从一道联考题总结求解二面角的几种思路

卢正明 龙 宇

二面角问题是高考的常考问题,本文以一道联考题为例,介绍求解二面角的几种思路.其中除了综合法以及向量法(多数情况下是坐标法)之外,还介绍了三面角的正、余弦定理以及射影定理.

1 问题呈现

图1

(1)略;

(2)求二面角B-C1D-B1的余弦值.

分析本题以直三棱柱为载体,考查二面角问题,常用解答方法有综合法、向量法(包括坐标法)，除此以外,还可利用射影定理及三面角的相关知识求解.

2 解析与探究

2.1 综合法

本题通过等价转化回避了作二面角的平面角的过程,读者也可构造辅助线,通过作出该二面角的平面角进行求解.

2.2 向量法及坐标法

求二面角问题可转变为求两个向量叉积的夹角问题,在半平面α,β中各找两个向量求叉积,再通过两个叉积的内积求得二面角.具体如下:设a1,b1⊂α,a2,b2⊂β.因为a1×b1是α的一个法向量,a2×b2是β的一个法向量,设二面角α-l-β的大小为θ，则有

再根据向量叉积的拉格朗日恒等式(a1×b1)·(a2×b2)=(a1·a2)(b1·b2)-(a1·b2)(b1·a2)求解即可.现将该结论应用至本题.

2.3 三面角的正、余弦定理

图2

三面角是由具有公共端点的不共面的三条射线,以及任两条射线所成的角的内部构成的空间图形.公共端点称为三面角的顶点,射线称为三面角的棱,两棱所夹的平面部分(角)称为三面角的面(角).过每一条棱的两个面所成的二面角称为三面角的二面角，如图2.

三面角的余弦定理:设三面角V-ABC的三个面角的度量分别为α,β,γ,它们所对的二面角分别为A,B,C,则

cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.

2.4 射影定理

解法4 考虑平面BC1D与平面B1C1D,两个面相互作投影都不“直接”,接下来,我们借助一个新的平面来计算投影面.