平行四边形的翻折问题

张俊峰

翻折问题在初中几何的考查中是比较常见的一类题型。近几年全国各地的数学中考试题中，翻折类问题屡见不鲜。这类问题立意新颖，构思巧妙，很好地考查了同学们的识图能力以及灵活运用数学知识解决问题的能力。由于条件和问题的不同，这类题的解法思路也不尽相同。现以2019年一些地区中考中的这类题型为例，谈谈如何用我们学过的知识和方法来解答这类问题。

例1 （2019·江苏扬州）将一个矩形纸片折叠成如图1所示的图形，若∠ABC=26°，则∠ACD=________。

【分析】延长DC到E，如图2，依据两直线平行，内错角相等，可得∠BCE=∠ABC=26°，根据翻折变换的性质得∠BCA=∠BCE=26°，进而根据平角的定义得∠ACD=180°-26°-26°=128°。

答案：128°。

拓展练习 将一张矩形纸片折叠成如图3所示的图形，若AB=6cm，则AC=_____cm。

【分析】延长矩形的边，如图4，由平行线的性质得∠1=∠ACB，再根据翻折变换的性质得∠1=∠ABC，所以∠ABC=∠ACB，再根据“等角对等边”得AC=AB=6cm。

答案：6。

【点评】以上两题主要考查了矩形的性质、翻折的性质、等腰三角形的判定、平角的定义。图形折叠后，相当于出现了角平分线，有角平分线又有平行线，就会产生等腰三角形，找到那个等腰三角形就会使问题得到解决。

例2 （2019·山东滨州）如图5，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG。

（1）求证：四边形CEFG是菱形;

（2）若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面積。

【分析】（1）根据题意和翻折的性质，可以得到∠BEC=∠BEF，FE=CE，再根据FG∥CE，得∠FGE=∠CEB，所以∠FGE=∠FEG，FG=FE，FG=EC，先证四边形CEFG是平行四边形，再由CE=FE证明它是菱形;（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，设EF=x，则DE=6-x，在Rt△DEF中，利用勾股定理求得EF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积。

【点评】以上两题考查了矩形的性质和折叠的性质，根据折叠前后的两个图形全等，找出它们对应的线段，设出合适的未知量，通过转换，在同一个直角三角形里，利用勾股定理构建方程，然后解方程即可。

通过上述几个问题我们可以看出，解决图形翻折问题，首先要知道是怎样折叠的，折叠的本质是什么，明白折叠的性质，如折起部分与重合部分全等，折叠前后对应线段、对应角相等，连接对应点的线段被对称轴垂直且平分。这些条件通常比较隐蔽，有待解题时挖掘并梳理。解决平行四边形的翻折问题时，如果有平行线，那么翻折后就有可能出现等腰三角形。如果有直角三角形出现，可以设未知数，根据题意将所给条件转移集中在同一个直角三角形里，通过勾股定理列方程求解。方程的思想与方法是解决折叠问题的常用方法。

（作者单位：安徽省临泉县第三中学）