运用排序法在解题中的应用

曹路路

【内容摘要】运用排序解题，其思想是将某些对象按照一定的规则进行升序或降序排列，然后通过对这种顺序关系的研究，从而获得解题方法。运用排序解题的时候，切忌与极端原理相混淆。排序主要是运用排列得到的顺序，再结合其它的数学技巧进行解题，其关键是要找准排序对象。

【关键词】有序性 排序方法 极端原理 反证法

本文结合一些典型的例题介绍几种常见的排序方法。

一、以实数的大小进行排序

当条件中出现，z个实数时，运用实数的有序性进行排序。然后结合条件，观察是否对解题有帮助。

【例1】给定7个不同的正整数，它们之和为100。求证：在这7个数中，一定存在三个数，它们的和至少是50。

【解析】该题可将7个正整数进行排序：a

【例2】（1990年全国初中数学联赛试题）现有2n×2n的正方形方格棋盘，在其中任意的3n个方格中各放一枚棋子，求证：可以选出n行n列，使得3n枚棋子都在这n行和n列中。

【解析】可设备行棋子数为P1，P2，…，P2n，对这些棋子数进行一个排序：

Pl≥P2≥…≥P。≥P。+l≥…≥P2n

由题设：

P1+P2+-+Pn+Pn1+1+-+P2n=3n

取棋子数为p1，p2，…，P2n的这n行，则必有P.+P：+-+P。≥2n。

下面运用反证法，假设：

P1+P2+-+P。≤2n-l。

运用最初的排序可得：

P._1+P.+2+-+P2n≥n+1==》

（P.+.+P.+2+…+P2n）≥I+T1

根据平均值原理可知：

Pn+1.，Pn-2，…，P2n中至少有一个不小于2，则：

Pl≥P2≥…≥P。≥2

于是：

P1+P2+-+P.+P._1+…+P2Z≥2n+（，z+1）=3n+1

这与假设矛盾。

故选出来的n行已经含有不少于2n枚棋子，再选出n列包含其余的棋子（至多n枚），这样选出的n行n列就包含了全部的3n枚棋子。

二、以线段长度进行排序

由于平面上的点，任意两点连接而成的线段的个数是有限的。如果它们长度均不相等，则通过对它们进行排序，从中选出需要的线段;或者经过某种操作使得与平面上的点对应的线段长度不一，以达到排序的目的。

【例3】平面上任意奇数个点，如果任意三点组成的三角形的周长均不相等，那么必定存在一个椭圆，使得该椭圆内与椭圆外的点数相同。

【解析】设平面上有2n+l个点，首先，对于平面上有一个点和三个点的情况，结论是显然成立的。当n≥2时，从中任意选出两点A，B作为椭圆的焦点，它们与其余2n-l个点中的每一个都可以确定一个椭圆。因为任意三点组成的三角形的周长均不相等，所以可以得到2n-l个不同的椭圆。按照椭圆长轴的大小顺序对这些椭圆进行排序：

以a1< a2<…

其中a1表示第i个椭圆的长轴。那么第n-2个椭圆即满足要求。

【评注】例3中通过对椭圆长轴排序达到了解题目的。在运用以线段长度进行排序的时候请注意，如果解题用到的只是这些线段中的最长或最短的那一条，用极端原理即可，勿须考虑如何排序，如：

（第24届莫斯科数学奥林匹克试题）在平面上有100个点，其中任何两点的距离都不超过1，并且任三点为顶点都构成钝角三角形。试证能够作出一个半径为的圆，使得所有的点都在圆内或圆周上。

提示：运用极端原理，从任意两点连接得到的所有线段中选出距离最远的两个点A，B（必定是存在的）。以AB為直径作圆S，圆S或其同心圆满足要求。

三、以点到直线的距离大小进行排序

平面上的点，它们确定的直线条数是有限的。平面上必定存在一条直线与这些直线都相交，从而使得点到该直线的距离都不相等，通过对这些距离的排序达到解题目的。

【例4】平面上有2n个点，任三点不共线。求证：存在一条直线，使得该直线两侧均有，2个点。

【解析】平面上必存在一条直线，，它与2n个点中任两点确定的直线都相交，且全部的点都在，的上方，这些点到，的距离均不相等，将它们按照从小到大排列：

只需作直线mP/，且两平行线间的距离满足：，不难看出直线m的两侧各有，n个点。

【评注】例4让我们想起了英国著名数学家希尔维斯特（J.J.Sylvester）提出的一个有趣的问题：

平面上有n（n≥3）个不全共线的点。求证：存在一条直线，，它恰通过其中两个点。

该题的证法有很多，其中凯里（LM.Kelly）给出的简单证明中虽然也用到了点到直线的距离，但是仅用到其中的最小值（极端原理），然后结合反证法的出来的。

四、建立平面直角坐标系，以横（纵坐标）的大小进行排序

顾名思义，即建立合适的坐标系，使得平面上的点在x轴（y轴）上的射影均不相同，根据横（纵）坐标的大小进行排序。

【例5】（1990年中国浙江省数学夏令营试题）设平面上有1990个相异的点。是否可以做出一个正三角形，使其中995个点在内部，其余995个点在外部？

【解析】该题可以用例4的方法来做。这里考虑建立直角坐标系xy，其中y轴与1990个点中任两点的连线都相交，并使得1990个点的横坐标都不相同，将它们进行排序：

作直线1：

则，的两侧各有995个点。现在，只需要作一个充分大的正三角形，使其一边在，上即可。

【评注】该排序方法与第二类排序方法有异曲同工之妙，但是它们最大的不同在于该方法使得平面上的每一个点都有了坐标，这对解某一类题会有很大的帮助，如：

（第32届国际数学奥林匹克预选题）设S是由平面上的n（n≥3）个点组成的集合，其中，任三点都不共线。试证在平面上存在一个由2n-5个点组成的集合M，使得在以S中任意三点为顶点的三角形内部至少有一个M中的点。

五、以两直线的夹角的大小进行排序

在平面上如果确定一条直线的位置和该直线上的一点，根据该点与平面上的点所确定的直线与该直线的夹角大小（可以有正负），可对它们进行排序。

【例6】给定平面上2n+2个点，其中任意三点不共线。求证：在2n+2个点中存在两点，这两点确定的直线将其它点分为两部分，每部分均有，z个点。

【解析】该题所求的直线要经过其中的两个点，以点到直线的距离大小进行排序就显得不适合了，现在考虑使用角度进行分类。如图1，设P.表示位于最西面的点（如果位于最西面的有两个点，那么选其中的任意一个点作为P.）。以P.为原点建立直角坐标系，其中x轴方向为西一东;y轴方向为南一北。按照P1P，与x轴正方向所成夹角的升序排列，将剩下的点依次标记为P1，P3，…，P2n+2，因为任三个点不共线，所以直线P，P与x轴正方向所成角在-90。到90。之间，直线PIPn+2满足要求。

六、以点到固定线段的视角大小进行排序

因为在一个圆中，如果一条弦所对的圆周角均在它的一侧，那么这些圆周角相等。该排序方式主要是根据这一}生质进行的。

【例7】（1963年中国北京数学竞赛试题）已知平面上有2n+3（n≥1）个点，其中没有三点共线，也没有四点共圆。能否通过其中三点作一个圆，使得其余2n个点一半在圆内，一半在圆外？证明你的结论。

【解析】如图2，在2n+3个点中必定存在两点A，B，使得其余2n+l个点都在直线AB的一侧。因为任意四点不共圆，所以将2n+l个点分別与A，B连接，将得到的视角按照从小到大进行排列：

从而VAPn+1B的外接圆即为所求。

【评注】该解法巧妙的运用任意四点不共圆得到没有两点到线段AB的视角相等，从而通过排序得到满足要求的圆。与该题相类似的题目有：

从以上例题中可以看出，对于某些数学题，如果我们在不改变原题性质的前提下选准排序对象，再结合其它的数学技巧和方法，就能快速得到解答。其中，排序对象的选取方法有很多种，本文仅列出以上几种情况，希望对读者有所帮助。

【参考文献】

[1]朱华伟、齐世荫，从课堂到奥数（九年级）[M].北京：中国少年儿童出版社.2009.

[2]朱恒元，排序法解题数例[J].中学教研（数学），1990（10）.

[3]陆志昌，一种解题策略——排序法[J].数学教学研究，1991（04）.

[4]罗方红，排序法解数学竞赛题[J].数学通讯，1995（04）.

[5]张奎、沈文选、冷岗松，奥林匹克数学中的组合问题[M].湖南：湖南师范大学出版社，2004.

[6] Titu Andreescu&Razvan Gelca.Mathematical Olympiad Challenges[M].USA： Birkhauser Boston， 2000.

【本论文为广州教育政策研究课题“利用少年科学院提高学生科学素养培养科技创新人才的实践研究”（课题批准号：ZCYJ18023）的部分研究成果。】

（作者单位：广州大学附属中学）