍生规律，才能把握题目的变性和规律性.

分类探究

图形规律探究题具有众多类型，根据图形变化规律可以分为循环规律型、相似规律型、函数递变型、学科渗透型等，下面对其分别举例，总结突破方法.

1. 类型一：循环规律型

循环规律型探究题的典型特点是图形中存在角度、线段等几何关联条件，因此可以根据关联条件来逐个推理不同几何图形中的性质特征. 在解析时需要注意把握基础图形的特点，结合相关几何知识来逐步推导，总结其中的几何通式，完成规律提炼.

例1  如图1，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4的斜边均位于直角坐标系xOy的轴上，已知∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°，OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4，…按此规律进行变化. 若点A1的坐标为（3，0），则点A2014的坐标为______.

解析  关注四个直角三角形的边长特性，三角形中均含有30°角，由题意可知，在Rt△OA2C2中，OC2=OA1=3，∠A2OC2=30°，则可得OA2=OC2=3×. 同理递推，可知在Rt△OA3C3中，OC3=OA2=3×，则OA3=·OC3=3×2;在Rt△OA4C4中，OC4=OA3=3×2，则OA4=·OC4=3×3. 进行规律总结，可知OAn=3×n-1. 根据2014=4×503+2可判定点A2014在y轴的正半轴上，且OA2014=3×2013，则该点的坐标为0，3×2013.

评注：对于图形规律探索题，首先需把握规律变化类型，然后提炼其中的规律条件，总结变化规律. 本题目属于图形循环变化的规律题，需要把握图中直角三角形的特性，利用三角函数来解析边长关联，确定线段长的计算通式，从而求解点坐标.

2. 類型二：相似规律型

相似规律型探究题的核心特点是图形相似，常见的有相似三角形、相似矩形、相似正方形等，解析时就需要利用图形的相似性质来提炼规律条件. 例如根据三角形相似的线段比来总结几何线段的比值关系，利用相似比构建图形面积通式等.

例2  正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图2，已知顶点坐标：A（1，0），D（0，2）. 现按照如下方式作图：先延长CB，与坐标的x轴相交于点A1，以A1C为一边作正方形A1B1C1C;延长C1B1，与x轴相交于点A2，以A2C1为一边作正方形A2B2C2C1，按照这样的规律持续作图，则第3个正方形的面积为______;则第n个正方形的面积为______（请用含有字母n的代数式来表示）.

解析  上述为图形规律探究题，题干给出了正方形ABCD相关顶点的坐标，以及后续正方形绘制的方法，因此需要根据作图条件来提炼规律，计算图形面积通式. 观察图形可知所作正方形均为相似图形，结合坐标可推理出其中存在着相似三角形，即△AA1B∽△A1A2B1∽△A2A3B2，根据线段关系可知上述三角形的三边比为1 ∶ 2 ∶ ，进而可求得A1B1 ∶ AB=2 ∶ 3，同理可知后续每一个正方形与前一正方形的相似比均为3 ∶ 2. 第1个正方形的面积为5，则第2个正方形的面积为5×2，第3个正方形的面积为5×4，推理可得第n个正方形的面积为5×2n-2.

评注：依托直角坐标系构建的图形规律探究题一般会涉及“数”与“形”，因此采用数形结合的方式来突破最为有效. 上述属于相似规律型探究题，图中的正方形、三角形具有相似关系，因此根据相似比来提取线段关系，根据线段关系来总结面积通式是解题突破的关键.

3. 类型三：函数递变型

函数递变型探究题的显著特点是依托函数图像来构建几何图形，因此图形衍生必然与对应函数有着紧密关联. 突破的关键是利用函数特性来计算点坐标、推理线段或面积关系，从而建立几何量之间的代数关联.

例3  如图3，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2= A2A3=A3A4=A4A5，然后分别以点A1，A2，A3，A4，A5为垂足作x轴的垂线，与反比例函数y=（x≠0）的图像分别相交于点P1，P2，P3，P4，P5，从而得到直角三角形△OP1A1，△A1P2A2，△A2P3A3，△A3P4A4，△A4P5A5，并将上述五个三角形的面积依次设为S1，S2，S3，S4，S5，则S5的值为______.

解析  本题目依托反比例函数构建了三角形，因此解析时需要结合函数来分析图形，把握图形特点，从中提炼几何条件. 根据题干条件可知所构直角三角形的其中一个顶点位于反比例函数y=上，而底边与x轴相重合. 根据反比例函数中k的几何意义可知△OP1A1的面积为定值，即S1=k=1，结合反比例函数性质可知三角形之间的面积关系为：S2=S1=，S3=S1=，S4=·S1=，S5=S1=，即S5的值为.

评注：上述属于函数递变型探究题，由于第一个三角形的位置特殊，根据反比例函数的几何意义就可直接确定该三角形的面积为定值，后续就可根据函数的递变性质来建立相应的面积关系. 函数递变型问题的核心内容是函数性质与图形特征的关联，解析时应重点关注.

4. 类型四：学科渗透型

学科渗透型探究题指的是将几何图形与其他学科知识相结合命制的图形规律题，最常见的是综合物理知识. 解析时需要根据物理规律来分析图形变化，然后结合数学几何总结规律.

例4  如图4，一弹性球从点P（0，3）出发，沿着图中所示方向进行运动，碰到矩形OABC的边时会发生反弹（反射角与入射角相等），设小球第一次碰到矩形边上的点为P1，第二次碰到矩形边上的点为P2，……，第n次碰到的点为Pn（假设碰撞过程无能量损失，可持续运动下去），则点P3的坐标为______，P2014的坐标为______.

解析  本题目中涉及小球的碰撞反弹，根据物理知识可知反弹与光的反射类似，则反弹前后反射角与入射角相等，根据该规律可在网格中作出相应的运动轨迹，如图5所示，可求出P3的坐标为（8，3）. 进一步分析可知小球运动碰撞过程中每6次碰撞反弹为一个循环周期，可回到起点P，对于2014有2014÷6=335……4，即第2014次碰撞时为第336个循环组的第4次反弹，分析可知碰撞点的坐标为（5，0），所以P2014的坐标为（5，0）.

評注：学科渗透型考题对学生的学科知识综合能力有着较高的要求，例4就是将物理中的碰撞运动与数学几何相综合，考查其中的图形变化和规律. 对于该类型问题需要学生掌握学科综合的分析方法，善用作图来辅助思考.

教学思考

上述是图形规律探究题中的常见类型，其解析思路和方法策略具有一定的代表性，而在实际教学中提出以下几点建议.

1. 重视信息整合

图形规律探究题生成的核心是图形变化和几何条件，需要通过几何量的计算来推理图形关联，这就离不开对数据信息的整合，包括点的坐标、线段长、几何角度等. 因此教学中需要重视学生信息整合能力的提升，可通过教学微设计的方式，通过设问引导来使学生掌握信息整合的技巧，积累经验，提升信息处理能力.

2. 重视数形结合

本文对四大类图形规律题进行了探究，分析可知大多数问题中均涉及几何量的计算和图形特征的解析，其解题过程实际上就是对数形结合法的应用. 通过数形结合可以揭示图形特征，提取规律通式，教学中需要引导学生掌握该种方法，合理利用分析步骤来构建思路，即根据题干信息来理解图形，结合图形特征及变化进行推理计算，总结通式.

3. 渗透数学思想

图形规律探究题的教学目的有两个：一是使学生掌握几何、函数、方程等知识，二是使学生掌握数学思想，提升思维水平. 其中后者是教学的关键，开展思想方法教学需要借助具体的内容，以知识讲解、思想渗透的方式进行. 以上述问题类型为例，开展图形规律探究需要使学生关注图形特点，总结规律，该过程中可以逐步渗透数形结合思想和化归思想，对于较为复杂的图形则可以渗透模型思想，使学生深刻感悟其思想内涵.