牛顿第二定律与图像结合的综合性试题赏析

■四川省成都市实验外国语学校（西区）

涉及牛顿第二定律的问题往往与各类图像联系在一起。通过图像的理解、模型的构建，实现图像隐含知识与物理规律的接轨，是解决此类问题的关键。下面对这类题型进行归类剖析。

一、牛顿第二定律与v-t图像综合

例1“神舟五号”飞船完成了预定的空间科学和技术实验任务后返回舱开始从太空向地球表面按预定轨道返回，返回舱开始时通过自身制动发动机进行调控减速下降，穿越大气层后，在一定的高度打开阻力降落伞进一步减速下落，这一过程中若返回舱所受空气摩擦阻力与速度的平方成正比，比例系数为k，所受空气浮力恒定不变，且认为是竖直降落的。从某时刻开始计时，返回舱的v-t图像如图1中的曲线AD所示，图中AB是曲线AD在A点的切线，切线交于横轴上的B点，B点坐标为（8，0），CD是曲线AD的渐进线。假如返回舱的总质量m=400 kg，取重力加速度g=10m/s2，求：

（1）返回舱在这一过程中是怎样运动的？

（2）初始时刻返回舱的速度v=160m/s，返回舱的加速度是多大？

（3）推证空气阻力系数k的表达式并计算其值。

解析

（1）返回舱先做加速度逐渐减小的减速运动，后以大小为4m/s的速度匀速运动。

（2）在初始时刻，返回舱的加速度等于曲线AD在A点的切线AB的斜率，即a=20m/s2。

（3）设空气浮力为F，在初始时刻，返回舱的速度v=160 m/s，加速度a=20 m/s2，由牛顿第二定律得F+kv2-mg=ma。当返回舱做匀速运动时，返回舱的速度v′=4m/s，由平衡条件得F+kv′2=mg。联立以上各式解得，代入数据得k=0.31N·s2/m2。

例2如图2甲所示，在倾角θ=30°的长斜面上有一带风帆的滑块从静止开始沿斜面下滑，滑块的质量m=2kg，它与斜面间的动摩擦因数为μ，帆受到的空气阻力与滑块下滑的速度成正比，即f=kv。若滑块从静止开始下滑的速度—时间图像如图2乙中的曲线所示，图中的直线是t=0时刻曲线的切线，取重力加速度g=10m/s2。求：

（1）滑块下滑过程中的最大加速度和最大速度。

（2）μ和k的值。

解析

（1）由滑块的v-t图像可知，t=0时刻滑块的加速度最大，且；t=3s时刻滑块的速度最大，且vmax=2m/s。

点评：v-t图像的斜率表示运动物体的加速度，根据速度—时间图像可求出加速度，结合物体在该时刻的受力情况，根据牛顿第二定律列式可求解相关物理量。

二、牛顿第二定律与F-t图像综合

例3一质量m=40kg的小孩站在电梯内的体重计上。电梯从t=0时刻由静止开始上升，在0～6s时间内体重计示数F的变化如图4所示，取重力加速度g=10m/s2。求在这段时间内电梯上升的高度。

解析

由F-t图像可知，在0～2s时间内，体重计的示数大于mg，故电梯向上做加速运动。设在0～2s时间内体重计作用于小孩的力为F1，电梯及小孩的加速度为a1，由牛顿第二定律得F1-mg=ma1，解得a1=1m/s2，在0～2s时间内电梯上升的高度。在2s～5s时间内，体重计的示数等于mg，故电梯做匀速上升运动，速度为t1=2s时刻的瞬时速度，即v1=a1t1=2 m/s，在2s～5s时间内电梯上升的高度h2=v1（t2-t1）=6 m。在5s～6s时间内，体重计的示数小于mg，故电梯向上做减速运动。设在5s～6s时间内体重计作用于小孩的力为F2，电梯及小孩的加速度为a2，由牛顿第二定律得mg-F2=ma2，解得a2=2m/s2，在5s～6s时间内电梯上升的高度。因此在0～6s时间内电梯上升的总高度h=h1+h2+h3=9m。

点评：F-t图像展示了力随时间变化的关系，利用不同时刻力的数据，结合该时刻物体的受力情况，根据牛顿第二定律列式可求解相关物理量。

三、牛顿第二定律与s-v2图像综合

例4在交通事故的分析中，刹车线的长度是很重要的依据，刹车线是指汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹。刹车线的长度s既与汽车开始刹车时的速度v有关，也与汽车轮胎和路面间的动摩擦因数μ有关。如图5所示为某种汽车在地面Ⅰ和地面Ⅱ上刹车时，s与v2的关系图像。若用μ1、μ2分别表示汽车轮胎和地面Ⅰ、Ⅱ间的动摩擦因数，则关于μ1和μ2的大小关系，下列判断正确的是（ ）。

A.μ1＞μ2

B.μ1=μ2

C.μ1＜μ2

D.条件不足，无法判断

解析

由运动学公式得0-v2=2as，由牛顿第二定律得μmg=ma，解得v2=2μgs，因此取相等的速度大小时，位移较大的对应的动摩擦因数较小。

答案：C

点评：根据s-v2图像找出斜率表示的物理意义，结合牛顿第二定律可求解相关物理量。

四、牛顿第二定律与v-x图像综合

例5如图6所示为汽车刹车痕迹长度x（刹车距离）与刹车前车速v（汽车刹车前匀速行驶）的关系图像。例如，当刹车痕迹长度为40m时，刹车前车速为80km/h。

（1）假设刹车时，车轮立即停止转动，尝试用你学过的知识定量推导并说明刹车痕迹长度与刹车前车速的关系。

（2）在处理一次交通事故时，交警根据汽车损坏程度估计出发生碰撞时的车速为40km/h，并且测出刹车痕迹长度为20 m。请你根据图像帮助交警确定出该汽车刹车前的车速，并在图像中的纵轴上用字母A标出这一速度。

解析

（1）设汽车的质量为m，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，由牛顿第二定律得μmg=ma，由运动学公式得-2ax=-v2，解得，即刹车痕迹长度与刹车前车速的平方成正比。

（2）汽车发生碰撞时的速度为40km/h，结合v-x图像可知，从这个速度减到零，汽车还要向前滑行10m，又因为碰撞前汽车已经滑行了20 m，所以若汽车不发生碰撞，则刹车后滑行30m停下。滑行30m对应的刹车前车速是图7中的A点对应速度。因此汽车刹车前的速度为68 km/h（66 km/h～70km/h均可）。

点评：根据物体的受力情况结合牛顿第二定律得到v-x的关系式，结合图像可求出相关物理量。

五、牛顿第二定律与a-v图像综合

例6如图8甲所示，质量m=1kg的物体沿倾角θ=37°的固定粗糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右，其大小与风速v成正比，比例系数用k表示，物体加速度a与风速v的关系如图8乙所示。sin37°=0.6，cos37°=0.8，取重力加速度g=10m/s2。求：

（1）物体与斜面间的动摩擦因数μ。

（2）比例系数k。

解析

（1）初始时刻有mgsinθμmgcosθ=ma0，解得μ=0.25。

（2）物体速度达5 m/s时刻有mgsinθμN-kvcosθ=0，式中N=mgcosθ+kvsinθ，解得k=0.84kg/s。

点评：a-v图像往往涉及阻力与速度相关问题，知道不同时刻的速度大小可求出该时刻阻力大小，结合物体的受力情况，根据牛顿第二定律列式可求出相关物理量。

六、牛顿第二定律与F-t、v-t图像综合

例7放在水平地面上的一物块，受到方向不变的水平推力F的作用，力F的大小与时间t的关系如图9甲所示，物块速度v与时间t的关系如图9乙所示。取重力加速度g=10 m/s2。根据这两幅图像可以求得物块的质量m、物块与地面间的动摩擦因数μ分别为（ ）。

A.m=0.5kg，μ=0.4

B.m=1.5kg，

C.m=0.5kg，μ=0.2

D.m=1kg，μ=0.2

解析

由物块的v-t图像可知，0～2s时间内物块受到的推力小于滑动摩擦力；2s～4s时间内物块以加速度大小做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得F2-μmg=ma；4s～6s时间内物块做匀速直线运动，由平衡条件得F3-μmg=0。由F-t图像可知，F2=3N，F3=2 N。联立以上各式解得m=0.5kg，μ=0.4。

答案：A

点评：v-t图像的斜率表示物块的加速度，根据v-t图像可求出加速度；对物块进行受力分析，结合F-t图像中某时刻力的大小，根据牛顿第二定律列式可求出相关物理量。

七、牛顿第二定律与P-t、v-t图像综合

例8在水平地面上的一辆汽车由静止启动后做直线运动，在开始运动的0～3s时间内汽车的速度—时间图像和发动机的功率—时间图像如图10所示。若在运动过程中汽车受到阻力的大小保持不变，取重力加速度g=10m/s2，则汽车的质量为（ ）。

A.1875kg B.1250kg

C.900kg D.750kg

解析

由汽车的v-t图像可知，0～1s时间内汽车的加速度a=4m/s2，由牛顿第二定律得F1-f=ma；1s～3s时间内汽车做匀速运动，由平衡条件得F2=f。由发动机的P-t图像可知，在第1s末有P1=F1v1=3×104W，在1s～3s时间内有P2=F2v2=fv2=1×104W。联立以上各式解得m=1250kg。

答案：B

点评：v-t图像的斜率表示汽车的加速度，根据v-t图像可求出加速度；根据v-t图像读出汽车某时刻的速度大小，结合P-t图像可求出该时刻的牵引力大小，对汽车进行受力分析，根据牛顿第二定律列式可求出相关物理量。

方法与总结

牛顿第二定律与图像结合的综合性试题的解题步骤：明确研究对象→正确进行受力分析→挖掘图像物理意义→建立牛顿第二定律方程式。受力分析仔细，图像内涵清楚，建立方程准确，解题步骤清晰，是解决此类问题的基本方法。