中考数学几何压轴题解法方法

黄振兴

【摘 要】 几何压轴题在数学中考中起到举足轻重的作用，由于压轴题的知识覆盖面广，图形复杂，综合性强，中考中区分层次和选拔人才等预设目标主要靠这类题型来完成。要突破压轴题，光靠重复训练或者题海战术是无法实现的，压轴题的综合性和灵活性要求学生学会“怎么去做”，而不是简单的“怎么做”。

【關键词】 基本图形;解题方向;数学语言;压轴题

几何压轴题在数学中考中起到举足轻重的作用，由于压轴题的知识覆盖面广，图形复杂，综合性强，中考中区分层次和选拔人才等预设目标主要靠这类题型来完成。中考数学压轴题的特点是解题方法多、能力要求高，在试题的设计上强调知识之间的综合与灵活运用，更是在题目中渗透了重要数学思想方法的考查，如函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归思想等。

对于中考中的几何压轴题，无论是选择题、还是填空题和解答题，不少学生一看到比较复杂的图形就心生畏惧，再看到有动点更是头皮发麻，不知道从哪里找到解题的突破口。因此，要突破压轴题，光靠重复训练或者题海战术是无法实现的，压轴题的综合性和灵活性要求学生学会“怎么去做”，而不是简单的“怎么做”。

那么，怎么教会学生“怎么去做”呢？通过与学生交流谈话，我发现突破压轴题最重要的就是方向问题，学生的能力是有的，但是在遇到压轴题的时候找不到解决的方向，空有一身本领却无处施展，这就是大部分学生面对压轴题的现状。如果能够找到一个通用的解决此类问题的正确方向，那么学生就能够触类旁通，问题不就解决了吗？于是我带着这样的思考和目的开展了研究。

通过对大量压轴题以及解题过程的对比、提炼和研究，我发现几何压轴题中基本上隐藏着一个或者多个简单的基本图形或者特殊图形，而只要我们提炼或者构造出这些基本图形，解题就会势如破竹。

什么是基本图形？平面几何中存在很多最基本的图形，例如：直角三角形、等腰三角形、矩形、正方形、垂直平分线模型、角平分线模型……这些基本图形中包含许多边角相等的关系、线段比例关系、面积关系。

我们如何利用几何基本图形来突破中考几何压轴题？

首先是把几何知识数学语言化，即定理、性质图形化，在教学过程中，把基本的定义、定理以基本图形的形式反映出来，建立基本图形库，引导学生用几何语言表述相关的定义定理，促使学生看到某个几何知识就能联想到与之相关的几何图形，看到几何图形就想到相应的几何知识，改变那种把性质定理的文字表述与图形割裂开来的学习方法。比如：看到“角平分线”这一条件，马上要想到往两边作垂线，构造出图1;直角三角形或者平面直角坐标系中线段的关系，立马要想到图2中的相似直角三角形模型;看到中点，想到倍长中线构造全等，如图3。

建立了知识与图形的双向联系后，我就开始引导学生在压轴题中寻找基本图形，然后抽离基本图形进行单个问题的解决，把压轴题分解成一个个简单的问题去解决，当基本图形残缺时，就要构造基本图形，并归纳总结常用的辅助线作法。

例1：如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动，点Q在线段AB上从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动。连接PQ，设运动时间为t秒。（1）求抛物线的解析式;（2）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标;（3）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由。

本题第一问比较简单，直接代入A、B两点的坐标计算即可，但是第二问和第三问是动点问题和分类讨论问题，对学生来说存在一定的困难。这道题的解题思路方向在于等腰直角三角形AOB，因为等腰直角三角形的特殊性是只要知道一边就能解出其他两边来，学生以此为突破点，就能表示出所有动态的边长，从而构建方程，解出t的值。

以这道试题为例，我们引导学生在做几何压轴题的时候着重去寻找和构建图形中的特殊图形、基本图形，以特殊图形所涵盖的知识点为思考方向，结合题目问题去构建解题所需要的数学模型。有了方向，学生就不会像无头苍蝇一般乱飞，有了方向，学生的本事就得以施展，随着“寻找特殊图形为突破点”这一思考方向的接受形成思维惯性，教学效果和学生学习积极性都有显著提升。

我们总是说“授人以鱼不如授人以渔”，那么什么是“渔”呢？“渔”是方法、技巧，更是经验。传授经验首先要进行提炼与总结。学生的潜力是无穷的，他们的能力更不容小视，他们缺乏的仅仅是一个解决问题的方向，我们老师最应该做的就是在总结提炼中找到方向，并把这个方向传授给学生！

在复杂的几何图形中寻找基本图形和特殊图形，让学生学会解决几何压轴题的方向而不是某道题的答案，这样的教学就做到了学习方法的指导，带来的必将是学生学习能力的提高！