数学教学中的辗转相除法

黄志鹏

【摘 要】 高中教材中出现了辗转相除法，引发了我们对该算法的探究。文章先介绍最大公约数的一些基本性质和求法以及在解决实际问题中常见的应用，同时提出一些例子，方便读者理解最大公约数，举出几个辗转相除法在解题方面的应用，以此来加深读者对辗转相除法的理解。

【关键词】 最大公约数;辗转相除法

一、历史来源

辗转相除法是目前仍然在使用的历史最悠久的算法之一。它首次出现于几何原本（卷7命题1–2、卷10命题2–3）（大约公元前300年），而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》 。在卷7中用于整数，在卷10中用于线段的长度（也就是现在所说的实数，但是当时未有实数的概念）。卷10中出现的算法是几何的，两条線段a和b的最大公约数是准确测量a和b的最大长度。

二、简介

在数学中，辗转相除法又称欧几里得算法，是求最大公约数的算法。同时出现在高中教材人教A版必修三第一章第四节。在教学中，辗转相除法是算法教学的经典案例，我们有必要加深教师对该案例的理解，加强对于学生对数学的深入学习，提高对数学学科的学习热情。因此，我们很有必要对辗转相除法的原理及应用进行探索。

三、最大公约数的应用

辗转相除是后面才加入教材中的，是算法的经典案例，教学中注重这个内容的深入研究，是对于教学有促进作用的。放眼望去，辗转相除法的应用极其广泛，在各种计算机算法及编程中广泛应用，特别地，在算法学习的研究中更是有着非常重要的地位。另外在高等数学中，它还被用来解丢番图方程，寻找满足中国剩余定理的数，或者求有限域中元素的逆。辗转相除法还可以用来构造连分数，在施图姆定理和一些整数分解算法中也有应用。辗转相除法是现代数论中的基本工具。